结构动力学-第六章 分布参数体系.

结构动力学Dynamics of Structures

第六章分布参数体系

Chapter 6 Continuous Systems

华南理工大学土木工程系

马海涛/陈太聪

结构动力学第六章分布参数体系0of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系本章主要目的及内容

目的:

了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法;

初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.内容:

?梁的偏微分运动方程

?梁的自振频率和振型

?振型的正交性

?用振型叠加法计算梁的动力反应

结构动力学第六章分布参数体系1of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量

阻尼影响

§6.1.1

弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程

结构动力学第六章分布参数体系2of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程

Euler梁静力平衡方程:?

2?x2??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2

惯性力－分布强度:

?u(x,t)fI(x)=m(x)2?t2

Euler梁动力平衡方程:

?

2?x

结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??223of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

第六章分布参数体系

§6.1 梁的偏微分运动方程

等截面梁的运动方程:

?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24

运动方程:

2??u(x,t)??u(x,t)?m(x)+2?EI(x)?=P(x,t)22?t?x??x?22

Euler梁动力平衡方程:

?

2?x

结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??224of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系

§6.1 梁的偏微分运动方程

等截面梁的运动方程:

?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24

四阶偏微分方程

（A fourth order partial differential equation）

(1) 比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4

(2) 假设条件:

Euler梁理论

忽略转动惯量影响

结构动力学第六章分布参数体系?ux,t() P(x,t)=P(x)?m(x)2?t25of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.1.5考虑阻尼影响

的梁的振动方程

结构动力学第六章分布参数体系6of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程横向阻尼力(分布线密度)

?u(x,t)fD(x)=?c(x)?t

梁内阻尼弯矩

?ε阻尼应力σD=cs?t?ε(x,η,t)MD(x)=∫σDηdA=∫csηdA?tAA

32?u(x,t)???u?=∫csη??2η?dA=?csI(x)2?t??x??t?xA

第六章分布参数体系7of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学

§6.1.5考虑阻尼影响的梁的振动方程无阻尼梁的震动方程

?u(x,t)?m(x)+22?t?x22??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2

考虑阻尼力的贡献后,有

?u(x,t)?u(x,t)m(x)+c(x)+2?t?t

232?u(x,t)?u(x,t)???EI(x)+csI(x)?=P(x,t)2?22?x??x?x?t?2

结构动力学第六章分布参数体系8of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.2 梁的自振频率和振型§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型欧拉梁的横向自由振动运动方程

m

或写成?u(x,t)2?t2+EI?u(x,t)4?x4=0?()?()()=,()′=?t?xiEI +u′′′′=0u m

u(x,t)=φ(x)q(t)使用分离变量法(the method of separation of variables)代入方程后，可得

结构动力学第六章分布参数体系EI (t)=?φ′′′′(x)q(t)φ(x)qm9of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型于是有

(t)φ′′′′(x)mq=?φxEIqt命 (t)EIφ′′′′(x)q2=ω=?mφxqt2 q(t)+ωq(t)=0 4′′′′φ(x)?aφ(x)=0可得两个常微分方程

分别求解

式中a＝

结构动力学4ωmEI10of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系2第六章分布参数体系

§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型方程 (t)+ωq(t)=0q2

通解为

q(t)=A1sinωt+B1cosωt

对给定初始条件，有

q(t)= (0)q

ωsinωt+q(0)cosωt

结构动力学第六章分布参数体系11of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型方程φ′′′′(x)?aφ(x)=04

设解为

φ(x)=Cesx

代入方程后，有特征方程

(s

解方程得4?a)Ce=04sx

s1,2,3,4=±a,±ia

方程的通解

?iax?axiaxaxφ(x)=C1e+C2e+C3e+C4e

结构动力学第六章分布参数体系12of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.2.1 弯曲梁的自振频率和振型方程φ′′′′(x)?aφ(x)=04

用三角函数和双曲函数可将通解表示为

φ(x)=Asinax+Bcosax+Csinhax+Dcoshax其中双曲函数

e?esinhax=2ax?axe+e,coshax=2ax?ax

（1）A, B, C, D为待定常数，通过边界条件确定

位移、斜率、剪力或弯矩的自由边界条件（2）齐次代数方程

由非零解条件得频率方程，可确定频率参数a，再确定振型参数A, B, C,D

结构动力学第六章分布参数体系13of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型例6.1

简支梁

简支条件：x=0:φ(0)=0;

M(0)=EIφ′′(0)=0

x=L:φ(L)=0;

M(L)=EIφ′′(L)=0

14of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学第六章分布参数体系§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型由左端边界条件(x = 0) 得：

