2023届河北省南宫市奋飞中学九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是（ ）边形 A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

2．若反比例函数k

y x

=

的图象分布在二、四象限，则关于x 的方程2320kx x -+=的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根

D ．只有一个实数根

3．正六边形的边心距与半径之比为（ ） A ．1:3

B ．3:1

C ．3:2

D ．2:3

4．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）

A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率

B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率

D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率

5．先将抛物线()2

13y x =-+关于x 轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．()213y x =--+ B ．()2

13y x =-++ C ．()2

13y x =--- D ．()2

13y x =-+-

6．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )

A ．2：1

B ．2：1

C ．3：3

D ．3：2

7．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个根是x ＝1

D ．不存在实数根

8．如图，AB EF DC ∥∥，AD BC ∥，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有（ ）

A ．3对

B ．5对

C ．6对

D ．8对

9．下列命题中，是真命题的是

A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B ．两条对角线相等的四边形是矩形

C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x .应列方程是（ ） A ．300（1+x ）=507

B ．300（1+x ）2=507

C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=507

D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=507

11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点．直线EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于E 、F ，且PA ＝1．则△PEF 的周长为（ ）

A ．1

B ．15

C ．20

D ．25

12．宽与长的比是

51

2

-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）

A ．矩形ABFE

B ．矩形EFCD

C ．矩形EFGH

D ．矩形DCGH

二、填空题（每题4分，共24分）

13．在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()()4,25,0A B ,，以点O 为位似中心，相们比为1

2

，把ABO 缩小，得到11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为_____．

14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点 O 恰好落在延长线上点D 处，折痕交OA 于点C ，整个阴影部分的面积_____．

15．若关于x 的方程x 2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___． 16．ABC ∆中，若6AB =，8BC =，120B ∠=︒，则ABC ∆的面积为________.

17．如图，摆放矩形ABCD 与矩形ECGF ，使,,B C G 在一条直线上，CE 在边CD 上，连接AF ，若H 为AF 的中点，连接,DH HE ，那么DH 与HE 之间的数量关系是__________．

18．如图，在ABC 中，点O 在边AC 上，O 与ABC 边,BC AB 分别相切于,C D 两点，与边AC 交于点E ，

弦CF 与AB 平行，与DO 的延长线交于点M ．若E 点是DF 的中点，2BC ＝，则OC 的长为_____．

三、解答题（共78分）

19．（8分）已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y

…

5

2

1

2

n

…

（1）表中n 的值为 ；

（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？

（3）若A （m 1，y 1），B （m+1，y 2）两点都在该函数的图象上，且m ＞2，试比较y 1与y 2的大小． 20．（8分）（1）解方程：5(3)2(3)x x x +=+. （2）计算：22sin 45cos 30sin 60tan 30-︒+︒⋅︒︒.

21．（8分）校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少米？

22．（10分）计算：（1）2sin 45tan 30cos302︒︒︒+⋅；（2）解方程2810x x -+= 23．（10分）如图，一次函数y ＝kx+b 与反比例函数y ＝m

x

（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与X 轴交于点C ，其中点A （﹣1，3）和点B （﹣3，n ）． （1）填空：m ＝ ，n ＝ ． （2）求一次函数的解析式和△AOB 的面积． （3）根据图象回答：当x 为何值时，kx+b≥

m

x

（请直接写出答案） ．

24．（10分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．

()1他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下：

朝上的点数 1

2 3 4 5 6

出现的次数

7

9

6

8

20 10

①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为________；

②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？

()2小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状

图的方法加以说明，并求出其最大概率．

25．（12分）己知函数2

23y ax x =--（a 是常数）

（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由； （2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.

26．如图1，▱ABCD 中，∠ABC 、∠ADC 的平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形EBFD 是平行四边形；

（2）如图2，小明在完成（1）的证明后继续进行了探索．连接AF 、CE ，分别交BE 、FD 于点G 、H ，得到四边形EGFH ．此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请在框图（图3）中补全他的证明思路，再在答题纸上写出规范的证明过程．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分） 1、C

【分析】根据多边形的对角线的条数公式

(3)

2

n n -列式进行计算即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为n ，由题意得：

(3)

202

n n -=， 解得：128,5n n ==-（舍去） 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键． 2、A

【分析】反比例函数k

y x

=

的图象分布在二、四象限,则k 小于0，再根据根的判别式判断根的情况.

