第八章 二元一次方程组单元 易错题自检题检测试题

第八章 二元一次方程组单元 易错题自检题检测试题

一、选择题

1．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．6

32 1.3x y x y +=??

+=?

B ．6

23 1.3x y x y +=??

+=?

C ．0.6

32 1.3x y x y +=??

+=?

D ．6

3213x y x y +=??

+=?

2．已知559

375a b a b +=??+=?

，则-a b 等于（ ）

A ．8

B ．

8

3

C ．2

D ．1

3．某次数学竞赛共出了25题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小杰不答的题比答错的题多2道，总分是74分，则他答对了（ ） A ．16题 B ．17题

C ．18题

D ．19题

4．已知2

x y a =??

=?

是方程25x y +=的一个解，则a 的值为( ) A ．1a =-

B ．1a =

C ．2

3

a =

D ．32

a =

5．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x 平方千米，林地面积y 平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）

A ．1800250x y y x +=???-=??

B ．1800250x y x y +=???-=??

C ．1800250x y x y +=???=???

D ．180

0250x y y x +=???=???

6．在平面直角坐标系中有三个点()1,1A -()1,1B --()0,1C ，点()0,2P 关于A 的对称

点为1P ，1P 关于B 的对称点2P ，2P 关于C 的对称点为3P ，按此规律继续以A ，B ，C

为对称中心重复前面操作，依次得到4P ，5P ，6P ……则点2022P 的坐标为（ ） A ．（0，0）

B ．（0，2）

C ．（2，－4）

D ．（－4，2）

7．现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a ，宽为b ．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm ，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )

A ．

15 B ．

16

C ．

17 D ．18

8．对于实数x ，y ，定义新运算1x y ax by *=++，其中a ，b 为常数，等式右边为通常

的加法和乘法运算，若3515*=，4728*=，则59*=（ ） A ．40

B ．41

C ．45

D ．46

9．两位同学在解方程组时，甲同学由278

ax by x

cx y +=??

-=?正确地解出32x y =??=-?，乙同学因把C

写错了解得2

2

x y =-??

=?，那么a 、b 、c 的正确的值应为

A ．452a b c ===-，，

B ．451a b c ===-，，

C ．450a b c =-=-=，，

D ．452a b c =-=-=，，

10．解方程组229229232x y y z z x +=??

+=??+=?

得x 等于( )

A ．18

B ．11

C ．10

D ．9

二、填空题

11．“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”，每中秋，皓月当空，阖家团聚，品饼赏月，谈天说地，尽享天伦之乐．今年中秋节前夕某商场结合当地情况，决定启动一笔专项资金用于月饼进货，经过一段时间，该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种月饼，经测算需将余下资金的1

3

购买京式月饼，则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的

4

15

．为了使广式月饼总价与苏式月饼的总价达到9:13，则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____．

12．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg ，500kg ，400kg ，总平均亩产量为450kg ，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为_____． 13．某公园的门票价格如表： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格

13元/人

11元/人

9元/人

现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b （a ≥b ）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =_____；b =_____．

14．若关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为3

2x y =??=?，则方程组

1112

225260

5260a x b y c a x b y c +-=??

+-=?的解为__________． 15．观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a +b ﹣m ＝_____．

16．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 17．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人. 18．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中

,,A B C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为

58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________. （-=

100%?商品的售价商品的成本价

商品的利润率商品的成本价

）

19．定义一种新运算“※”，规定x ※y =2

ax by +，其中a 、b 为常数，且

1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．

20．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．

三、解答题

21．对于数轴上的点A ，给出如下定义：点A 在数轴上移动，沿负方向移动a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是x ，沿正方向移动2a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的a 关联数”，记作G （A ，a ）＝{x ，y}，其中x

例如：原点O 表示0，原点O 的1关联数是G （0，1）＝{－1，+2} （1）若点A 表示－3，a ＝3，直接写出点A 的3关联数． （2）①若点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，求y 的值． ②若G （A ，a ）＝{－2，7}，求a 的值和点A 表示的数．

（3）已知G （A ，3）＝{x ，y}，G （B ，2）＝{m ，n}，若点A 、点B 从原点同时同向出发，且点A 的速度是点B 速度的3倍．当|y －m|＝6时，直接写出点A 表示的数． 22．[阅读材料]

善于思考的小明在解方程组253(1)

4115(2)x y x y +=??+=?

