圆锥曲线的第三定义
2015.1.23 JZX
圆锥曲线的第三定义及运用
成都石室中学 蒋宗汛
一、 椭圆和双曲线的第三定义
1. 椭圆
x
y
2
2
在椭圆 ：
中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一
C 1 a b 0
a
b
2
2
点，若k 、k 存在，则有： PA
PB
k
k = e
1=
2
PA
PB
b 2
a
2
证明：构造△PAB 的 PA 边所对的中位线 MO ，k k ，由点差法结论：
k
k = e
1=
2
PA MO MO
PB
b
2
a
2
知此结论成立。
2. 双曲线
x
y
2
2
在双曲线C ：
1中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A 、B 的一点，若k 、k
2
2
PA
PB
a b
存在，则有：
k k =e
1=
2
PA PB b 2 a 2
证明：只需将椭圆中的b2 全部换成b2 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
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二、与角度有关的问题
x y 3
2 2
例题一：已知椭圆
： a b 的离心率e ，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与
双曲C 1 0
a b 2
2 2
线x y
2 2
1的一个交点，令PAB=，
APB=，则
7 8
cos
=
cos 2
.
解答：
令PBx =，由椭圆第三定义可
知：
2 1
tan tan =e 1=
4
cos cos cos cos sin sin 1 tan tan 3 = = =
cos 2cos cos cos sin sin 1 tan tan 5 点评：
其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联
想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。
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变式 1-1：（石室中学2015 级高二下4月18 日周末作业）
已知双曲线C：x2 y2 2015 的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线右支一点，且PAB=4APB ，求.
PAB=
解答：
令= 0，，PBA= 0
PAB ，，则 =5，由双曲线的第三定义知：
2 2
tan tan =tan tan5=e 1=1
2
1
则：
tan= =tan 5= 5
=
tan5 2 2
12
点评：
与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。
三、与均值定理有关的问题
x y
2 2
例题 2：已知 A、B 是椭圆
2 2 1 a b 0 长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两
a b
点，直线 AM、BN 的斜率分别为k 、k ，且
1 2 k1k2 0 。
若
k k 的最小值为 1，则椭圆的离心率
1 2
解答一（第三定义+均值）：
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2015.1.23 JZX 由题意可作图如下：
b
2
连接 MB，由椭圆的第三定义可知：，而
k k =e 1= k k
2
AM BM BM BN
2
a
b
2
k k
1 2 = 2
a
2b b 1 3
k k 2 k k = =1= e=
1 2 1 2
a a 2 2
解答二（特殊值法）：
1 这道题由于表达式 1
2 min 1 k k 时可取最值，
k k 非常对称，则可直接猜特殊点求解。= =
1 2
2 则 M、N 分别为短轴的两端点。此时：
b 1 3
k = k = = e= 。
1 2
a 2 2
点评：
对于常规解法，合理利用 M、N 的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用 a、b 表
示出最值 1。当然将k 、k 前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解
1 2
法相同，即变式 2-1。
x y
2 2
变式 2-1：已知 A、B 是椭圆
长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称
的2 2 1 a b 0
a b
两点，直线 AM、BN 的斜率分别为k 、k ，且k1k2 0 。若
1 2 2 k 2 2 k 的最小值为 1，则椭圆的离
1 2
心率.
解答：
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b
2
连接 MB，由椭圆的第三定义可知：，而
k k =e 1= k k
2
AM BM BM BN
2
a
b
2 k1k2 = 2
a
4b b 1 15
2 k 2 2 k 4 k k = =1= e=
1 2 1 2
a a 4 4
x y 2
2 2
变式2-2：已知A、B是椭圆
2 2 1 0 长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使
a b AQB ，
a b 3
则椭圆的离心率的取值范围为.
