根式+指数函数

我先来讲一下指数函数，对数函数，幂函数这个之间的关系

(01)b

a M a

且 log (01)a b

M a

且

指数函数，b 变成x ；对数函数，M 变成x ；幂函数，a 变成x

根式

整数指数幂：*()n n a a a

a n

N 个

运算性质：m n m n a a a ，()m n mn a a ，()n

n n ab a b

一、根式： 1.若*(1)n x a n n

N 且，则x 为a 的n 次实数方根

注意：

①n 为奇数时，正数的n 次实数方根是正数，负数的n 次实数方根为负数 ②n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，互为相反数，()n

x a n 为偶数

③ 0的n 次实数方根为0 ④负数没有偶次方根

a 根式：n 为根指数，为被开方数

3. n a

n a ；n a

二、分数指数幂

m n

a （*,,0m n N a ）

1m n

m n

（*,,0m n

N a

）

0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂无意义

指数函数

1.定义：,(0,1)x y a a

2.性质：

（1）定义域为R （2）值域为(0,) （3）过定点(0,1)

（4）

0x ，00x ，1y 0，1y

0，0

（5）x y a 与1x

关于y 轴对称

例1：求下列函数的定义域和值域（1）1

10.4x y （2）51

x y （3）21x y

（4）10.5x y

（5）9232x x

（6）46210x x y

简单示范两个：(4)和(5) 解：

(4) 0

0.51

0010.510

1,0

x x x y

x (5)

23(0)

22(0)2,x t t

y t t t y

x R

令

例2：求函数221

x x

y 的单调区间，并证明

自己证明一下单调性

2,0.5t t

x x y

令则

20.52(,1],[1,)0.5

(,1],[1,

)t x x

x x y

为单调减函数在上单调减上单调增

在上单调增在上单调减

例3：求函数142x x y

的单调区间

换元法，不写过程了例4：设a

R ，函数2(x)

f a

（1）当a 为何值时，(x)f 为奇函数（2）判断(x)f 的单调性

解析：第一小问用奇函数的定义(x)(x)f f

第二小问用单调性的定义

例5：定义在R 上的函数()y f x ，(0)0f ，当0x 时()1f x ，且对

,a b R ，有()

()()f a b f a f b

（1）求证(0)1f （2）求证()f x 恒正

（3）求证()f x 在R 上单调增（4）解不等式2()(2)

1f x f x

【解析】抽象函数是较难的地方，基本的解题思路是特殊值，这样解出定点。本题的定点(0,1)，在解题的过程中就是关键。

解：(1) 0(0)(0)(0)

(0)0(0)1

a b f f f f f

令

(2)

0,()1;0,()1

0()

0x f x x f x x f x 只要，成立就行

，这是分析的思路

0,x 0,()0

(0)()()()

()0

()

x f x f f x x f x f x f x f x 令则

(3)由(2)知1

()()

f x f x 设

12,x x R 且12x x

2212

112

11121()()()()

()0()()1

()

()0()

()

f x f x f x f x x f x x x f x f x x f x f x f x f x ，得出()f x 单调增

(4) 22

()(2)1(3)

(0)

f x f x x f x

x f

根式函数值域定稿版

根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法例1：求31++-=x x y 的值域解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法例2：求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。（2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα

则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ，定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ，由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域

根式和一次函数

实数 3.1无理数有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。练习：下列说法正确的是（）（A）无限小数是无理数；（B）带根号的数是无理数；（C）无理数是开方开不尽的数；（D）无理数包括正无理数和负无理数 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏； (2)特定结构的数；如2.02002000200002… (3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如 3.分类:正无理数和负无理数。 3.2平方根 1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是一对互为相反数，合起来是0 3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。判断：（1） 2是4的平方根（）（2） -2是4的平方根（）（3）4的平方根是2 （）（4）4的算术平方根是-2 （）（5）17的平方根是17（）（6）-16的平方根是-4 （）小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。 3.3立方根 1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别: (1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0； ②平方根、立方根都是开方的结果。 (2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。

探究二次根式函数值域的求法

探究二次根式函数值域的求法有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时，综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。一、巧用公式法例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法：例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。

解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法：例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以：原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法：例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法：例5、计算()()13251335++++

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212，消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0，即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上，图 2 图1

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法【例2】计算：【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：【解】原式．

【例3】把下列各式的分母有理化．（1）；（2）（）【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式 3．运用配方法【例4】化简【解】原式【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法【例5】化简【解】∵

二次根式运算和化简超级经典

二次根式运算和化简(超级经典)

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二次根式的运算【知识梳理】 1、当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、二次根式具有如下性质：（1）() ()02≥=a a a ；（2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下：（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；（2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253，求m 的值。【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。

二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧安陆市辛榨中学周俊军同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。一、拿出来当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。二、放进去有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