时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程(2)变形：4105x y y ++=，

即()2255(3)x y y ++=，

把方程(1)代入(3)得：235y ?+=， 所以1y =-，

将1y =-代入(1)得4x =，

所以原方程组的解为4

1x y =??=-?

．

[解决问题]

（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组325

9419x y x y -=??

-=?

，

（2）已知x ，y 满足方程组2222

321250425

x xy y x xy y ?-+=?++=?，求22

4x y +的值． 23．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +??- ??

?为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；

（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；

（3）已知P、Q为有理数，且关于x、y的方程组3

33

x y p q

x y p q

?+=+

?

?

-=-

??

解为坐标的点(),

B x y是“爱心点”，求p、q的值．

24．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：

体积（立方米/件）质量（吨/件）

A型商品0．80．5

B型商品21

（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A、B两种型号商品各有几件？

（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：

①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；

②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．

现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？

25．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．

（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=____________．

（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．

（3）若AM=BN，MN=

4

3

BM，求m和n值．

26．“一带一路”是对古丝绸之路的传承和提升，让中国和世界的联系更紧密，电气设备是“一带一路”沿线国家受青睐的商品。某企业计划生产甲、乙两种电气设备出口，甲种设备售价50千元/件，乙种设备售价30千元/件，生产这两种设备需要A、B两种原料，生产甲设备需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙设备需要A种原料3吨/件，B 种原料1吨/件，已知A种原料有120吨，B种原料有50吨．

（1）如何安排生产，才能恰好使A、B两种原料全部用完？此时总产值是多少千元？（2）若使甲种设备售价上涨10%，而乙种设备售价下降10%，并且要求甲种设备比乙种设备多生产25件，问如何安排甲、乙两种设备的生产，使销售总产值能达到1375千元，此

时A 、B 两种原料还剩下多少吨？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组. 【详解】

由题意得：新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元， ∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元， ∴0.6x

y

，

又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元， ∴32 1.3x y +=，

∴可列方程组为：0.6

32 1.3x y x y +=??+=?

，

故选：C . 【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.

2．C

解析：C 【分析】

把两个方程的左右两边分别相减,求出a-b 的值是多少即可． 【详解】 解:559375a b a b +??

+?

＝①＝②

①-②,可得 2（a-b ）=4, ∴a-b=2． 故选:C ． 【点睛】

此题主要考查了解二元一次方程组,关键是注意观察,找出解决问题的简便方法．

3．D

【分析】

设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()25?

–x y +，根据“不答的题比答错的题多2道”以及“总分是74分”，列出方程组解出即可． 【详解】

设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()25?–x y +， 根据题意得：()25?–2

474x y y x y ?+=+?-=?

，

解得：192

x y =??

=?，

故小杰他答对了19题， 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

4．B

解析：B 【分析】

直接把2x y a =??=?

代入方程，即可求出a 的值．

【详解】

解：根据题意，

∵2x y a =??=?

是方程25x y +=的一个解，

∴225a ?+=， ∴1a =； 故选：B ． 【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则进行解题．

5．C

解析：C 【解析】

设耕地面积x 平方千米，林地面积为y 平方千米，

根据题意列方程组180

25%x y x y +=??

=??

