专题20 幂函数(解析版)
专题20 幂函数
题组1幂函数的概念
1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.
2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）
A.0
B.1
C.2
D.0或1
【答案】B
【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；
当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.
综上知，m＝1.
3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）
A. B.－1 C.2或－1 D.2
【答案】D
【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，
所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，
解得m＝2或－1，且m＞－1，
即m＝2.
故选D.
题组2求幂函数的解析式
4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）
A.f（x）＝3x
B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x－2
D.f（x）＝（）x
【答案】B
【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），
所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，
故选B.
5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）
A.3
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），
∴16α＝4，解得α＝，
∴f（x）＝，
∴f（）＝＝.
故选C.
题组3 幂函数的定义域和值域
6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）
A.（－∞，＋∞）
B.（－∞，）
C.[，＋∞）
D.（，＋∞）
【答案】D
【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.
7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.
某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：
（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.
如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）
A.①
B.②
C.③
D.④
【答案】A
【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；
（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.
对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.
对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.
对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.
故选A.
题组4比较幂值的大小
8.下列关系中正确的是（）
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
【答案】D
【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，
＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.
9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）
A.a B.a C.b D.b 【答案】C 【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b 题组5 幂函数的图像 10.函数y＝的图象是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x）， 又函数f（x）的定义域为R， 故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称. 又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数， 又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A. 11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D. 12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（） A.α1<α3<0<α4<α2<1 B.0<α1<α2<α3<α4<1 C.α2<α4<0<α3<1<α1 D.α3<α2<0<α4<1<α1 【答案】D 【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<， ∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D. 13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④， ⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（） A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤ 【答案】D 【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”. 题组6 幂函数的性质 14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（） A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数 【答案】D 【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D. 15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（） A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数 【答案】A 【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x）， 所以f（x）是奇函数. 因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数， 所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数， 综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数. 16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（） A. B.－1 C.4 D.－4 【答案】C 【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C. 17.下列结论中，正确的是（） A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1） B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 【答案】C 【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误； 因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误； 当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确； 当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误， 故选C. 18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________. 【答案】[0，＋∞） 【解析】设幂函数的解析式为y＝xα， ∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，）， ∴＝2α， 解得α＝， ∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）. 19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足 ≤的a的取值范围. 【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3. 又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数， 又∵m∈N*，∴m＝1，3. 当m＝1或m＝3时， 有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1. 又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减， ∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a 或a＋1<0<3－2a， 解得≤a＜或a＜－1. 故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）. 题组7 幂函数的综合应用 20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2） （1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式； （2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2） 因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1 因为k∈Z，所以k＝0或k＝1. 当k＝0时，f（x）＝x2， 当k＝1时，f（x）＝x2， 综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2. （2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x ＝－mx2＋（2m－1）x＋1， 由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为 x＝， 当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5， 所以或 解得m＝＋，满足题意. 21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的： ①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）； ②函数f（x）的值域是[－2，4）； ③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数， 试分别探究下列两小题： （1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论. 