解答一（正切+均值）：
令 Q 在 x 轴上方，则直线 QA 的倾斜角为0，，直线 QB 的倾斜角为
2
，。2
AQB ，，
tan AQB tan 2
tan tan
1 tan tan
由椭圆的第三定义：
b
2
tan tan =
，则
a
2
tan
=
a
2
b
2
tan
b
2
b
2
tan
tan tan
2
tan tan= tan= a
a
2
带入可得：
1 tan tan b b
2 2
11
a a
2 2
b 2b
2
2 tan
2 2ab
a tan = a =
b b a b
2 2 2 2
11
a a
2 2
b
（取等条件：tan ，即 Q 为上顶点）
a
2
6
而 tanx 在，单增，则 Q 为上顶点时
AQB ，所以此时AQB ，故e
，1
2 3 3
max
解答二（极限法）：
当 Q 趋近于 A、B 两点时，AQB （此时 Q 点所在的椭圆弧趋近于以 AB 为直径的圆的圆
2
AQB
2 弧，AQB 相当于直径所对的圆周角）；当 Q 在 A、B 间运动时（Q 在以 AB 为直径
的圆内部，AQB 直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q 为短轴端点时
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22。由于椭圆上存在 Q，使AQB 。AQB ，那么Q 为短轴端点时
AQB
max 3 max
3
2
取临界情况，即 Q 为短轴端点时，此时
AQB
3 a
b
6
3 e ；当椭圆趋于饱满（e 0 ）
3
时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为 90°，不满足；当椭圆趋于线段（e 1）时，
6
，满足。故
AQB ，。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。
e
1max
3
点评：
这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当 Q 趋近于 A 、B 两点时，”
AQB
2 时能会颠覆“AQB ”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：
①与第三定义发生联系②tanx 在
，单增便于利用 tanx 的大小比较角度的大小。
2
四、总结归纳
1. 上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。
2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度
对称的式子的最值，如：例题 2
3. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式 2-2 中 P 在椭圆上滑动，角度的变化
一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。
4. 做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的比较角的大小关系，注意学会恰当运用，如：
变式 2-2。
5. 常以正切值刻画角度大小。
6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。
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7. .
8. .
五、链接
针对上文提到的“圆周角的妙用”与椭圆中另一类奇妙的均值进行拓展补充，各附例题。
例题 3：在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点M 1, 2和N 1, 4，点 P 在 X 轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为.
解答一（正切+均值）：
已知：M 1, 2、N 1, 4，l : y x 3与 x 轴交于0 3, 0
P
MN
令P t ,0，则：
k
MP
2
1t
，
k
NP
4
1t
，
MPN =
①当t 3 时，=0
②当t 3
时，
k k 2t
6
tan= =
MP NP
1k k t
7
2
MP NP
2t 6 2x 2 2
令x t 3 0 ，则（tan 0 ）
tan= = = =1
2 2 16
t 7 x 6x 16 x 6 2 x 16 6
x x
此时x 4 ，t 1，
max 4
③当t 3时，
k k 2t
6
tan= =
NP MP
1k k t
7
2
MP NP
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x t 3 0 ，则
2t 6 2x 2 2
1
tan = = =
=
16
t 7 x 6x 16 x 6 2 x 16
6 7
2 2
x x
（tan 0 ）
此时x 4 ，t 7 ，
tan
max 1 7
由于0，，且tan 在0，上单增，tan 0，1
，此时t 1
max 4
解答二（圆周角定理）：
本题中的取极值时的 P 点的几何意义为：过 M、N 的圆与 x 轴切于 P 点。下面给出证明：
证明：以与 x 轴切于P 点的圆为例：
2
当半径 r 较小时，圆与 x 轴无交点。当半径稍大一点时，圆与 x 轴相切，有一个交点。当半
径更大一点时，圆与 x 轴有两交点P 、P ，此时：根据圆周角定理：
3 4
MP N MP N
3 4
，可知：圆与 x 轴相切时，
M Q N= MP N
MPN 。
2
max
所以：过 M、N 的圆与 x 轴切于P 、P 点时，分别有MPN
3 4
max 只需比较，哪一个更大。
MP N 与
MP N
1 2
令与 x 轴相切的圆的圆心为x, y，则切点P x ,0，半径为 y
2 2
2
x 1 y 2 y 圆满足：
2 2 2
x 1y
4y
x 6x 7 0 x
7or1
2
（消去 y）8 / 11
2015.1.23 JZX 比较可知：当 x=1 时，
MPN
max
点评：
常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆变式 3-1：若 G 为△ABC 的重心，且AG BG ，则sin C 的最大值为.