【详解】∵反比例函数k

y x

=的图象分布在二、四象限 ∴k ＜0

则()2

24342980b ac k k =-=--⋅=-> 则方程有两个不相等的实数根 故答案为：A. 【点睛】

本题考查了一元二次方程方程根的情况，务必清楚240b ac =->时，方程有两个不相等的实数根；240b ac =-=时，方程有两个相等的实数根；240b ac =-<时，方程没有实数根. 3、C

【分析】我们可设正六边形的边长为2，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．

【详解】如右图所示，边长AB ＝2； 又该多边形为正六边形， 故∠OBA ＝60°，

在Rt △BOG 中，BG ＝1，OG ＝3， 所以AB ＝2，

即半径、边心距之比为3:2． 故选：C ．

【点睛】

此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用． 4、D

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P ≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．

【详解】解：A 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1

2

，故此选项不符合题意； B 、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为

1

6

，故此选项不符合题意；

C 、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为2

3

，故此选项不符合题意； D 、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为1

3

，故此选项符合题意．

故选：D ． 【点睛】

此题考查了利用频率估计概率，属于常见题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答的关键． 5、C

【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x 轴对称的特点得出答案．

【详解】根据二次函数关于x 轴对称的特点：两抛物线关于x 轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线()2

13y x =-+关于x 轴对称的新抛物线的解析式为()2

13y x =---

故选：C. 【点睛】

本题主要考查二次函数关于x 轴对称的特点，熟知两抛物线关于x 轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键. 6、B

【分析】根据折叠性质得到AF ＝12AB ＝12a ，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF

＝，即12

a b

b a ＝

，然后利用比

例的性质计算即可．

【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF ， ∴AF ＝

12AB ＝12

a ， ∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，

∴AB AD AD AF

＝，即12

a b b a ＝，

∴a ∶b

. 所以答案选B. 【点睛】

本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 7、A

【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可． 【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，

1+8﹣c ＝0，解得c ＝9， ∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，

∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】

本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2

00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当

24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．

8、C

【分析】根据相似三角形的判定即可判断.

【详解】图中三角形有：AEG ∆，ADC ∆，CFG ∆，CBA ∆， ∵AB EF DC ∥∥，AD BC ∥ ∴AEG ADC CFG CBA ∆∆∆∆∽∽∽

共有6个组合分别为：

∴AEG ADC ∆∆∽，AEG CFG ∆∆∽，AEG CBA ∆∆∽，ADC CFG ∆∆∽，ADC CBA ∆∆∽，CFG CBA ∆∆∽

故选C ． 【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理. 9、A

【解析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 10、B

【分析】根据年利润平均增长率，列出变化增长前后的关系方程式进行求解. 【详解】设这两年的年利润平均增长率为x ，列方程为：300（1+x ）2=507. 故选B. 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是怎么利用年利润平均增长率列式计算. 11、C

【分析】由切线长定理知，AE ＝CE ，FB ＝CF ，PA ＝PB ＝1，然后根据△PEF 的周长公式即可求出其结果．

【详解】解：∵PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，

⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上， ∴AE ＝CE ，FB ＝CF ，PA ＝PB ＝4， ∴△PEF 的周长＝PE +EF +PF ＝PA +PB ＝2． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF 的周长＝PA ＋PB ． 12、D

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF=GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1

在直角三角形DCF 中，DF ==

FG ∴=

1CG ∴=

1

2

CG CD ∴

=

∴矩形DCGH 为黄金矩形 故选：D ． 【点睛】

的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH 也为黄金矩形．

二、填空题（每题4分，共24分） 13、()2,1或()2,1--

【解析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以12和-1

2

即可求解. 【详解】解：以点O 为位似中心，相似比为

1

2

，把ABO 缩小，点A 的坐标是()4,2A 则点A 的对应点1A 的坐标为114,222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝

⎭或114,222⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭，即()2,1或()2,1--，

故答案为：()2,1或()2,1--． 【点睛】

本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键. 14、9π﹣123．

【详解】解：连接OD 交BC 于点E ，∠AOB=90°， ∴扇形的面积=

21

64

π⨯⨯=9π， 由翻折的性质可知：OE=DE=3，

在Rt △OBE 中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°， 在Rt △COB 中，CO=23， ∴△COB 的面积=13，