【答案】（1）函数f1（x）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝ －2不属于集合A. f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数. （2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1） ＝6·（）x（－）<0， ∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立. 高中数学必修一《幂函数》精选习题（含详细解析） 一、选择题 1.下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x2 2.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( ) A.1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 3.函数y=x-2在区间上的最大值是( ) A. B. C.4 D.-4 4若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少? 5.在下列函数中,定义域为R的是( ) A.y= B.y= C.y=2x D.y=x-1 6函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( ) 7下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( ) A.y= B.y=x2 C.y=x3 D.y= 8下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是( ) A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y= 9.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( ) 二、填空题 10幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是. 11若y=a是幂函数,则该函数的值域是. 12若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于. 13.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是. 14已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是. 三、解答题 15.比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2; (3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 16.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围. 17幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上, (1)求f,g的解析式. (2)x为何值时f>g,x为何值时f 3.3 幂函数练习 一、单选题 1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫1 2，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．3 2 D ．2 2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝3 1 x 3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C ) 4、幂函数()()22 22m f x m m x -=--在( ) 0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1- B ．3 C ．1-或3 D ．3- 5、若f (x )＝12 x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A ) A ．⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0，2] C ．⎝⎛⎭⎫－∞，16 7 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝( ) 1 2 2 55a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D ) A ．1 B ．6 C ．2 D ．－1 7、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ） A ．a b c d >>> B ．d b c a >>> C ．d c b a >>> D ．b c d a >>> 8、已知幂函数y ＝p q x (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D ) A ．p ，q 均为奇数，且p q >0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q <0 二、多选题 9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数 D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数() a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则（ CD ） A ．()f x 的图象经过点(3,9) B ．()f x 的图象关于y 轴对称 C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减 D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞ 11、已知幂函数f (x )＝() 2 23 1m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1,3，1 2时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C 例2、已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 1 5(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值． 分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)， 当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x p q 的奇偶性与p 的值相对应． 解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0. 当t ＝0时，f (x )＝x 7 5是奇函数； 当t ＝－1时，f (x )＝x 2 5是偶函数； 当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和8 5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) 专题20 幂函数 题组1幂函数的概念 1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C. 2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（） A.0 B.1 C.2 D.0或1 【答案】B 【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<. 又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意； 当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意. 综上知，m＝1. 3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（） A. B.－1 C.2或－1 D.2 【答案】D 【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数， 所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0， 解得m＝2或－1，且m＞－1， 即m＝2. 故选D. 题组2求幂函数的解析式 4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（） A.f（x）＝3x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝x－2 D.f（x）＝（）x 【答案】B 【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，）， 所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3， 故选B. 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（） A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4）， ∴16α＝4，解得α＝， ∴f（x）＝， ∴f（）＝＝. 故选C. 题组3 幂函数的定义域和值域 6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（） A.（－∞，＋∞） B.（－∞，） C.[，＋∞） D.（，＋∞） 【答案】D 【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）. 7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝. 某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质： （1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}. 如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（） A.① B.② C.③ D.④ 3.3 幂函数 【典例精讲】 考点一 幂函数的判断 【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数2 1y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 21y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数 函数1y =不是幂函数.故选：B . 【一隅三反 】 1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 y = D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α =，α∈R ，显然331y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3y =，3 (2) y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是 （ ） A ．