解答一（余弦定理+均值）：
1
x x x x
G A B C
3 ,
令G0, 0，A a ,0，B0, b，则由
C a
b
1
y y y y
G
A B
C 3
由点间的距离公式：AB a
b ，
2 2 AC 4a
b ，
2 2
BC a 2
4b2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4a b a 4b a
b AC BC AB
由余弦定理：
cos C =
2AC BC 2 4a b a 4b
2 2 2 2
4 a b 2 a b
2 2 2 2
= =
2 4 4 4 4
a b a b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2 2 2 2 5 2 2
由于：
ab 4a b a 4b a b
2 2
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4 3 3
cos C 0 sin C sin C
5 5 5
max
解法二（圆周角定理）：
令A1,0，B1, 0，G sin, cos，则C3sin,3cos
题目转化为：A1,0，B1, 0，C x, y满足：x2 y2 9，求sin C 的最大值。
目测可知C0,3时，ABC，下面以C'0, 3来证明。
max
过A1,0，B1, 0，C'0, 3作圆 O：
若 C 不在C '点，令 AC 交圆 O 于 Q 点。由圆周角定理：ACB AQB AC 'B 证得
4 3
此时由余弦定理cos C= sin C
min max
5 5
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圆锥曲线定义的运用
圆锥曲线定义的运用》案例分析 双鸭山31 中郭秀涛 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修）?数学》（人教版）高二（上），第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性, 它是无数次实践后的高度抽象. 恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁. 因此, 在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义, 熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05 年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象, 难以理解. 如果离开感性认识, 容易使学生陷入困境,降低学习热情. 在教学时, 我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题, 进行点评, 强调“双主作用”的发挥. 借助多媒体动画, 引导学生主动发现问题、解决问题, 主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知, 提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性, 提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申, 精心设问, 引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学, 激发学习数学的兴趣. 在民主、开放的课堂氛围中, 培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点
圆锥曲线的定义及其应用
圆锥曲线的定义及其应用 一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入： 问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？ （F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一 巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅 世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。 一、四种圆锥曲线的统一定义 动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。 二、四种圆锥曲线的统一方程 从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们 的半通径为p ，则2 b p a =。 如图1，将椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+= ∴22 2222b b y x x a a =+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2 221b e a =- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e << 类似的，如图2，将双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>按向量(,0)a -平移得到
2222()1x a y a b +-= ∴22 2222b b y x x a a =+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2 221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+-> 对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成 2222(1)(1)y px e x e =+-= 对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-= 于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。 三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式 在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F 则有222(1)(1)11 c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21 p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++ (0)1 p OP p e e ===+ 即方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为(,0)1 p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有OF e m =-。
圆锥曲线定义的运用(精)
圆锥曲线定义的运用 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修） 数学》(人教版)高二 (上)，第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点:
圆锥曲线专题复习.doc
锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA
题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若
圆锥曲线第三定义及扩展
圆锥曲线第三定义 令狐采学 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 2 2 a b k k PB PA -=?。（反之亦成立） 在双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 22 a b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足2 2 b a k k PB PA -=?，双曲线满足 22b a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴长为 4，若点P 是椭圆上 任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1?k2=4 1 -，则椭圆的方程为。 变式：
