根式和一次函数
实数
3.1无理数
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。
练习：下列说法正确的是（）
（A）无限小数是无理数；
（B）带根号的数是无理数；
（C）无理数是开方开不尽的数；
（D）无理数包括正无理数和负无理数
2.无理数: (1)特定意义的数，如∏；
(2)特定结构的数；如2.02002000200002…
(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如
3.分类:正无理数和负无理数。
3.2平方根
1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是
一对互为相反数，合起来是0
3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。
判断：（1） 2是4的平方根（）
（2） -2是4的平方根（）
（3）4的平方根是2 （）
（4）4的算术平方根是-2 （）
（5）17的平方根是17（）
（6）-16的平方根是-4 （）
小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数；
0只有一个平方根,它是0本身；
负数没有平方根。
3.3立方根
1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。
2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。
3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。
4.平方根与立方根的联系与区别:
(1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0；
②平方根、立方根都是开方的结果。
(2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。
（一）、二次根式及其性质
一周强化
一、一周知识概述
1、二次根式
一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．
2、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．
3、二次根式的性质
(3)
4、积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
5、商的算术平方根的性质
(a≥0，b＞0)
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
6、最简二次根式
如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．
二、重难点知识归纳
1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．
2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).
3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．
4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．
5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．
三、典型例题讲解
例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．
化简：．
分析：
待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．
解：
由数轴上点的位置可知a>b，0 ∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0 总结： （1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小； （2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性． 例2、化简下列二次根式： 分析： （1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的 算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简． 总结： （1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简； （2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根． 例3、若x为实数，化简下列各式 （1） （2） 分析： 由于x为实数，要确定中的x＋1和中的x－2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论． 解： （1）==|x＋1| 当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|=x＋1 当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|=－(x＋1)=－x－1 （2）=＋2=|x－2|＋2|1＋x| 令x－2=0，则x=2， 令x＋1=0，则x=－1，x=2,x=－1称为零点值 把x=2，x=－1这两点标在数轴上(如上图) 这时数轴被分成三段：x≥2，－1≤x<2，x<－1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号．1）当x≥2时 |x－2|＋2|1＋x|=(x－2)＋2(1＋x)=3x； 2）当－1≤x<2时， |x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)＋2(1＋x)=x＋4； 3）当x<－1时 |x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)－2(1＋x)=－3x 说明： 解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的． 例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式 ，试确定m的值． 分析： ∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值． 解： 由二次根式有意义的条件知 ，∴x＋y=199 将其代入已知等式得 ． 又根据算术平方根为非负实数有 ②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得 m=x＋y＋2=199＋2=201． 总结： 当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零． 例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： 解析： 由数轴上实数a、b的位置可知，a－b<0， 例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（） A．12B．11C．8D．3 解析： 是正整数，12－n是一个整数的平方数，当n增大时，12－n减小，所以当n=11时，12－n=1，所以n的最大值为11． 答案：B 例3、（荆门市）若，则x－y的值为（） A．－1B．1C．2D．3 解析： 本题考查二次根式的意义， 由题意可知x－1≥0且1－x≥0, ∴，， ∴x－y=2，故选C． 答案：C 二次根式的加减法 一周强化 一、一周知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项相似．将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数不变． 3、二次根式的加减法 二次根式加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把同类二次根式分别合并．合并方法为系数相加减，根式不变． 注意：二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并． 4、二次根式的加、减运算的依据 二次根式的加、减运算实质上是运用实数的加法交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律． 