两类根式函数的最值

根式函数值域定稿版

根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法 例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法 例2： 求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 （2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα

则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法 例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。 点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。 例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域

根式和一次函数

实数 3.1无理数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。 练习：下列说法正确的是（） （A）无限小数是无理数； （B）带根号的数是无理数； （C）无理数是开方开不尽的数； （D）无理数包括正无理数和负无理数 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏； (2)特定结构的数；如2.02002000200002… (3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如 3.分类:正无理数和负无理数。 3.2平方根 1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是 一对互为相反数，合起来是0 3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。 判断：（1） 2是4的平方根（） （2） -2是4的平方根（） （3）4的平方根是2 （） （4）4的算术平方根是-2 （） （5）17的平方根是17（） （6）-16的平方根是-4 （） 小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。 3.3立方根 1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别: (1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0； ②平方根、立方根都是开方的结果。 (2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。

探究二次根式函数值域的求法

探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域 设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最 小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。 将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线 与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 图 2 图1

函数与二次根式

八上期末练习（1） 姓名： 一、填空题： 1、下列式子中：3,40,1,,1,2,16222-+++n b a a a ，是二次根式的是 ，若A=42)9(+a ，则A 的算术平方根是 。 2.若a 为正整数，a -5为整数，则a 的值可以是 ；已知t=212x --，当x= 时， t 的最大值是 。 3.已知有理数a,b 满足等式,33 2 235a b a -+ =-则a= ；b= 。 4.如果x 是任意实数，则2x = ；()2 2a a = 成立的条件是 ；当a 时， 12=a a ；当a 时，12 -=a a ； 5 2 690y y -+=则xy= ； 6．已知直线1y x =，2113y x = +，24 55 y x =-+的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值，则y 的最大值为 。 7．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2， C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________． 8．已知直线y=- 3x+ 3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在坐标轴上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角 形，则符合条件的点P 有（ ）个． A 、4 B 、6 C 、7 D 、8 9．如图所示，直线OP 经过点P （4 ，，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11…分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2…Sn ，则Sn 关于n 的函数关系式是 第6题图 第9题

根式函数的性质及其应用

根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)

)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.

根式+指数函数

我先来讲一下指数函数，对数函数，幂函数这个之间的关系 (01)b a M a a 且 log (01)a b M a a 且 指数函数，b 变成x ；对数函数，M 变成x ；幂函数，a 变成x 根式 整数指数幂：*()n n a a a a n N 个 运算性质：m n m n a a a ，()m n mn a a ，()n n n ab a b 一、根式： 1.若*(1)n x a n n N 且，则x 为a 的n 次实数方根 注意： ①n 为奇数时，正数的n 次实数方根是正数，负数的n 次实数方根为负数 ②n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，互为相反数，()n x a n 为偶数 ③ 0的n 次实数方根为0 ④负数没有偶次方根 a 根式：n 为根指数，为被开方数 3. n a n a ；n a 二、分数指数幂 m n a （*,,0m n N a ） 1m n m n a a （*,,0m n N a ） 0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂无意义

指数函数 1.定义：,(0,1)x y a a a 2.性质： （1）定义域为R （2）值域为(0,) （3）过定点(0,1) （4） 0x ，00x ，1y 0，1y 0，0 1y （5）x y a 与1x y a 关于y 轴对称

例1：求下列函数的定义域和值域 （1）1 10.4x y （2）51 3 x y （3）21x y （4）10.5x y （5）9232x x y （6）46210x x y 简单示范两个：(4)和(5) 解： (4) 0 0.51 0010.510 1,0 x x x y x (5) 23(0) 22(0)2,x t t y t t t y x R 令 例2：求函数221 2 x x y 的单调区间，并证明 自己证明一下单调性 2 2,0.5t t x x y 令则 22 20.52(,1],[1,)0.5 (,1],[1, )t x x y t x x y 为单调减函数在上单调减上单调增 在上单调增在上单调减

根式函数值域

探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活, 又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1?平方法 例1:求y .. 1 x x 3的值域 解：由题意知函数定义域为3,1 ，两边同时平方得： 2 ■ 2 2 y 42、x 2X 3=4+2 x 1 4 2 利用图像可得y 4,8，又知y 0 y 2,2,2 所以函数值域为2,2.2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为 2 __________________ 2 y a b、x的形式，先求y的范围，再得出y的范围即值域。 2. 换元法 例2：求值域1)y 2x x 1 i12 2) y x x 解：(1)首先定义域为1,，令t . x 1 t 0，将原函数转化为 t 0, 析：当函数解析式由未知量的整数幕与根式构成，并且根式内外的未知量的次幕保持致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 ⑵首先，函数定义域为x 2,2 ，不妨设 x 2sin ，令-,- 则原函数转化为：y 2sin 2cos 2 2 sin 15

析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角 的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择 新元，并注意新元的范围。 3. 数形结合法 2 I 2 例3： 1）求y ? x 2 x 8的值域。 2）求y x 3 4 2x 2 x 2 6x 13的最小值。 : 2 i 2 解：（ 1） y J x 2 x 8 |x 2 l x 8 其解析式的几何意义为数轴上的一动点 x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得 到 y 10, f 2 2 （2）解析式可转化为y 、x 1 1 x 3 4 ， 定义域为R ，进行适当的变形 : 2, 2 | 2 2 2 2 x 1 1 v x 3 4 , x 1 0 1 x 3 0 2 ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和 点P x,0到A 1,1和B 3,2的距离之和。即y PA 1消去x 可得u 原解析式可化为y v u ， 3 2x ， v x 4 2 原值域问题可转化为：过圆弧u V 2 y min PA PB 13，其中 A 1, 1 析: 根据解析式特点，值域问题转化成距离问题, 结合图形得出最值，进而求出了值 域。 例 4： 1) x 1 .3 x 2x 的值域 解: 2） 求y 2.x 1 6 x 的值域 (1) 函数定义域为x 1, 3 1,3 时，u 0,2， v 0,4 PB ，结合图形可知