2 2y x = B ．3 y x x =+ C ．3x y = D ．1 2 y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有12 y x =才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素 【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数()a f x k x =⋅的图象过点1,22⎛ ⎝⎭ ， 则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k =，又因为幂函数的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以 0.5 11222a ⎛⎫ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数4 5y x =的定义域是_____，值域是_____； （2）函数4 5 y x -=的定义域是____，值域是_____； 幂函数测试（A 卷基础篇） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。 3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．1 2y x = B ．2y x C ．3y x = D ．4y x = 【答案】D 【解析】 A 选项，函数1 2y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数1 2y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2y x 在()0,∞+上单调递减，排除B ； C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()3 3x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ； D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()4 4x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4 y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确； 故选：D. 2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数( ) 2 21 ()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则 实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1或2 D ．2 【答案】D 专题3.5 幂函数 知识点一幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？ 知识点二五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1 定义R R R[0，＋∞){x|x≠0} 域 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0} 奇偶 性 奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 在[0，＋∞) 上增，在(－ ∞，0]上减 增增 在(0，＋∞) 上减，在(－ ∞，0)上减 知识点三一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交， 按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1】现有下列函数：①3 y x =；② 1()2 x y =；③24y x =；④5 1y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦ (1)x y a a =>，其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数， ∴ ①3 y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件； 而②1()2 x y =、⑦(1)x y a a =>是指数函数，故②⑦不满足条件； 显然，③2 4y x =、④5 1y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤ 不满足条件； 故其中幂函数的个数为2， 幂 函 数 复 习 一、幂函数定义：形如 )(R x y ∈=αα 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图: 归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 二、幂函数的性质 归纳:幂函数在第一象限的性质: 0>α，图像过定点（0,0）（1,1)，在区间(+∞,0）上单调递增。 0<α，图像过定点(1，1)，在区间（+∞,0）上单调递减. 探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系? 结果：形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性 （1）当m,n 都为奇数时，f （x)为奇函数,图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f(x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1，在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1，在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0，在第一象限为水平的射线； 指数小于0，在第一象限为双曲线型; 四、规律方法总结: 1、幂函数 )1,0(==αα x y 的图像： 2、幂函数 ),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈= =αα的图像: 3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： (1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性; （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型一:幂函数解析式特征 例1。下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=x x B 。y=3x 2 C 。y=x 2 1 +1 D 。y=x 3 - 幂函数的概念 例1、以下结论中，正确的选项是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，应选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，应选项B不正确；而当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C 例2、幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函 数，XX数t的值． 分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q(|p|、|q|互质)， 当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x p q的奇 偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t＝1且f(x)＝x 8 5 或t＝－1且f(x)＝x 2 5 . 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，那么( ) A ．-1 2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）有以下函数：①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x−1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.（5分）直线y=1，y=x，x=1及幂函数y=x−1的图象将平面直角坐标系的第一 象限分为8个部分(如图所示)，那么幂函数y=x 1 2的图象在第一象限中经过() A. ③⑦ B. ③⑧ C. ②⑥ D. ①⑤ 3.（5分）函数y=x3和y=x 1 3图象满足() A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称 C. 关于y轴对称 D. 关于直线y=x对称 4.（5分）（2022.西安高一检测）若(3−5a)1 2<;(a+2) 1 2，则a的取值范围是（） A. [1 6,3 5 ) B. (1 6 ,3 5 ] C. [1 6,3 5 ] D. (1 6 ,+∞) 5.（5分）函数f(x)=x a+b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b的值为() A. −1 B. 1 C. 2 D. 3 6.（5分）已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,1 4 )，则它的单调递增区间为( ) A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. (−∞,0) D. (−∞,+∞) 7.（5分）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是() A. y=3−x B. y=log1 3x C. y=x12 D. y=3 x 8.（5分）已知函数f(x)=1 a x2a+1+√b+1是幂函数，则a+b等于() A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 0 9.（5分）在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x⩾0)，g(x)=log a x的图象可能是() 突破15 幂函数重难突破 一、基础知识 【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念 一般地，函数(y x α α=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的结构特征 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1． 3．