二、重难点知识 二次根式的加减法运算实质上是运用实数的运算律，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化简为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 三、典型例题讲解 例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（） A、B、 C、D、 分析： 本题主要是考查化简二次根式的能力和同类二次根式的概念的理解及判断能力，解此题，首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式，哪个被开方数是3. 解： ∵， 是最简二次根式，不能再化简. ， 故是同类二次根式. 答案：D 例1、（贵阳市）计算：=__________. 分析： 本题主要考查二次根式的加减运算，应先将各项化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式. 解： . 例2、（上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（） A．B．C．D． 解析： 要判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把各个二次根式化成最简二次根式后再看被开方式是否相同．因为是最简二次根式，，， ，所以与是同类二次根式的是． 答案：C 例2、计算： （1）． （2）． 分析： 本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把同类二次根式进行合并． 解： (1) ． (2) ． 例3、计算： 分析： 先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算． 总结： 解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置． 二次根式的乘除法 一周强化 一、一周知识概述 1、二次根式的乘法法则 (a≥0，b≥0) 即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 注意：①此法则可推广到多个二次根式的情况：如（a，b，c，d都是非负数）； ②如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数； ③二次根式运算的结果，应该尽量化简，如最终结果不要写成； ④被开方数相乘的时候，往往不求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便进一步的化简. 如直接得到，而不要先写成； ⑤二次根式相乘也要有一定的灵活性，如果不是最简二次根式，也可以先把它们化简成最简二次根式，然后再相乘，反而简便些. 如 . 2、二次根式的除法法则 (a≥0，b＞0) 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相除，仍旧作为二次根号前的系数； ②这种方法的局限性比较大，它只适用于被除式与除式的被开方数恰好能整除的情况. 如. 当被除式与除式的被开方数不能整除时，如我 们把它化成没有什么意义，这时就要采用分母有理化的方法来进行. 因此二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中根号的方法来进行. ③二次根式相除，最后的结果必须化成最简二次根式. 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：①在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； ②有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； ③二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简． 2、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律）、运算法则及所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在二次根式的运算中仍然适用． 三、典型例题讲解 例1、计算 （1）； （2）； （3）. 分析： 逆向利用积的算术平方根的性质，（a≥0，b≥0）得到 （a≥0，b≥0）这就是二次根式的乘法法则. 有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同样适用. 解： （1） （2） （3） 例2、计算 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 分析： 利用二次根式除法法则进行，被开方数相除时，用除以一个数（非零）等于乘以这个数的倒数，约分再化简． 解： （1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． （5）原式． （6）原式． 小结： 当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算．运算的结果一定要最简．即：①被开方数不能有开得尽方的因数或因式；②被开方数中不能含有分母． 例1、（新疆乌鲁木齐市）计算：． 解： 原式 ． 例2、（山东青岛）计算：＝_____________． 解析： 本题考查二次根式的乘法和除法运算，根据运算顺序先计算， ，所以. 答案：1 一次函数 6.1函数 常量:在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。 变量:在变化过程中，可以不断变化取值的量叫变量。 函数:一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x和y。如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。 6.2一次函数 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零)的形式,则称y是x的一次函数。x为自变量,y为因变量。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数(正比例函数是特殊的一次函数)。 6.3一次函数的图像 1.一次函数的性质: (1)当k＞0时,y随x的增大而增大； (2)当k＜0时,y随x的增大而减小； (3)函数图象经过定点（0，b）。 2.正比例函数的性质: (1)当k＞0时,图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； (2)当k ＜0时,图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小； (3)函数图象经过定点（0，0）。 3.作正比例函数图像: 对于正比例函数y=kx,通常取两个点(0,0),(1,k),两点的连线就是其图象(两点确定一条直线),所以正比例函数的图象是一条直线。 4.作一次函数图像: 通常取直线与坐标轴的交点来画它的图象。在x 轴上的交点(-b ／k,0),y 轴上的交点(0,b) 5.一次函数y=kx+b 的图像的位置与k,b 符号的关系: (1)k ﹥0,b ﹥0时，图象经过第一、二、三象限； (2)k ﹥0,b ﹤0时，图象经过第一、三、四象限； (3)k< 0,b ﹥0时，图象经过第一、二、四象限； (4)k< 0,b ﹤0时, 图像经过第二、三、四象限； (5)k ﹥0,b= 0时，图象经过第一、三象限； (6)k< 0,b= 0时，图象经过第二、四象限。 1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=1 2 x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 2．下面哪个点在函数y= 1 2 x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四 5．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ） A ．m>12 B ．m=12 C ．m<12 D ．m=-1 2 6．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0 C ．0≤k<3 D ．0 A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-1 8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ） ！！！9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），?那么这个一次函数的解析式为（） A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=1 2 x-3 11．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 12．