. 故选C

解析：B 【分析】

设1(,)P x y ，再根据中点的坐标特点求出

x 、y 的值，找出循环的规律即可得出点2022P 的坐标． 【详解】 解：设1(,)P x y ，

点(1,1)A -、(1,1)B --、(0,1)C ，点(0,2)P 关于A 的对称点为1P ，1P 关于B 的对称点2P ，

∴

12

x =，2

12y +=-， 解得2x =，4y =-，

1(2,4)P ．

同理可得，2(4,2)P ，3(4,0)P ，4(2,2)P ，5(0,0)P ，6(0,2)P ，7(2,4)P ，?，

∴每6个操作循环一次．

2022

6337，

∴点2022P 的坐标与6P 相同，即：(0,2)．

故选：B ． 【点睛】

题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

7．B

解析：B 【分析】

观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a ，b 的方程组，解方程组得出a ，b 的值；利用a ，b 的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】

解：根据题意、结合图形可得：

330433a b a a b +=??

=+?

， 解得：155a b =??=?

，

∴阴影部分面积2

2

3()310300=-=?=a b ， 整个图形的面积304304151800=?=??=a ，

∴阴影部分面积与整个图形的面积之比3001

18006

==， 故选B ． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．

8．B

解析：B 【分析】

根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a 和b 的值，再根据定义新运算公式求值即可． 【详解】

解：∵1x y ax by *=++，3515*=，4728*=，

∴1535128471a b a b =++??=++?

解得：3725a b =-??=?

∴59*=3752591-?+?+=41 故选B ． 【点睛】

此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．

9．A

解析：A 【分析】

把32x y =??=-?代入278ax by x

cx y +=??-=?得，3223148a b c -=??+=?由方程组中第二个式子可得：c=-2．用排

除法，可以直接解答. 【详解】

解：把32x y =??

=-?代入278ax by x

cx y +=??-=?

得： 3223148a b c -=??

+=?

①

②， 由②得：c 2=-，

四个选项中行只有A 符合条件． 故选择：A. 【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的解，做这类题目时要用代入法或排除法，这样可以提高做题效率．

10．C

解析：C 【分析】

利用加减消元法解方程组即可． 【详解】

229229232x y y z z x +=??

+=??+=?

①②③， ①+②+③得： 3x+3y+3z=90． ∴x+y+z=30 ④ ②-①得： y+z-2x=0 ⑤ ④-⑤得： 3x=30 ∴x=10 故答案选：C ． 【点睛】

本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．

二、填空题

11．【分析】

由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】

解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：

可得：①，解得：n=6m ， ②，可得： 解析：3:5

【分析】

由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】

解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：

可得：①()14

29315

m n m n +=+，解得：n=6m ， ②2

3

a b n +=

，可得：a+b=4m ， ③1

349(2)113

m a m b m n m n m +++=+-+=， ④（3m+a ）：（4m+b ）=9：13，

93135

342222

m a m a m m b m b m +==+==，，，，

∴a ：b=3：5，

答：该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3：5． 故答案为：3：5． 【点睛】

本题考查多次方程问题，解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答．

12．15% 【分析】

设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意列出方程组进行解答便可． 【详解】

解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻

解析：15% 【分析】

设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意列出方程组进行解答便可． 【详解】

解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意得，

300500400450()4003004

300(130%)500(1)400(130%)450()(120%)a b c a b c c a a b x c a b c ++=++??

=???+++++=+++?

，

化简得

30(1)

2(2)

501542(3) a b c

c a

bx a b c

-+=

?

?

=

?

?=++

?

，

把（2）代入（1）得，b＝6a（4），

把（2）和（4）都代入（3）得，300ax＝15a+24a+6a，

∴x＝15%，

故答案为15%．

【点睛】

本题主要考查了方程组解应用题，关键是读懂题意正确列出方程组．

13．40

【分析】

根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．

【详解】

解：∵ ，，

∴1≤b≤50，51＜a≤100，

若a+

解析：40

【分析】

根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．

【详解】

解：∵12903

99

1313

=，

12903

117

1111

=，

∴1≤b≤50，51＜a≤100，若a+b≤100时，

由题意可得：

13111290 11()990

b a

a b

+=

?

?

+=

?

，

∴

60

150

a

b

=-

?

?

=

?

（不合题意舍去），

若a+b＞100时，

由题意可得

13111290 9(990

b a

a b

+=

?