高中数学所有带根式的函数求最值求值域含答案

所有带根式的函数求最值、值域等问题 高考重点专项解决 一、单选题 1 ．函数y = 的值域是（ ） A ．?? B ．[]0,2 C ．?? D ．[]1,2 2 ．函数y =的值域为 A ． [1, ] B ．[1,2] C ． [ 2,2] D ． 2] 3．函数( )f x = ）． A B ．32 C ．52 D ．2 4 ．函数()f x x =+ ） A ．?? B ．???? C ．?-? D ．?? 5． 函数x x x x f sin cos 232cos )(+--=的值域是（ ） A ．??? B ．??? C ． ??? D ．??? 二、填空题 6．已知函数( )f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围_________. 7 ．函数y x =的值域是____________. 8 ．函数31y x = +的值域为_____. 9 ．函数y =___________.

10．14y x x =--的值域是 ． 11．2()52+412f x x x x =---的值域为__________ 12．12x y x -+= 的值域是_________. 13．函数的值域是_______________． 14．函数7 41)(2+++=x x x x f 的值域为 . 15．求函数x x y -+=1的值域 . 16．函数212y x x =--+的值域为__________． 17．函数2226921017y x x x x =-++-+的值域是_______________. 18．函数()5243f x x x = ---的值域是________. 19．函数 的值域是______． 20．函数 的值域是________________. 21．函数()2223f x x x x =-+--______． 22．函数2()22f x x x =-________ 23．函数541633 x x y x x --=++_____________ 24．函数1()211 x f x x -=-+的值域为__________． 25．函数22()4421f x x x x x =-+++______； 26．函数()11f x x x =--的值域为__________． 27．函数22()ln(11)f x x x x x =++-+的值域为 . 28．函数2y x x =-______． 29．函数()2114f x x x x =++--________. 30．函数()221f x x x x =--______. 31．函数2212152y x x x x =+--- __________.

指数幂根式及其对数的基本用法

指数幂根式及其对数的基本用法 1．分数指数幂与根式的性质： ⑴m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. ⑵1 m n m n a a -==（0,,a m n N *>∈，且1n >）. ⑶n a =. ⑷当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥?==?-≠>. 指数性质： ⑴1p p a a -=； ⑵01a =（0a ≠）； ⑶()mn m n a a =； ⑷(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈； ⑸m n a =； 指数函数： ⑴(1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数； ⑵(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质： ⑴log log log ()a a a M N MN += ； ⑵log log log a a a M M N N -= ； ⑶log log m a a b m b =? ； ⑷log log m n a a n b b m =? ； ⑸log 10a =； ⑹log 1a a = ； ⑺log a b a b = 对数函数： ⑴log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； ⑵log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

⑶log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或 ⑷log 0(0,1)(1,)a x a x ,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a ≠, 0N >). 4．对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 ⑴log ()log log a a a MN M N =+; ⑵ log log log a a a M M N N =-; ⑶log log ()n a a M n M n R =∈; ⑷ log log (,)m n a a n N N n m R m =∈。 5．设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42 -=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验. 6．对数换底不等式及其推广： 若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = ⑴当a b >时,在1(0,)a 和1 (,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数. ⑵当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论：设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 ⑴log ()log m p m n p n ++<. ⑵2log log log 2 a a a m n m n +<. 7．平均增长率的问题： 如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.

双复合根式三角函数值

整数角度的三角函数值研究 （李明中国医科大学数学教研室 110036） 研究整数角度的三角函数值（由于正、余割不常用，本文仅讨论正、余弦和正、余切），根据诱导公式，我们只需研究区间[0°，45°]中所有整数角度的三角函数值。为讨论方便，下文根据区间[0°，45°]中整数角度的三角函数值取值形式的不同将这些值分成四类：简单三角函数值，复合根式三角函数值，多根式三角函数值，隐三角函数值。 一、简单三角函数值 我们将取值为有理数、二次根式或它们的和的三角函数值定义为简单三角函数值，区间[0°，45°]中有0°，30°，45°，15°的各三角函数值，以及18°的正弦值和36°的余弦值。对于0°，30°，45°，15°这四个特殊角的各三角函数值，中学教材里面均已给出，本文不再赘述，它们的值将在表格1中直接列出。下面介绍求sin18°和cos36°的值一种常用方法： 首先，将等式sin36°=cos54°的两边分别用二倍角正弦公式和三倍角余弦公式展开，便得到等式2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°，再化简可得关于sin18°的方程 4sin218°+2sin18°-1=0，解得sin18°， 再由二倍角余弦公式易得cos36°=1-。我们看到，sin18°不与cos18° 互为有理化因式，却与cos36°互为有理化因式，因为sin18°cos36°=1 4 。这与 cos 二、复合根式三角函数值 我们将取值为某个复合根式的三角函数值定义为复合根式三角函数值。区间[0°，45°] 中仅有18°和36°的各三角函数值（sin18°和cos36°除外）。它们可由 和一一求得，不予赘述，这些值详见本文表格1。 三、多根式三角函数值 理论上，我们已经可以通过3°=18°-15°这个关系求出3°角的各个三角函数值，然后利用和角及倍角公式即可求出区间[0°，45°]中所有上文未求得的3°角整数倍的角度的各三角函数值。它们是3°、6°、9°、12°、21°、24°、27°、33°、39°、42°这