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．16．若一次函数y=kx+b交于y?轴的负半轴，?且y?的值随x?的增大而减少，?则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”） 17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组 30 220 x y x y --= ? ? -+= ? 的 解是________． 18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．！！！！19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．20．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式 为__________，△AOC的面积为_________． 21．根据下列条件，确定函数关系式： （1）y与x成正比，且当x=9时，y=16； （2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）． x y 1 2 3 4 -2 -1 C A -1 4 3 2 1 O 专题：二次根式重难点综合题型 题型一：二次根式的性质 1．写出下列各式有意义时x 的取值范围. (1)12--x ; (2) ． 2．已知：,x y 为实数，且311+-+- ※课后练习 1．若53+的小数部分是a ，5-3的小数部分是b ，求a +b 的 值。 2．已知411+=-+-y x x ，则xy 的平方根为______． 3．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 4．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 5．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x 3y ＋xy 3的值． 6．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足 .09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长． 7 ．已知：11a a +=221 a a +的值。 8．化简： 9．已知：x,y,z 满足关系式： y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20122012223，试求x ，y ， z 的值。 10．求值： 2004 20031431321211++ ++++++Λ x x x x x 1399413+-a a b b a a a 2129122+-+) 23(623 24b a a b b a ab b -?-÷2 310253b a b a ÷- ? 根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法 例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法 例2： 求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 （2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα 则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法 例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。 点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。 例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域 函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 特尔教育一对一个性化辅导讲义 学科：数学任课教师：授课时间：2014年9月日(星期 ) 2、应用题 1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2 ，求道路的宽度． 2 西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元／千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元． (1)设销售单价为每千克a 元,每天平均获利为y 元,请解答下列问题:（每空2分） ①每天平均销售量可以表示为_____; ②每天平均销售额可以表示为______; ③每天平均获利可以表示为y=________; (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? （5分） 解析：(1)①)4001400(a -千克 ②a a )4001400(-元 ③24)4001400)(2(---=a a y （元） (2) 该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元? 解法一：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元,根据题意，得： ()40322002420001x x ?? --+ -= ?.? ?； 解这个方程，得：120203x x =.,=. 因此 应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元. 解法二：由(1)根据题意，得：(a-2)(1400-400a)-24=200 整理得 056.75.52 =-+a a 实数 3.1无理数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。 练习：下列说法正确的是（） （A）无限小数是无理数； （B）带根号的数是无理数； （C）无理数是开方开不尽的数； （D）无理数包括正无理数和负无理数 2.无理数: (1)特定意义的数，如∏； (2)特定结构的数；如2.02002000200002… (3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如 3.分类:正无理数和负无理数。 3.2平方根 1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是 一对互为相反数，合起来是0 3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。 判断：（1） 2是4的平方根（） （2） -2是4的平方根（） （3）4的平方根是2 （） （4）4的算术平方根是-2 （） （5）17的平方根是17（） （6）-16的平方根是-4 （） 小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。 3.3立方根 1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别: (1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0； ②平方根、立方根都是开方的结果。 (2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 《实数和二次根式》知识点 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a 2=，则x叫做a的平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。 5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。 注：（1）非负数才有算术平方根 （2）非负数的算术平方根仍为非负数 6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a 7.立方根： （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a 3=，则x叫做a的立方根。 （2）立方根的表示：a3 （3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。 （4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 8.平方根和立方根的区别 （1）被开方数的取值范围不同 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。 9.