?

+=

?）

，

∴

70

40 a

b

=

?

?

=

?

，

故可70，40．【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．

14．【分析】

将解方程组变形为，依据题意得，求解即可． 【详解】

∵关于，的方程组的解为， 将解方程组变形为， ∴关于，的方程组的解为， 解得， 故答案为：． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法

解析：1856

x y ?=

???=? 【分析】

将解方程组变形为1112225163

5163a x b y c a x b y c ??+?=?????+?=??，依据题意得5

36123

x y ?=????=??，求解即可．

【详解】

∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=??

+=?的解为3

2

x y =??=?，

将解方程组11122252605260a x b y c a x b y c +-=??+-=?变形为1112225

163

5163a x b y c a x b y c ??+?=?????+?=??，

∴关于x ，y 的方程组11122251635163a x b y c a x b y c ??+?=?????+?=??的解为5

36

123

x y ?=????=??，

解得1856x y ?

=???=?，

故答案为：1856

x y ?

=

???=?．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想．

15．﹣7 【分析】

由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出b 值；在表三中设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2

解析：﹣7 【分析】

由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出b 值；在表三中设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2）列，结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，将其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m 的值，将a 、b 、m 的值代入a-b+m 即可得出结论． 【详解】

表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等， ∴a-15=15-12，解得：a=18；

表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差比左边一列数字的差大1， ∴42-b-1=36-30，解得：b=35；

表四截取的是两行三列的相邻的六个数字：设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2）列，

则有()()421275xy x y ??++?

＝＝，

解得：143x y ???＝＝ 或3228

x y ?????＝

＝（舍去）， ∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60． ∴a+b ﹣m=18+35-60=-7． 故答案为：-7 【点睛】

此题考查一元一次方程的应用，规律型：数字变化类，根据表一中数的排列特点通过解方程（或方程组）求出a 、b 、m 的值是解题关键．

16．【解析】 【分析】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x

解析：32

15

【解析】 【分析】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】

设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：

82375%23275%x y a x y a （

）（）-=??

-=?

解得：316

332x a y a ?

=???

?=??

． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（

316a ×2332-a ）＝32

15

（小时）． 故答案为

32

15

． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

17．48 【分析】

设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可

解析：48 【分析】

设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可. 【详解】

解：设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，

根据题意可列方程： c=d ﹣8，

a=xd （x ＞1，且为整数）， d+a=5（b+c ）， b+a=c+d+24，

整理可得：

283727d b

a b

=-??

=-?， 当x=2时，解得b=16，d=﹣20，不符合题意，舍去；

当x=3时，解得b=6，d=10，a=30，c=2，则旅行团共有6+10+30+2=48人； 当x ＞3时，求得的b 均为负数，不符合题意. 故答案为48. 【点睛】

本题主要考查列方程，解多元一次方程，解此题的关键在于根据题意准确列出方程.

18．【解析】

【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润，列出方程

解析：8

9

【解析】

【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售a 袋，乙销售b 袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润，列出方程进行整理即可得. 【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：

由题意可得甲的成本价为：

130%

+=45（元），

甲中A 的成本为：3×6=18（元），

则甲中B 、C 的成本之和为：45-18=27（元）， 根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元）， 设甲销售a 袋，乙销售b 袋使总利润率为24%，则有 （45a+60b ）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b ， 整理得：2.7a=2.4b ， 所以，a ：b=8：9， 故答案为

89

.

【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键.

19．11 【解析】

分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x ＝1，y ＝2时，ax ＋by2＝5，当x ＝2，y ＝1时，ax ＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a ，b 的值后，再求解. 详解：根据题意得，解得.

解析：11 【解析】

分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x ＝1，y ＝2时，ax ＋by 2＝5，当x ＝2，y ＝1时，ax

＋by 2

＝3，由此列二元一次方程组求a ，b 的值后，再求解.

详解：根据题意得4523a b a b ??

?＋＝＋＝，解得1

1

a b ??