幂函数与指数函数的区别与联系 函数 解析式 相同点 不同点 指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且 右边都是幂的形式 指数是自变量，底数是常数 幂函数 ()y x αα=∈R 底数是_______，指数是_______ 【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质 函数 y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x = 图象 定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R [0,)+∞ R [0,)+∞ {|0}y y ≠ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增 在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增 在R 上单调递增 在[0,)+∞上单 调递增 在(,0)-∞和(0,) +∞上单调递减 过定点 过定点(0,0),(1,1) 过定点(1,1) 【注】幂函数(y x α α=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同． 2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响 （1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1 y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； （2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x = 的图象； （3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2 y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大． 具体如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1） 过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y =x 2 12 y x = 1y x -=、12 y x - = 3．常用结论 （1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______． （3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象． 专题20 幂函数 【知识点梳理】 知识点一：幂函数概念 形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 知识点诠释： 幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例 如：()2 423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数. 知识点二：幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1)x y =；(2)2 1x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3 x y =． 知识点诠释： 幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； (3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0)+∞， 或[0)+∞，，作图已完成； 若在()0-∞， 或(]0-∞，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象的应用 题型三：幂函数的单调性 题型四：幂函数的奇偶性 题型五：幂值大小的比较 题型六：定点问题 题型七：定义域问题 题型八：值域问题 【典型例题】 题型一：幂函数的概念 1．（2022·河北沧州·高一期末）下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =- C ．3y x = D ．2x y = 2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．3 1 y x = D ．2x y = 3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()() 2311m f x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ） A ．2 B ．16 C ．1 2 D ． 116 第二章 函数 2.6.2 幂函数（针对练习） 针对练习 针对练习一 幂函数的概念 1．给出下列函数： ①31y x = ；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．13 y x = B ．13x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．23 y x = D ．23x y ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 3．下列函数是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -=C ．32y x = D ．32y x =- 4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（ ） A ．13y x = B ．3y x = C ．1 2y x = D ．2y x 5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32 B ．3 C ．1 2 D ．4 针对练习二 幂函数的图像 6．下列四个图像中，函数3 4y x =的图像是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取1 2，2，2-，12 -这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（ ） A ．2，1 2，12 -，2- B ．2-，12 -，1 2，2 C ．12 -，2，2-，1 2 D ．2，1 2，2-，12 - 8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ） A ．3y x = B ．2y x C ．y x = D ．y = 9．若幂函数()m n f x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ） A ．m ，n 是奇数，且 m n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n >1 10．下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限 C ．当幂指数α取1，3，1 2时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数 针对练习三 幂函数的定义域 11．函数()1 2ln 1 x f x x x =-+的定义域 专题3.4 幂函数 1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数 C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数 D ．y = 1 2 x 既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C 【解析】 根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】 因为1 1x x -= ， 11 =--x x ，所以A 正确； 因为2 2 ()x x -=，所以B 正确； 因为x x -=不恒成立，所以C 不正确； 因为12 y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C. 2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2 y x -=- B ．23 y x =- C ．13 y x =- D ．3y x -= 【答案】B 【解析】 A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除； B: 2 3y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B. 练基础 3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数( ) 2 21 ()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实 数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1或2 D ．2 【答案】D 【解析】 由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即1 2 m >，所以2m =. 故选D. 4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3 ()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( ) A ．()f x 的定义域和值域相等 B ．()f x 的图象关于原点中心对称 C ．()f x 在定义域上是减函数 D ．()f x 是奇函数 【答案】C 【解析】 3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确； 3()-=f x x ，()()3 3()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确； ()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误. 故选：C. 5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B 【解析】 设()f x x α =，依题意可得1()42 α =，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为2 2()() ()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 幂函数的解析式、定义域及值域同步练习题 一 选择题 1．幂函数y ＝f （x ）经过点（3，3），则f （x ）是（ ） A ．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 B ．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数 C ．奇函数，且在（0，+∞）是减函数 D ．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数 2．当x ∈（0，+∞）时，幂函数y ＝（m 2-m-1）x ﹣5m ﹣3为减函数，则实数m 的值为（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝-1 C ．m ＝-1或m ＝2 D ．m ≠2 51± 3．若函数f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f ＝3，则f （2 1）的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣31 C ．3 D ．3 1 4．如果幂函数y ＝（m 2-3m+3）22--m m x 的图象不过原点，则m 取值是（ ） A ．-1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 5．函数f （x ）＝（m 2-m-1）322-+m m x 是幂函数，其图象与两坐标轴都没有交点，则m ＝（ ） A ．