实数：有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 分类： 实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0????????????????????????? 10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。 11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。 注：（1）含有二次根号 “” （2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数 （3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00() 12.二次根式的基本性质： ()()a a a 20=≥ 学科：数学 姓名 1、 2、 3、 4、 5、 1、 3、 5、 6、 7、 8、 年级 特尔教育一对一个性化辅导讲义 任课教师: 性别 二次根式易错题及重难点题练习 、选择题 计算 A. 使式子 授课时间：2014年9月日（星期） 总课时 2008 2009 .7 2 2 . 7 2、2,正确的结果是( 2 ...2 7 B. ,7 2、、2 C.1 D. x（x 5） 2有意义的未知数x有（）个. 0 B . 1 C . 2 D .无数 -2 x 1成立的条件是 ■ 7 2「2 B. x A -1 C . -1 w x w 1 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 A. 1 B. 1 C. 1 2a D. 2a 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为 表示的数为（ A. 2 3 C. 2 3 二、填空题 (2 .5)2 计算：327 4 1 .3 2、 4、 | 1 a |、a2的结果为（ a ---- 1i ------- > 1 0 1 1和?、3，点B关于点A的对称点为C,贝惊C所 、、252 242 v a2x 2abx b2x = 丄中根号外面的因式移到根号内的结果是 a a j字1化简二次根式号后的结果是 若J m —1- 有意义，则m的取值范围是 m 1 9、 x 2 2X 1有意义，则x 的取值范围是 10、 当 x < 0 时， 11 .比较大小：— 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 14、在小明大学同学毕业五周年的聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手 人参加这次聚会，则可列出方程 三.计算题 1、 4、若最简根式 3a b 4a 3b 与根式 2ab 2 b 3 6b 2是同类二次根式，求 a 、b 的值. 5、若 |1995-a | +、、a 2000 =a ，求 a-19952 的值. 6、已知 a=、3-1,求 a 3+2a 2 -a 的值 7、已知x 2 3x 1 0,求 x 2 E 2的值。 化简1 X v x 2 的结果是 12 .方程 X 2 9x 13. a — a 1 的有理化因式是 105次，设有X 3m 2 3n 2 亠 2a 2 如图：A ，B ， C 三点表示的数分别为 a ， b , c 。 C AO B 利用图形化简: a b l -3 (a>0) 探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域 设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最 小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。 将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛ 专题复习 二次根式 知识点归纳： 一．实数： 1. 数的分类： ?????? ??无理数分数整数有理数实数（定义分） ???? ? ????????? ?负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a . （3） ?? ?<-≥==) 0()0(2 a a a a a a )0()(2 ≥=a a a 3. 立方根的性质： （1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2） a a =3 3 a a =33)( 二．二次根式： 1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。 2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。 3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。 4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥= ?b a ab b a 除法： )0,0(>≥= b a b a b a 6.常见化简：?????<-≥=) 0()0(22a b a a b a b a )0(1>= =a a a a a a a 或 典型例题讲解及变式练习： 例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。 练习： 1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。 2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2 1m -的立方根，求A+B 的值。 3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。 练习： 1.0)2(132 =-++++c b a ，求12 -+c b a 的算术平方根。 二次根式的乘除教材分析与重难点突破第1课时 一、教材分析 本节主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简，通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法．建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备． 探究二次根式的乘法法则，教材从具体例子出发，由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则．通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而得出二次根式的乘法法则．“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动．首先是让学生通过计算发现规律，然后是让学生对发现的规律进行类比，得出乘法法则的具体内容． 为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高学生的运算能力，也为今后的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算． 将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质．利用这条性质可以对二次根式进行化简．通过学习，应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识，即在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来，这一点教材利用了一个小贴士加以说明． 本节课的教学重点是，二次根式的乘法法则；教学难点是，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯． 二、重难点分析 1．二次根式的乘法法则的理解 突破建议 1．教材对本节内容的处理，仍然沿用“从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，经历从特殊到一般的过程，归纳得出二次根式的乘法运算法则”的方式展开，教学时，应充分根据教材的编写意图，让学生通过观察： 含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线 与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 图 2 图1(完整版)专题：二次根式重难点综合题型
根式函数值域定稿版
高中数学函数解析式求法
二次根式定义与性质
二次根式重难点题型及易错题
根式和一次函数
高一数学函数的概念及表示方法
《实数和二次根式》知识点汇总
二次根式重难点题型及易错题
探究二次根式函数值域的求法
专题复习-实数和二次根式
人教版-数学-八年级下册二次根式的乘除 教材分析与重难点突破 第1课时
含根式函数值域的求法
高一数学函数经典难题讲解