∴阴影部分的面积为=9π﹣123． 故答案为9π﹣123．

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键． 15、30°

【解析】试题解析：∵关于x 的方程22sin 0x x α+=有两个相等的实数根， ∴()

2

2

41sin 0，

α=--⨯⨯= 解得：1

sin 2

α=

， ∴锐角α的度数为30°； 故答案为30°． 16、123【分析】过点A 作BC 边上的高交BC 的延长线于点D ，在Rt ABD △中，利用三角函数求出AD 长，再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点D ，则90ADB ︒∠=，

120ABC ︒∠=

18012060ABD ︒︒︒∴∠=-=

在Rt ABD △中，3

sin 606332

AD AB ︒==⨯

= 11

83312322

ABC

S

BC AD ∴=

⋅=⨯⨯= 所以ABC ∆的面积为123 故答案为：123. 【点睛】

本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键. 17、DH HE =

【分析】只要证明△FHE ≌△AHM ，推出HM=HE ，在直角△MDE 中利用斜边中线的性质，则DH=MH=HE ，即可得到结论成立．

【详解】解：如图，延长EH 交AD 于点M ，

∵四边形ABCD 和ECGF 是矩形， ∴AD ∥EF ， ∴∠EFH=∠HAM ， ∵点H 是AF 的中点， ∴AH=FH ， ∵∠AHM=∠FHE ，

∴△FHE ≌△AHM ， ∴HM=HE ，

∴点H 是ME 的中点， ∵△MDE 是直角三角形， ∴DH=MH=HE ； 故答案为：DH HE =． 【点睛】

本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

18． 【分析】连接,,DC DF DO 交CF 于M ，根据已知条件可得出ODB 90∠=︒，点M 是CF 的中点，再由垂径定理得出CE 垂直平分DF ，由此得出DCF 是等边三角形，又因为BC 、AB 分别是O 的切线，进而得出BCD 是等

边三角形，利用角之间的关系，可得出A 30∠=︒ ，从而可得出OD 的长.

【详解】解：连接,,DC DF 设DO 交CF 于M ．

AB 与O 相切于点D ，

OD AB ∴⊥于D ．

90ODB ∴∠︒＝． //CF AB ，

90OMF ODB ∴∠∠︒＝＝． OM CF ∴⊥．

∴点M 是CF 的中点；

DM CF ⊥， DC DF ∴＝，

E 是D

F 的中点，

CE ∴垂直平分DF ，

CD CF ∴＝，

DCF ∴是等边三角形， 130∴∠︒＝，

,BC AB 分别是O 的切线， 2,90BC BD ACB ∴∠︒＝＝＝，

260∴∠︒＝，

BCD ∴△是等边三角形， 60B ∴∠︒＝， 30A ∴∠︒＝，

23

3

OD ∴＝

， O ∴的半径为

23

3

． 故答案为

23

3

．

【点睛】

本题考查的知识点有圆的切线定理，垂径定理，以及等边三角形的性质等，解题的关键是结合题目作出辅助线.

三、解答题（共78分）

19、（1）5；（1）当x=1时，y 有最小值，最小值是1；（3）y 1＜y 1 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；

（1）由表中数据可知，当x =1时，y 有最小值，最小值是1； （3）根据二次函数的图像与性质解答即可. 【详解】（1）∵根据表可知：对称轴是直线x=1， ∴点（0，5）和（4，n ）关于直线x=1对称， ∴n=5， 故答案为5；

（1）根据表可知：顶点坐标为（1，1），

即当x=1时，y 有最小值，最小值是1；

（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴是直线x=1，

∴当m ＞1时，点A （m 1，y 1），B （m+1，y 1）都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∵m ＜m+1， ∴y 1＜y 1． 【点睛】

本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 1+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小. 20、（1）12

5x =

，23x =-；（2）34

【分析】（1）先提取公因式分解因式分为两个一元一次方程解出即可得到答案； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可. 【详解】（1）解：(52)(3)0x x -+=， ∴520x -=或30x +=， ∴12

5

x =

，23x =-.