1、设点 A ， B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线 C 上任 意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4 1 -，则曲线C 的方程为。 2、设点 P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴 相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4 3 -，则OP 的最小值是。 3、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m （0≠m ），求顶点C 的轨迹。 4、P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的 左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5 1 ，则双曲线离心率为。 5、已知椭圆12 322=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于 A 、 B 的动点，求证：MB MA k k ?为定值。 6、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； 第三定义的应用 例、椭圆14 22 =+y x 的左右顶点分别是 A ， B ，点S 是椭圆上位于 X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3 10 := x l 分别交于点M 、N ，
圆锥曲线定义及其应用
圆锥曲线定义及其应用 授课人：杨海芳 一、教学目标 1、 知识目标：能掌握圆锥曲线的二种定义及熟练灵活地应用定义求轨迹方程，距离，最值等问题。 2、 能力目标：能够准确地运用圆锥曲线的定义来解决实际问题，培养学生应用意识，提高分析，解决问题的能力。 二.、难点 圆锥曲线定义的灵活应用 三、教具 多媒体教学课件 四、教学过程 第一环节：经典回顾 圆锥曲线的定义：第一定义。第二定义。 第二环节：定义的应用 1.距离问题 例1、椭圆 上一点P 到右焦点F2的距离为7，求P 到左焦点的距离 思考： 变式1:求点P 到左准线的距离? 变式2:求点P 到右准线的距离? 2.坐标问题 例2．求抛物线y2=12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标 由例2请大家在椭圆或双曲线上设计一道题目？？？ 注意：1、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义来解决; 116252 2=+y x y F2 P X O F1 L1 L2 P2 P1 · · F M l N x o y
2、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用统一定义解决问题. 第三环节：探究引申 1.轨迹问题 例3、已知动圆A 和圆B ：(x+3)2+y2=81内切，并和圆C ：(x-3)2+y2=1外切，求动圆圆心A 的轨迹方程。 分析：圆内外切时圆心与切点有何关系？ 变式1：求三角形ABC 面积的最大值； 2.最值问题 变式2已知椭圆 中B 、C 分 别为其 左、右焦点和点M (2,2) ，试在椭圆上找一点A ,使： （1） 取得最小值; 点评： 1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状,可避免繁琐的计算; 2、一般，设A 为曲线含焦点F 的区域内一点在曲线上求一点P ，使|PF|+1/e|PA| 的值最小，都可以过点A 作与焦点F 相应准线的垂线，则垂线段与曲线的交点即为所求之点。 四、小结反思： 1、本节的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。 2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的共性和个性 3、利用圆锥曲线的定义解题时，要用数形结合、化归思想，以得到解题的最佳途径 4、有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决。 y B C O x A AB AM 35+1162522=+y x 变式3：已知椭圆 中B 、C 分别为其 左、右焦点；又点 M ，试在椭圆上找一点 A,使： 取得最小值. 1162522=+y x )2,2(AC AM +
圆锥曲线的统一定义 (2)
§2.5圆锥曲线的统一定义 教学目的： 1、知识与技能: 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法 类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置 复习回顾 1、抛物线的定义： 探究与思考: 1≠d PF 呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为: 你能解释这个式子的几何意义吗？ 二、知识建构 例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2 :=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求 P 的轨迹. 变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2 := 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 的轨迹. 222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-22 2)(
圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是 其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考 1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？ 准线: 定义式: )0(12222>>=+b a b y a x ) 0,0(122 22>>=-b a b y a x
圆锥曲线的第三定义
圆锥曲线的第三定义及运用 一、 椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆 在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上 异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论： 2 2 2=1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。 2. 双曲线 在双曲线22 22C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、
B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2 =1=PA PB b k k e a ?- 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。 二、 与角度有关的问题 例题一：已知椭圆()22 22C 10x y a b a b +=：的离心率3 2 e = ，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22 178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠， ，则()cos =cos 2β αβ+ .