φ(0)=Asin0+Bcos0+Csinh0+Dcosh0=B+D=0

22′′φ(0)=a(?Asin0?Bcos0+Csinh0+Dcosh0)=a(?B+D)=0

?B=D=0

右端边界条件，有：

AsinaL+CsinhaL=0

?AsinaL+CsinhaL=0?sinaLsinhaL??A??0?=??????sinaLsinhaL?C?????0?为保证有非零解，系数矩阵行列式必等于零

sinaLsinhaL

?sinaLsinhaL

结构动力学第六章分布参数体系=0?频率方程sinaLsinhaL=0sinaL=015of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.2.1弯曲梁的自振频率和振型根据正弦函数特性，由sinaL=0我们有：

anL=nπ,n=1,2, ,∞aEI注意到ω=频率为：m

22ωn=nπ(n=1,2, ,∞)24

将sinaL=0代回到右端点边界条件方程，可得C = 0。

AsinaL+CsinhaL=0

至此，求得振型函数为：

nπxφn(x)=AnsinL

结构动力学第六章分布参数体系16of 24(n=1,2, ,∞)土木与交通学院土木工程系华南理工大学

§6.2.1

弯曲梁的自振频率和振型

结构动力学第六章分布参数体系17of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.3振型的正交性功的互等定理：∫L

0um(x)fI,n(x,t)dx=∫un(x)fI,n(x,t)dx0L考虑第n阶和第m阶振型：

un(x,t)=

φn(x)qnsinωntum(x,t)=φm(x)qmsinωmt

结构动力学第六章分布参数体系18of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.3振型的正交性分布惯性力:

fI,n(x,t)=?m(x)fI,m(x,t)=?m(x)?un(x,t)2?t2?um(x,t)

?t22=m(x)ωnφ(x)qnsinωnt2=m(x)ωmφ(x)qmsinωmt2

代入互等定理表达式：∫L

0φm(x)qmm(x)ωnφn(x)qndx=∫φn(x)qnm(x)ωmφm(x)qmdx22

0L

(ω

∫

结构动力学2n?ω22m)∫φ(x)m(x)φ(x)dx=00nm2mLωn≠ωL0第六章分布参数体系

φn(x)m(x)φm(x)dx=019of 24(m≠n)华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.3振型的正交性分布参数简支梁关于分布质量正交条件：

L∫0φn(x)m(x)φm(x)dx=0(m≠n)

分布参数简支梁关于分布刚度正交条件：

∫L

0φm′′(x)φn′′(x)EI(x)dx=0

对多自由度系统，振型向量满足

{φ}m[M]{φ}n=0

T{φ}m[K]{φ}n=0

结构动力学第六章分布参数体系Tm≠nm≠n20of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.4 梁的动力反应将振型叠加法由多自由度推广至无限自由度.§6.4.1 广义坐标振型向量φi(x)已知

广义坐标qi(t) 未知

结构动力学第六章分布参数体系21of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系

§6.4.1 广义坐标

位移场用振型函数表示:

u(x,t)=∑qm(t)φm(x)

m=1∞

两端分别乘φn(x) 后取积分:

∫φ(x)m(x)u(x,t)dx=∑q(t)∫φ(x)m(x)φ(x)dx0nm

m=10nmL∞L

由正交性,得振幅表达式:

q(t)=n

结构动力学L0φn(x)m(x)u(x,t)dxL0比较∫??φn(x)??m(x)dx22of

242{φ}n[M]{u}qn=T{φ}n[M]{φ}nT{φ}n[M]{u}=Mn土木工程系土木与交通学院T 第六章分布参数体系华南理工大学

§6.4.2 振型叠加法具有分布质量无阻尼梁的横向振动运动方程:

?u???u?m(x)2+2?EI(x)2?=P(x,t)?t?x??x?222

采用振型广义坐标:

dφm(x)?d? m(t)+2?EI(x)m(x)φm(x)q∑?qm(t)=P(x,t)2dx?m=1m=1dx?∞∞22两端分别乘φn(x) 后取积分:∑∫m=1∞L0 m(t)dx+φn(x)m(x)φm(x)q

L22L?dφm(x)?dqm(t)∫φn(x)2?EI(x)dx=∫φn(x)P(x,t)dx∑?200dx?dxm=1?∞

第六章分布参数体系23of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系结构动力学

§6.4.2 振型叠加法由振型函数正交性,有

dφn(x)dy n(t)∫φn(x)m(x)dx+qn(t)∫φn(x)2[EI(x)q]dx200dxdxL=∫φn(x)P(x,t)dxL2L02 2

再根据振型函数特性,得

n(t)∫φnq0L2(x)m(x)dx+qn(t)ω∫0φn(x)m(x)dx=∫0φn(x)P(x,t)dx2

n2LL

引入Mn=∫φn(x)m(x)dx

Pn(t)=∫φn(x)P(x,t)dx00LL2

得模态运动方程

2 n(t)+ωnMnqn(t)=Pn(t)Mnq

结构动力学第六章分布参数体系24of 24即Pn(t) n(t)+ωq(t)=qMn2nn土木与交通学院土木工程系华南理工大学