?＝＝. 当a ＝1，b ＝1时，x ※y ＝x ＋y 2

. 所以2※3＝2＋32＝11. 故答案为11.

点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数为1时，可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则去运算.

20．【分析】

可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙

解析：【分析】

可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解． 【详解】

解：设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，依题意有

()432

x y z x y x y y y z z z x y ++=??

-+-=+-=+--?

， 解得19812688x y z =??

=??=?

．

故甲堆原来有198个苹果． 故答案为：198．

【点睛】

考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．

三、解答题

21．（1）{－6，+3}；（2）①y=7，②a=3，点A 表示的数1；（3）-3或-21 【分析】

（1）直接根据关联数的定义解题即可；

（2）①首先根据关联数的定义求出a 的值，然后即可求解； ②通过关联数的定义建立方程组求解即可；

（3）通过关联数的定义建立关于A ，B 的方程组，然后通过A ，B 的速度的关系找到A ，B 之间的关系，最后通过解方程即可得出答案． 【详解】

（1）∵点A 表示－3，a ＝3，

336,3233x y ∴=--=-=-+?=+，

∴点A 的3关联数G （-3，3）＝{－6，+3}； （2）①点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，

51a ∴-=-- 解得4a =，

1247y ∴=-+?=；

②∵G （A ，a ）＝{－2，7}，

272A a A a -=-?∴?=+?解得13

A a =??=?； （3）∵G （A ，3）＝{x ，y}，G （

B ，2）＝{m ，n}，

323x A y A =-?∴?=+??，222m B n B =-??=+??

．

∵点A 的速度是点B 速度的3倍， 3A B ∴=，

1

3

B A ∴=．

6y m -=，

()626A B ∴+--=，

即16263A A ??

+--=

???

， 解得3A =-或21A =-． 【点睛】

本题主要考查定义新运算，掌握关联数的定义是解题的关键．

22．（1）原方程组的解为3

2

x y =??=?；（2）22420x y +=

【分析】

（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案． 【详解】

解：()13259419x y x y -=??-=?

①

②

将方程②变形得:()332219x y y -+=③ 把方程①代入③得:35219y ?+=， 所以2,y =

将2y =代入①得3x =， 所以原方程组的解为3

2x y =??

=?

； ()22222

321250425x xy y x xy y ?-+=?++=?

①

②， 把方程①变形，得到2

2

3(4)550x xy y xy ++-=③， 然后把②代入③，得325550xy ?-=， ∴5xy =，

∴2

2

425520x y +=-=； 【点睛】

本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．

23．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，

q =23

-

【分析】

（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，2

2

n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；

（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，

2

2

n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；

（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根

据p，q为有理数，即可求出p、q的值．【详解】

解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：

当A（5，3）时，m﹣1＝5，

2

2

n+

＝3，

解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，

所以A（5，3）是“爱心点”；

当B（4，8）时，m﹣1＝4，

2

2

n+

＝8，

解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，

所以B点不是“爱心点”；

（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，

∴m﹣1＝a，

2

2

n+

＝﹣4，

解得：m＝a+1，n＝﹣10．

代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；

∵点B（4，b）是“爱心点”，

同理可得m＝5，n＝2b﹣2，

代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．

所以点B坐标为（4，2）．

∴A、B两点的中点C坐标为（

2442

,

22

-+-+

），即（1，﹣1），在第四象限．

（3）解关于x，y

的方程组

3

x y q

x y q

?+=+

?

?

-=-

??

，

得：

2

x q

y q

?=-

?

?

=

??

．

∵点B（x，y）是“爱心点”，

∴m﹣1

﹣q，

2

2

n+

＝2q，

解得：m

﹣q+1，n＝4q﹣2．

代入2m＝8+n，得：

﹣2q+2＝8+4q﹣2，

整理得

﹣6q＝4．

∵p，q为有理数，若使

p﹣6q结果为有理数4，

则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2

3

．

所以P＝0，q＝﹣2

3

．