解答： 令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4 e αγ?-- ()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3=== cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5 γαβ γαγααγαβγαγαγααγ-++?=+++-? 点评： 其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。 变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业） 已知双曲线22C 2015x y -=：的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线右支一点，且 =4PAB APB ∠∠，求=PAB ∠ . 解答： 令=02PAB πα?? ∠∈???? ，，=02PBA π β?? ∠∈???? ，，则=5βα，由双曲线的第三定义知： 2tan tan =tan tan5=1=1e αβαα??- 则：1tan = =tan 5=5=tan52212πππαααααα?? -?-? ???
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，
圆锥曲线的定义及几何性质
圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2 ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是（ ）A ．(01)， B ．1(0]2 ， C ．(02 D ．1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=°，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．12 D ．1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ?= ，2 12AF AF c ?= ，则椭圆的离心率e = （ ） A ． 3 B ． 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ，为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点，若 120 PF PF ?= ， 121tan 2 PF F ∠= ，则此椭圆的的离心率为（ ） A ． 12 B ． 23 C ．1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为（ ） A ．3 B ． 253 或3 C ． D 8. 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 4 C 2 D 4 10. 设12F F ，分别是椭圆 222 2 1x y a b + =（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2 :a l x c = 上存在P （其 中c =），使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．0, 2? ?? B ．0, 3? ? ? C ．,12????? D ．,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||AB AF =，则椭圆的 离心率e =（ ） A ．2-+ B ． C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 13. A ．02? ? ? B ．102? ? ?? ?， C ．)11 ， D ．112 ???? ??， 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为 椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为 （ ） 224416. 在ABC △中，A B B C =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离 心率e = ． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为 半径作圆M ．若过点20a P c ?? ? ?? ，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ． 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________． 19. 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点，若12 21 2PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________． 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若 2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．
圆锥曲线的定义及其应用(精)
圆锥曲线的定义及其应用 教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。 教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。 教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。 教学过程： 一.引入： 问题1：到定点12(2,0),(2,0) F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121284 PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 11614x y += 问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P 的轨迹是什么？ （ 以 12 ,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以 12 ,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为4，则P 点的轨迹是什么？ （以 12 ,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片） 问题2：已知定点F （1，2），定直线:210l x y +-=，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点 的轨迹是什么？ （ F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，2）为焦点，以直线:210l x y +-=的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（3，－1），则点P 的轨迹是什么？ （2）当PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。 二.圆锥曲线定义的应用 （一）利用圆锥曲线定义求轨迹 例1.设动圆M 过定点A （－3，0），并且在定圆B ：22 (3)64x y -+=的内部与其内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程。
专题-圆锥曲线与方程(教师)
专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=
圆锥曲线的定义考点大全
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义解读 江苏王冬琴 圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想. 一、圆锥曲线的统一定义 1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线. ①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线. 2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径. 运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示. 3．注意事项 （1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件. （2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率. （3）准线与圆锥曲线一定没公共点. （4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MF e d =，若1 e>， 则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1 e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1 e<，则动点M的轨迹不存在. 二、圆锥曲线的几何性质
