根式函数值域定稿版

根式函数值域

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探究含有根式的函数值域问题

含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。

1.平方法

例1：求31++-=x x y 的值域

解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+-

+x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y

所以函数值域为[]22,2

析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2

的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法

例2： 求值域1)12--=x x y

2)x x y 2

4-+=

解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，??

????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。

（2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令??

????-∈2,2ππα

则原函数转化为：??? ?

?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ??

????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。

不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。

3.数形结合法

例3：1）求()()8222+-+=

x x y 的值域。 2）求1362222+-++-=

x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x

其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y

（2）解析式可转化为()()41312

2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012

222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。

点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知

13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A

析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。

例4：1) 求x x y x 2312

+--+=的值域

2）求x x y -++=612的值域

解：（1）函数定义域为[]3,1-∈x 令x u x 232+-=，1+=x v 消去x 可得()4222=+

-v u 当[]3,1-∈x 时，[]2,0∈u ，[]4,0∈v

原解析式可化为u v y -=，即y u v +=

原值域问题可转化为：过圆弧()422

2=+-v u （[]2,0∈u ，[]4,0∈v ）上的一动点()v u ,，且斜率为1的直线系y u v += 在v 轴上的截距 y 的范围问题。结合图形可得，当直线过点()4,0时，4max =y ，当直线与圆弧相切时222min -=y 所以原函数的值域为[]

4,222-

2）函数定义域为[]6,1-∈x 令12+=x u ，x v -=6，消去x 可得 28422=+v u 其中[]72,0∈u ，[]

7,0∈v ， 原函数可转化为u v y +=，

即y u v +-= 原值域问题可转化为：过椭圆172822=+v u （[]72,0∈u []

7,0∈v ）上的一点()v u ,且斜率为-1的直线系y u v +-=在v 轴上的截距y 的范围问题。 数形结合可得，当直线过点()7,0时，7min =y

当直线与椭圆弧相切时， ?????+-==+y

u v v u 28422消去u 得0282522=-+-y v yv 由0=?，35=y 或者35-=y （舍去）得[]

35,7∈y 析：本组题目借助于直线与曲线的位置关系（常用的是直线与圆，直线与椭圆），巧妙地把复杂的值域问题转化成截距问题，

不管是把值域问题转化成动定点间的距离问题还是直线与曲线的位置关系问题，数形结合的方法，都可以巧妙地避开复杂的运算，使运算过程大大简化，但要求解析式具有某种明显的几何意义。

4.向量法

例5：求1051912-+-=x x y 的最大值。

解：解析式的定义域是[]19,10∈x ，

解析式可以看成是2个向量的数量积，不妨设()5,12=a ，()

10,19--=x x b ， 所以b a y ?=，其中13=a ，3=b ，根据向量的数量积定义得≤?b a a b =39，

当且仅当a 和b 同向的时候，“=”成立，即1012-x =x -195，169

1915=x ， 因为169

1915=x []19,10∈，所以最大值为39。 5.利用函数单调性

例6： 求函数x x y --+=642的值域

解：函数定义域为[]6,2-∈x ，易知函数在[]6,2-上是单调递增数列。

当2-=x 时，22min -=y ，当6=x 时，4max =y 所以函数的值域为[]4,22-∈y

析：若函数解析式可以比较方便判断他的单调性，那用这种方法就比较简洁。尤其是在填空题中，从函数的单调性入手可以提高做题的速度。

6.导数法

例7：求函数342+-+=x x y 的值域。

解：函数定义域为[)+∞-∈

,2x 4232+-+x x =3

42282+++x x x 当2-≥x 时，4232+-+x x ?0 0?'∴y

∴函数在

[)+∞-,2上单调递增，又()12-=-f

∴函数的值域为[)+∞-,1 析：导数法是求函数值域的一个有力的工具，只不过含根式的函数求导过程比较繁琐，

在实际操作的时候，注意运算的准确性。

通过此文不难发现，含根式函数的值域问题的求解方法虽多，但各有各的可行条件。所以拿到题目时，首先观察它的单调性，如果不明显，判断起来比较麻烦，那么再根据结构特征，选择恰当的方法，切忌凭借机械记忆生搬硬套，当然还需注意运算的准确性。