高中数学例题：幂函数的应用

高中数学例题：幂函数的应用

例 1. 求出函数2245

()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与

(f 的大小． 【答案】在(),2-∞-上是增函数，在()2,-+∞上是减函数 ()f π->

(f 【解析】2245()44x x f x x x ++=++=21

144x x +++=21(2)x -++，因此将幂函数

2y x -=的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数2()1(2)f x x -=++的图象，由此可知，()f x 在(),2-∞-上是增函数，在

()2,-+∞上是减函数．

()(),2,2,2

π-∈-∞--

∈-+∞ 在()2,-+∞上找出点(),()f ππ--关于直线2x =-的对称点(),()a f a ． 由

()

2,42

a a ππ+-=-=-得， ()()(4)f f a f ππ∴-==-．

4(4)(22

f f ππ-<-

∴->-

()f π∴->(f 【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其

图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值1x 、2x ，要比较1()f x 和2()f x 的大小，需要把1x 、2x 两个数值转化到同一个单调区间内．

例2. 设m ∈N *，已知函数2

2234()(2)m m f x m m x +-=-⋅在(0,+∞)上是增

函数．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设22

[()]()(0)()

f x

g x f x λλ+=

≠是常数，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．

【答案】（1）()f x x =；（2）[]max ()2||g x λ=-．

【解析】（1）依题意，2220,2340.m m m m ⎧->⎪⎨+->⎪⎩或2

220,

2340.m m m m ⎧-<⎪⎨+-<⎪⎩

解得：

324m -+<<

或304

m -<< 再由m ∈N * ，1m =，即()f x x =． （2）任取12,(,0)x x ∈-∞且12x x <，则

2

12121211()()()g x g x x x x x λ-=-+-=2

121212

()x x x x x x λ--⨯ …（*）

当212x x λ>，即12||x x λ<≤-时，

由于120x x -<，120x x >，得（*）<0，即12()()g x g x < 故()g x 在(),||λ-∞-上单调递增．

当212x x λ<，即12||x x λ-≤<时，得（*）>0，即12()()g x g x > 故()g x 在()||,0λ-上单调递增．

综上，在(),0-∞上，[]max ()(||)2||g x g λλ=-=-．

举一反三：

【变式1】已知幂函数2

1

*()()m m f x x m N +=∈

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2

）若该函数还经过点(，试确定m 的值，并求满足条件

(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围．

【答案】（1）定义域[)0,+∞，单调递增；（2）31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭

．

【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：2m m +为偶数．

（1）2*(1),m m m m m N +=+∈，m ∴与1m +中必定有一个为偶数，

2

m m ∴+为偶数，∴函数2

1

*()()m

m

f x x m N +=∈的定义域为[)0,+∞，并

且函数()f x 在其定义域上为增函数．

（2

）函数()f x

经过点(，

∴2

1

2m m +=，即2

1

1

2

22m m +=，∴

22m m +=，即220m m +-=．

12m m ∴==-或

*,1m N m ∈∴=．

由(2)(1)f a f a ->-，得20,

10,21,

a a a a -≥⎧⎪

-≥⎨⎪->-⎩

解得312a ≤<．

故m 的值为1，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围为

31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭

．