运用圆锥曲线定义法求轨迹方程教案
运用圆锥曲线的定义求轨迹方程 【学习目标】 1、进一步理解圆锥曲线定义的内涵，加深对圆锥曲线本质特征的理解和认识。学会运用定义判断动点的轨迹并求动点的轨迹方程。 2、在应用圆锥曲线定义解决问题的过程中，体验运用定义法解决问题时的特点，提高快速、准确、灵活的解题的能力。 3、进一步培养自我批判的思维品质，质疑求真的科学态度。 【教学重点】（1）圆锥曲线定义的再认识；（2）圆锥曲线定义在解题中的运用。 【教学难点】如何运用圆锥曲线定义解决相关问题。 【课前导学】 1、圆锥曲线的定义（用数学符号表示） 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义 2、解答下列各题 （1）过点(1,0)A 且与直线l ：1-=x 相切的动圆M 的圆心M 的轨迹方程为 （2）在ABC ?中，已知)0,1(),0,1(C A -，若sin sin 2sin A C B +=，则定点B 的轨迹方程为 （3）设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，向量(3)a x i y j =+?+? ，(3)b x i y j =-?+? ， 若且||||2a b -= ，则满足上述条件的点(,)P x y 的轨迹方程 是 （4）方程|2|21 )1()1(22-+=+++y x y x 表示的曲线是 （ ） A 、 椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、不能确定 【课堂学习】 [例题1] 一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与圆2O ：100)3(2 2=+-y x 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
[思考1] 一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，圆2O ：9)3(22=+-y x 中的一个内切一个外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。（同时相切呢？） [思考2] 已知圆1O ：4)2(22=+-y x ，动圆M 与圆1O 外切，且与y 轴相切，求动圆圆心M 的轨迹。 [例题2]已知圆22 :(3)100M x y ++=和点(3,0)N ，P 为圆M 上任一点，线段NP 的的垂直平分线交直线MP 于Q ，当点P 在圆M 上运动时，问：点Q 的轨迹是什么？并求其轨迹方程。 [思考] 已知圆22:(3)4M x y ++=和点(3,0)N ，P 为圆M 上任一点，线段NP 的的垂直平分线交直线MP 于Q ，当点P 在圆M 上运动时，问：点Q 的轨迹是什么？并求其轨迹方程。 [例题3] 已知椭圆经过点(0,7),(0,7)A B -，且以点(12,2)C 为一个焦点，求椭圆另一焦点 P 的轨迹所在的曲线方程。 【自主小结】
圆锥曲线的统一定义
高中数学（一轮复习）学案（69） ------圆锥曲线的统一定义 班级 姓名 学号 一、考纲点击 了解圆锥曲线的统一定义，回顾圆锥曲线的几何性质，并能简单应用. 二、基础达标 1.圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比为一个常数e .这个常数e 叫做圆锥曲线的_________定点F 就是圆锥曲线的_________，定直线l 就是该圆锥曲线的___________．椭圆的离心率满足__________,双曲线的离心率满足________________，抛物线的离心率满足______________． 2.椭圆136 1002 2=+y x 的焦点坐标为________________离心率为___________准线方程为____________________． 3. 双曲线132 2 =-y x 上一点P 到左焦点的距离为2，则点P 到左准线的距离为 . 4.已知椭圆136 1002 2=+y x 上有一点P 到左、右焦点的距离之比为3:2，则点P 到右准线的距离为 ． 5．抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到y 轴的距离是__________. 三、例题讲解： 例1．已知点)2,2(A ，若F 是抛物线x y 42 =的焦点，点P 是抛物线上的动点，则当PF PA +最小时，求点P 的坐标．
变式1． 变式2． 变式3．已知定点)3,2(-A ，点F 位椭圆112 162 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，求MF AM +的最小值，并求此时点M 的坐标． 变式4． 练习．已知定点)3,5(A ，点F 为双曲线19 162 2=-y x 的右焦点，点M 在此双曲线上运动，求MF AM 5 4+ 的最小值，并求此时点M 的坐标． 小结．
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅 世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。 一、四种圆锥曲线的统一定义 动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。 二、四种圆锥曲线的统一方程 从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们 的半通径为p ，则2 b p a =。 如图1，将椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+= ∴22 2222b b y x x a a =+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2 221b e a =- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e << 类似的，如图2，将双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>按向量(,0)a -平移得到 2222()1x a y a b +-= ∴22 2222b b y x x a a =+
∵双曲线的半通径222||b F M a =，2 221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+-> 对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成 2222(1)(1)y px e x e =+-= 对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-= 于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。 三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式 在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F 则有222(1)(1)11 c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21 p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++ (0)1 p OP p e e ===+ 即方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为(,0)1p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有OF e m =-。 ∴准线L 为(1) p x m e e -==+，对于圆0e =表示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对焦点F 的