函数与二次根式

八上期末练习（1）姓名：一、填空题： 1、下列式子中：3,40,1,,1,2,16222-+++n b a a a ，是二次根式的是，若A=42)9(+a ，则A 的算术平方根是。 2.若a 为正整数，a -5为整数，则a 的值可以是；已知t=212x --，当x= 时， t 的最大值是。 3.已知有理数a,b 满足等式,33 2 235a b a -+ =-则a= ；b= 。 4.如果x 是任意实数，则2x = ；()2 2a a = 成立的条件是；当a 时， 12=a a ；当a 时，12 -=a a ； 5 2 690y y -+=则xy= ； 6．已知直线1y x =，2113y x = +，24 55 y x =-+的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值，则y 的最大值为。 7．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2， C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B n 的坐标是______________． 8．已知直线y=- 3x+ 3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在坐标轴上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（）个． A 、4 B 、6 C 、7 D 、8 9．如图所示，直线OP 经过点P （4 ，，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11…分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2…Sn ，则Sn 关于n 的函数关系式是第6题图第9题

函数的值域专题

函数的值域专题第I 类：简单的复合函数引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y 第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数=y x x 3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；根据以上结论直接写出函数的值域：)2,0(sin 31sin 21?? ????∈+-=πx x x y ；[])1,0(3121∈+-=x x x y 引例3：求函数1 32+-=x x y 的值域变式：求函数312-+= x x y 的值域变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（?? ????∈2,0πx ）的值域引例4：求函数1 58522+++=x x x y 的值域变式：若已知函数)(1 3)(22R x x n x mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值解答：练：若已知函数)(1 8)(22R x x n x mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值第III 类：带根式的复合函数引例5：求函数x x y 21--=的值域；思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 的值域如何研究？引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域；变式1：求函数x x x f 21)(-=的值域；变式2：求函数x x y -++=31的值域；

二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 ,

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1．求函数1y = 的值域。【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21 -x 无意义，而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3 2 时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式 x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ?? ?≠-≥+020 1x x ?? ?≠-≥2 1 x x

根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a 2、立方根： ⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴)2=a（a≥0a取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用

很广，务必掌握）。例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2 )3(-；（3）49 15 1 ； ⑷ 2 1(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3） 25 9；（4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）49 25 ± （8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10 227 -； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.

根式函数的性质及其应用

根式函数b ax y += 2的性质及其应用摘要：关键词： 1、引言高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、性质归纳性质1（定义域） R 性质2（值域） ),[+∞b 性质3（单调性）在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增性质4（奇偶性）偶函数性质5（对称性）关于y 轴对称将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、典例分析例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)

)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广：若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率，即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.

函数值域求法十五种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。基本知识 1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2.函数值域常见的求解思路： ⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 ⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷可以用函数的单调性求值域。 ⑸其他。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。解：∵∴ 显然函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例2. 求函数的值域。解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，

故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例3. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1） ∵∴ 解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵∴ ∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4. 求函数值域。

二次根式化简地方法与技巧

二次根式化简地方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、巧用公式法例1.计算 b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()())((2 -=-+-=+-++--= 二、适当配方法。例2．计算：3216 3223-+--+

换元法求函数值域(20200930122252)

2 39 2 8 解：令 t ..^^(t 0)，则 t 2 3x t 2 ???原函数可化为y (t i)2 ???其函数图像如图 1所示 1 ???当t 2时，即 x y 取得最大值y max = 5，无最小值。 4 ???函数y 3x J 3x 的值域为（- OO 5] 例2、求函数y 4x 3的值域。 ( ，/ 戶（t-g 出計 1 '/ /. 我*7 \ .E1 \ 解：［换元法］令t 2x 3 (t 0)，则 t 2 t 2 ?原函数可化为y 4' 3 1 t 2 1 2 2t t 5 2(t 4) 换元法求函数值域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如 y ax b cx d （a 、b 、c 、d 均为常数，且 0），可以令 t = cx — （t t 2 d t 2 d -- ? y a - - b t ；从而就把原函数化 c c 成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。例1求函数y 3x .1 3x 的值域。且a ^0），因此，可以考虑用换元法 2 0),则有 t cx d ? x 分析：函数y 3x ,1 3x 形如y ax 、、cx d （a 、b 、c 、d 均为常数,

???当t 0时，即x 3时，y 取得最小值y min =5,无最大值。 2 ?函数y 4x 1 飞的值域为［5 , +x)。例3、求函数y x 的值域。⑷ 分析：函数y x 1 x 2的定义域为［-1，1］，我们注意到1 sint 1 t 八因此，对于定义域为［-1 ， 1］的函数，我们可以考虑用 x sint( 3 t —)进行三角换元。解：函数 y x ,1 x 2的定义域为［-1 ，1］，设x sint(- 则原函数y x sint cost = ,2 si n(t ) 4 看图像(图2) 1 、、2si n(t )2 ? 4 即原函数的值域为［-1 ,、、 2］。 sin(t 1 y

函数值域求法(例题)

函数值域求法（例题）在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数 x 1 y = 的值域。解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。解：将函数配方得：4 )1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x =1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程 x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ )1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤

（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?? ?? ?23,21 例5. 求函数 ) x 2(x x y -+ =的值域。解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：2 1y 21+ ≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ?? ?23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+ =∴ 2 1y ,0y min + ==∴代入方程（1）解得：] 2,0[22 222x 4 1∈-+= 即当 2 2 222x 4 1-+ = 时，原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6. 求函数6x 54 x 3++值域。解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --= 则其反函数为： 3x 5y 64y --= ，其定义域为： 53x ≠ 故所求函数的值域为：? ?? ? ? ∞-53, 5. 函数有界性法