平面向量的基本概念及运算

第11讲 平面向量的基本概念及运算

基本概念： 1.给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是________.

2.D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →

＝______________.

3.若2(y －13a )－1

2(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________.

4.已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________.

5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →

，则λ＝______.

坐标运算：

1.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号) ①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；

②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量.

2.给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.

其中正确说法的个数是________.

3.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝________.

4.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m

n ＝________.

5.已知?ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.

【考纲解读】

平面向量的线性运算是高考中的非常容易考的内容，题型多为填空题，难度适中，属中档题．

【考点分析】

1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．

2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．

3.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

【知识梳理】

1．向量的有关概念

三角形法则

平行四边形法则

三角形法则 (1)|λa |＝|λ||a |； 例1.给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________.

.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③

若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________.

题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算

例2.(1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

＝__________. (2)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →

＝____________.

命题点2 根据向量线性运算求参数

例3.(1)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →

(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.

(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →

＝xAB →＋(1－x )AC →

，则x 的取值范围是______________.

.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于

点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →

，则λ的值为________.

题型三 共线定理的应用

例4.设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

.设两个向量a 与b 不共线.

(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线.

1．平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，

λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，

|AB | 3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0. a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.

题型一 平面向量基本定理的应用

例1.(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →

＝______________.

(2)如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →

(λ∈R )，则λ的

值为________.

.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211

AC →

，则实数m 的值为________.

题型二 平面向量的坐标运算

例2.(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝__________. (2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b ＝________.

.(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ

μ

＝______.

(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →

，则顶点D 的坐标为__________.

题型三 向量共线的坐标表示

命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标

例3.已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.

命题点2 利用向量共线求参数

例4.已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(1

2，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________.

.(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的

坐标为________.

(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →

＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的

最小值为________. 【真题拾遗】

（江苏高考T12）（5 分）如图，在平行四边形中，已知，，，2

=?BP AP ，

则AP AD ?的值是 ▲

.

（江苏高考T6）（5分）已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则n m -的值为______.

（江苏高考T13） （5分）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ?=，

1BF CF ?=-，

则BE CE ?的值是 ．

（江苏高考T12） （5分）如图，在同一个平面内，向量,,的模分别为2,1,1，与的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。若OB n OA m OC +=（R n m ∈,）， 则n m +=

（江苏高考T12） （5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，

以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为 ．

ABCD 8=AB 5=AD PD CP 3=

【模拟演练】

1.已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b

③a 与b 共线反向 ④存在正实数λ，使a ＝λb

2.对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)

3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________.

4.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →

＝b ，给出下列命题： ①AD →

＝－12a －b ；

②BE →

＝a ＋12b ；

③CF →

＝－12a ＋12

b ；

④AD →＋BE →＋CF →

＝0.

其中正确的命题是________.(填序号)

5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为________.

6.在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →

，则r ＋s ＝________.

7.在?ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →

的坐标为__________.

8.设0＜θ＜π

2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.

9.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点.若AC →＝λAE →＋μAF →

，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝______.

10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →

＝mOA →＋nOB →

，则m ＋n 的取值范围是________.

【要点总结】

向量有关概念的5个关键点

(1)向量：方向、长度．

(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．

用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤

(1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．

共线向量定理的3个应用

(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性

质定理

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

1.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，且a ＋2b ＝(5，－3)，则x ＋y ＝________.

2.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →

＝－3a ，则点N 的坐标为__________.

3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(m,4)，且a ∥(2a ＋b )，则实数m 的值为________.

4.已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝______.(用a ，b 表示)

5.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →

，则实数a ＝________.

6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →

)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k ＝________.

7.在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →

，则m n ＝________.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.

9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →

＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________. 答案 －1

10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则m ＝______. 答案 3

11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →

，m ，n ∈R ，则1n ＋1

m

的值为________.