一道根式函数题的6种解法
高一数学不等式解法例题.doc
典型例题一 例 1 解不等式：（ 1）2x3 x2 15 x 0 ；（2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ． 分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) 0 （或f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（ 1）原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴．然后从右上2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 （ 2）原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图． 典型例题二 例 2 解下列分式不等式： （ 1） 3 1 2 ；（2） x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析：当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时，要注意它的等价变形g( x)
① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x （ 1）解： 原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。 （ 2）解法一 ：原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二：原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三 例 3 解不等式 x 2 4 x 2
一次函数图像练习题
考点一：正比例函数y=k x 与一次函数y=k x+b 的一般式 1.已知一次函数4)2(2-++=k x k y 的图象经过原点，则k=_____。 2、已知函数y =（2m -2）x +m +1， （1）m 为何值时，图象为过原点的直线． （2）m 为何值时，图像为一条不过原点的直线。． 3.一次函数y =5kx －5k －3,当k =___时，图象过原点；当k ______时，y 随x 的增大而增大. 4.m x m y m +-=-32)2(是一次函数，则m=___。 考点二：图像所经过的象限（k 和b 的含义） 1、正比例函数y=（m －1）x 的图象经过一、三象限，则m 的取值范围是 2.在平面直角坐标系中，一次函数y =2x +1的图象不经过________。 3.已知点P （m ，n ）在第四象限，则直线y =nx +m 图象大致是下列的（ ）
A．B．C．D． 4.一次函数y=kx+k（k＜0）的图象大致是（） A．B．C． D． 5.在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、 四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（） A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.已知关于x的一次函数y=m(x-n)的图象经过第二、三、四象限，则有 ( ) A．m＞0，n＞0B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0D．m＜0，n＜0 7．在函数y=kx+3中,当k取不同的非零实数时,就得 到不同的直线,那么这些直线必定( ) A、交于同一个点 B、互相平行 C、有无数个不同的交点 D、交点的个数与k的具 体取值有关 8．函数y=3x+b,当b取一系列不同的数值时,它们图 象的共同点是( )
根式函数值域定稿版
根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法 例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法 例2： 求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 （2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα
则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法 例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。 点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。 例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域
高中数学函数解析式求法
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
巧用两根式证明不等式
巧用两根式证明不等式 以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。 【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 102 1<<<． (1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<; (2)设函数 )(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明2 10x x < ． 简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。 【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2) ∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x ∵ a x x x 1 021< <<<． ∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1 ∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x 又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0 又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x )
(完整版)分类解析中考函数图像选择题
分类解析中考函数图像选择题 这里介绍函数的简单应用题，这是历年来中考的热点，其内容紧贴生活实际，主要考察同学们的判断能力，以及对函数的基本知识、基本技能、基本方法的掌握情况。下面列举2009年中考相关试题加以分析，仅供参考。 一、借助实际生活情境探究函数图像 函数关系来自于生活情境，可以将自己身临其境，感受各个数量之间的联系，理清题目的前后关系，才能把整个函数图像与实际问题结合起来。 例1（山东省滨州市）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图象能表示小明离家距离y 与时间x 关系的是（ ） 说明：解这种问题，关键是找出y 与x 之间的函数关系，根据函数关系确定它的图像。特别要注意小明到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸，距离y 始终不变，因此排除B 、C 答案，而A 图像表示看报的时间为20分钟，不符合题意，故选择D 答案 例2（四川省内江市）打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） 说明：本题主要考察学生的基本生活经验及判断能力，解这类题目，关键是数形结合，观察分析洗衣机不同状态下，水量与时间之间的变化关系在图像上的反应，符合题意的图像大致为D 答案 二、借助数学公式探究函数图像 此类图像选择题尽管比较简单，只要理清题目的前后关系就能确定， 但正确的图像往往 A ． / B ． C ． D ． A ． B ． C ． D ．
根式和一次函数
实数 3.1无理数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。 练习：下列说法正确的是（） （A）无限小数是无理数； （B）带根号的数是无理数； （C）无理数是开方开不尽的数； （D）无理数包括正无理数和负无理数 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏； (2)特定结构的数；如2.02002000200002… (3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如 3.分类:正无理数和负无理数。 3.2平方根 1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是 一对互为相反数，合起来是0 3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。 判断：（1） 2是4的平方根（） （2） -2是4的平方根（） （3）4的平方根是2 （） （4）4的算术平方根是-2 （） （5）17的平方根是17（） （6）-16的平方根是-4 （） 小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。 3.3立方根 1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别: (1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0； ②平方根、立方根都是开方的结果。 (2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。
高一数学函数的概念及表示方法
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：
完整版函数图像练习题
函数图像练习题、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的1接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文章，录入一段时间后因事暂停，电子文稿..成过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完 录入字设从录入文稿开始所经过的时间为x， 的函数关系的大致x下面能反映y与数为y，图象是（）、某人匀速跑步到公园，在公2 园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的 与时间距离) ( 的关系的大致图象是 的长、AP从点出发，沿线段B0A0A，则匀速运动到点0POAB3、如图，扇形动点）y度与运动时间t之间的函数图象大致是 （
若用横从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。4、某人进行登山活动，thht与的关系的图是（，纵轴表示与山脚距离，那么反映全程轴表示时间） ts（秒）的关系如图所示，则下列5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与所用时间）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多说法正确的是（．甲、乙两人的速度相同C．甲先到达终点 D．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，6睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是tss为时间，则下列图象中与，先到达了终点．……”用分别表示乌龟和兔子的行程，21 故事情节相吻合的图象是（）“漏壶”的示意图---- 7．如图是古代计时器在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，人们根据壶中水面的位置计壶壁内画出刻度，表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间表示时间，yx算时间。用 的函数关系？与内yxy8、如图所示的曲线，哪个表示 x是的函数（） y y y y x x x x
探究二次根式函数值域的求法
探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域 设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最 小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。 将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛
函数图像练习题
函数图像练习题 1、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小 华立即在电脑上打字录入这篇文 章，录入一段时间后因事暂停，过 了一会儿，小华继续录入并加快了 录入速度，直至录入完成.设从录 入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（） 2、某人匀速跑步到公 园，在公园里某处停留 了一段时间，再沿原路 匀速步行回家，此人离 家的距离与时间 的关系的大致图象是 ( ) 3、如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（） 4、某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么反映全程h与t 的关系的图是（）
5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与所用时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多 C．甲先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同 6．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌 龟还是先到达了终点．……”用 s1，s2分别表示乌龟和兔子的行程， t为时间，则下列图象中与故事情 节相吻合的图象是（） 7．如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时 间内y与x的函数关系 8、如图所示的曲线，哪个表示y 是x的函数（） 9．如图所示，一枝蜡烛上细 下粗，设这枝蜡烛点燃后剩下 的长度为h，点燃时间为t，则能大 致刻画出h与t之间函数关系的图象是（）
含根式函数值域的求法
含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线 与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 图 2 图1