-1 B ．2 C ．3 D ．2或-1 6．幂函数f （x ）＝（m 2-6m+9）132+-m m x 在（0，+∞）上单调递增，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或4 7．已知函数f(x)=（m 2-m-1）13-m x 是幂函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足0)()(2 121 x x x f x f --，若a ，b ∈R ，a+b ＜0，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 8．函数f （x ）＝（m 2-m-1）12-+m m x 是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，则实数m 为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-1或2 9．已知幂函数f(x)=(m-1)2242 +-m m x 在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x -t ，∀x 1∈[1， 6）时，总存在x 2∈[1，6）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（ ） A ．φ B ．t ≥28或t ≤1 C ．t ＞28或t ＜1 D ．1≤t ≤28 10．若幂函数f(x)=(m 2-2m-2)32++-m m x 在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的值是（ ） A ．-1或3 B ．3 C ．-1 D ．0 11．若函数y=(m 2-3m+3)4 22-+m m x 为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．2 12．已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （-3）＝（ ） A ．-9 B ．9 C ．3 D ．-3 13．函数f （x ）＝3a x-2+5（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数g （x ）的图象 上，则g （-2）的值为（ ）A ．-8 B ．-9 C ．81- D ．91- 14．有四个幂函数：①f （x ）＝x -1；②f （x ）＝x -2；③f （x ）＝x 3；④f(x)=3 1x ．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y ∈R ，且y ≠0}；（3）在（-∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 15．幂函数f （x ）＝（m 2-2m-2）22-m x 在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（ ） A ．-1 B ．3 C ．-1或3 D ．1或﹣3 4.1.3幂函数 一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。1 ．()22log 4y x =--的定义域是（ ） A ．(2,0)(1,2)-B ．(2,0](1,2)-⋃ C ．(2,0)[1,2)-⋃D ．[2,0][1,2]-⋃ 【答案】C 【解析】解：要使函数有意义，则2 1 022040x x x x -⎧≥⎪⎪ ⎨≠⎪ ⎪->⎩， 解得20x -<<或12x ≤<， 所以函数的定义域为(2,0)[1,2)-⋃. 故选：C ． 2．若幂函数()m n f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ） A ．m ，n 是奇数，且 m n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且 m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且 m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n >1 【答案】C 【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且 1m n <，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C. 3．设ln a π=，lg3b =，1 2c π-=，则（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】D 【解析】因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以ln ln e π>，即1a > 因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg1lg 3<<102 b << ， 因为函数12y x -=在()0,∞+上单调递减，所以11122284π--->>1 2 c >>， 综上：a c b >>， 故选：D. 4．已知函数()2 log 13(0x a y a x a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则 ()2f =（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】令2x =，得4y =， 所以函数()2 log 13(0x a y a x a -=+-+>且1)a ≠的图像恒过定点()2,4P ， 设幂函数为()a f x x =， 因为点P 在幂函数()a f x x =的图象上， 所以24a =，解得2a =， 所以()2 224f ==， 故选：B 5．设0.40.8 2log 9,4,3a b c ===，则（ ） 高三数学幂函数试题答案及解析 1.若，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此 的解集为. 【考点】幂函数的性质. 2.已知函数f(x)＝，则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为________． 【答案】(－1,4) 【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1 6.函数由确定，则方程的实数解有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个 【答案】D 【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程 的根. 【考点】幂的运算，分式方程的求解. 7.已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是 【答案】 【解析】将（）代入得，，所以，，其定义域为， 为增函数，所以可化为，解得，故答案为。 【考点】本题主要考查幂函数的解析式，抽象不等式解法。 点评：简单题，抽象不等式解法，一般地是认清函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式求解。 8.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2－m－1)为减函数, 则实数m的值为( ) A．m=2B．m=－1C．m=－1或m=2D．m≠ 【答案】A 【解析】因为此函数为幂函数，所以, 当m=2时，它在(0,+∞)是减函数，当m=-1时，它在(0,+∞)是增函数. 9.如图，下图为幂函数y＝x n在第一象限的图像，则、、、的大小关系 为． 【答案】<<< 【解析】观察图形可知，>0，>0，且>1，而0<<1，<0，<0，且<． 10.幂函数的图像经过点，则的值为。 【答案】2 高一数学幂函数试题答案及解析 1.若函数是幂函数，则的值为（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】由题意，得，解得． 【考点】幂函数的解析式． 2.计算等于（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】。故选B。 【考点】指数幂的运算 点评：本题运用指数幂的运算公式：，。 3.已知幂函数的图象过点 . 【答案】3 【解析】幂函数形式为，其过点，则，求得，。 【考点】幂函数 点评：幂函数的形式是。本题需先确定幂函数的解析式。 4.当时，幂函数为减函数，则实数( ) A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D． 【答案】A 【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。 【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。 点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。 5.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数 在区间上的最大值为2，试求实数的值。 【答案】 【解析】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有 ，解得， ——————————5’ ①当是的单调递减区间， ————————7’ ②当， 解得——————————9’ ③ ，解得————————11’ 综合①②③可知————————12’ 【考点】幂函数与二次函数 点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。 6.已知幂函数在增函数，则的取值范围 . 【答案】(0,10) 【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到 lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。 【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。同时对数真数大于零是易忽略点。 7.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（） A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞） C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞) 【答案】A 【解析】因为幂函数过点(2, ),所以=，即。所以，所以函数的单调递增区 间为(－∞, 0)。 【考点】本题考查幂函数的性质。 点评：熟记幂函数当取不同值时的单调性：当时，幂函数在第一象限的图像是单调递增的；当时，幂函数在第一象限的图像是单调递减的。 8.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定 【答案】A 【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点， 所以，解得，所以在第一象限单调递减. 因为，所以，所以. 【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增. 9.已知幂函数在上为减函数，则实数 【答案】-1 【解析】因为. 【考点】本小题考查了幂函数的定义，及幂函数的单调性.高中数学必修一《幂函数》精选习题(含详细解析)
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