（2）解：原式2

2223⎛=-+⨯ ⎝⎭ 3

4

=. 【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法、特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意不要混淆各特殊角的三角函数值. 21、2m

【详解】解：设道路的宽为xm ， （32-x ）（20-x ）=540， 整理，得x 2-52x+100=0， ∴（x-50）（x-2）=0，

∴x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）， 小道的宽应是2m ． 故答案为2.

【点睛】

此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键. 22、（1）

1

2

；（2）415x =± 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再计算； （2）利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）原式233

22232

=⨯+⨯-1222=+-12=

（2）∵281x x -=-，

∴2816116x x -+=-+，即()2

415x -=， 则415x -=±， ∴415x =±． 【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值以及用因式分解法解方程．记住特殊角的三角函数值是解题关键， 23、 (1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1. 【分析】（1）已知反比例函数y=

m

x

过点A （﹣1，3），B （﹣3，n ）分别代入求得m 、n 的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x 轴的交点坐标，根据S △AOB =S △AOC ﹣S △BOC 即可求得△AOB 的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x 的取值范围即可. 【详解】（1）∵反比例函数y=过点A （﹣1，3），B （﹣3，n ） ∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n ∴n=1

故答案为﹣3，1

（2）设一次函数解析式y=kx+b ，且过（﹣1，3），B （﹣3，1） ∴ 解得：

∴解析式y=x+4

∵一次函数图象与x 轴交点为C ∴0=x+4 ∴x=﹣4

∴C （﹣4，0） ∵S △AOB =S △AOC ﹣S △BOC ∴S △AOB =×4×3﹣×4×1=4 （3）∵kx+b≥

∴一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴﹣3≤x≤﹣1 故答案为﹣3≤x≤﹣1 【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大． 24、（1）①

13

；②说法是错误的．理由见解析；(2)1

6．

【解析】（1）①让5出现的次数除以总次数即为所求的频率；②根据概率的意义，需要大量实验才行； （2）列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数的即可． 【详解】解：()1①1

20603

÷=

； ②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．

()2

()1,6 ()2,6 ()3,6

()4,6 ()5,6 ()6,6 ()1,5 ()2,5 ()3,5 ()4,5 ()5,5 ()6,5 ()1,4 ()2,4 ()3,4 ()4,4 ()5,4

()6,4 ()1,3 ()2,3 ()3,3 ()4,3 ()5,3 ()6,3 ()1,2 ()2,2 ()3,2 ()4,2 ()5,2 ()6,2 ()1,1

()2,1

()3,1

()4,1

()5,1

()6,1

由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种，

所以P （点数之和为7）61366

==． 【点睛】

考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义;用到的知识点为:概率是大量实验下一个稳定的值;数学中概率等于所求情况数与总情况数之比.

25、（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或1

3

a =-.

【分析】（1）首先联立二次函数和一次函数得出一元二次方程，然后由根的判别式判定即可； （2）分情况讨论：当0a =和0a ≠时，与x 轴有一个公共点求解即可. 【详解】（1）当1a =时，2

23y x x =--

∴2

123

y x y x x =-⎧⎨=--⎩∴2320x x --= ∵()9412170∆=-⨯⨯-=>

∴方程有两个不相等的实数根，函数图像与直线有两个不同的公共点 （2）①当0a =时，函数23y x =--与x 轴有一个公共点3

,02

⎛⎫- ⎪⎝⎭

②当0a ≠时，函数2

23y ax x =--是二次函数 由题可得4120a ∆=+=，13

a =- 综上可知：0a =或13

a =-. 【点睛】

此题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题. 26、（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，∠ABC=∠ADC ．AD=BC ，由角平分线得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF ．证出EB ∥DF ，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出BE ∥DF ，DE=BF ，得出AE=CF ，证出四边形AFCE 是平行四边形，得出GF ∥EH ，即可证出四边形EGFH 是平行四边形． 【详解】证明：在

ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠ADC ．AD =BC ．

∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠EBC =1

2∠ABC ． ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF =∠CDF =1

2

∠ADC ．

∵∠ABC =∠ADC ．

∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ADF．

∴EB∥DF．

∵ED∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

（2）①补全思路：GF∥EH，AE∥CF；

②理由如下：

∵四边形EBFD是平行四边形；

∴BE∥DF，DE=BF，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴GF∥EH，

∴四边形EGFH是平行四边形．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明EB∥DF和四边形AFCE是平行四边形，是解决问题的关键．