汽车保险精算定价模型研究

汽车保险论文关于汽车保险论文：

汽车保险精算定价模型研究综述

摘要：汽车保险定价模型在非寿险精算领域内占有重要地位，本文对车险定价模型一百多年来的研究进展作了综述性的回顾。首先，本文介绍了车险定价模型的先验估费方法；其次着重介绍了时齐的后验估费方法，以及时变的先验后验相结合的精算模型；最后提出了车险定价模型的未来发展方向。

关键词：汽车保险；先验估费；后验估费；索赔频率；索赔额

一、前言

汽车保险是承保汽车因自然灾害或意外事故导致的损失或民事赔偿责任的综合性财产保险，属于运输工具保险。汽车保险是伴随着19世纪后期汽车在欧洲的普及而出现的。当时，汽车交通事故导致的意外伤害和财产损失不断增加，引起了精明的保险商对汽车保险的关注。第一张汽车保险单是由英国的“法律意外保险有限公司”于1895年签发的保费为10至100英镑的汽车第三者责任保险，随后汽车保险又扩展到了汽车火灾险和汽车碰撞损失险[1]。第二次世界大战结束后，发达国家汽车制造工业迅速扩张，汽车保险业也得到飞速发展，成为各国财产保险中最重要的业务险种。在发达国家，汽车保险的保费收入一般要占财产险总保费的50％左右。在我国实施交通事故强制保险制度后，汽车保险也约占到总财产险保费的70％。

汽车保险的精算定价是与汽车保险同时诞生的，至今已经有一百多年的历史了。由于汽车保险已成为财产保险中名副其实的“龙头险种”，其经营效益的优劣直接影响到各财险公司财务盈亏，因此，各

家保险公司对车险精算定价极其重视，车险精算也成为非寿险精算领域的重要研究内容。汽车保险的精算定价是保险公司承保风险之前最主要和最重要的风险管理工具。精算师和学者进行了广泛研究，定价模型也历经先验估费模型、后验估费模型、先验与后验相结合模型，得到不断的改进和应用。本文将概括性介绍汽车保险精算研究中的经典模型、研究进展和重要热点，为今后的研究提供一些启示和借鉴作用。

二、先验估费阶段

在20世纪50年代之前，汽车保险的定价方法是按照寿险均衡保费定价原则进行定价的。投保人的风险纯保费P为

P＝E（L）（1）

L表示被保险人的损失风险。为了体现定价的公平性，和寿险精算（生命表）中选择年龄、性别等作为风险分类的先验风险变量一样，非寿险精算师们依据投保人先前影响风险的先验变量（风险因素）确定其风险保费水平（费率等级）。在这种先验估费方法中，汽车的类型、用途和被保险人居住区域是最主要的先验定价变量。例如，欧洲大多数国家把汽车的排气量作为汽车保险的主要车型风险分类变量；荷兰的保险公司还把投保人的行驶里程作为先验风险分类变量[1]。

先验估费的基本原理就是把具有相同先验风险因素的投保人分入同一风险等级（收取相同保险费），在同一风险等级的保单组合内进行均衡保费定价。先验估费方法移植了寿险精算均衡保费定价方法，简便易行。但是由于相比人寿保险，汽车保险的保险标的具有更

大的风险异质性，因此，相同的先验风险变量下的车险保单很可能具有不同的实际风险水平。由于先验估费忽略了汽车驾驶员的驾驶能力这一最重要的先验风险因素（保险公司很难测定），从而造成了驾驶能力不同而其他先验风险相同的驾驶员被分入同一费率等级，定价缺乏公平性和合理性，逐渐受到了社会公众的质疑。

三、后验估费阶段

二战结束后，社会对汽车保险先验估费方法的不满加剧，一些欧洲国家希望将汽车保险费率系统改进为按照驾驶员实际索赔记录定价的无赔款优待费率系统（No Claim Discount），非寿险精算师们面临后验估费定价模型这一新精算方法的挑战。此时，法国总统戴高乐将军促成了汽车保险后验估费方法的研究。戴高乐将军在1958年当选为法国总统后，要求汽车保险公司使用无赔款优待系统，即根据被保险人的历史索赔记录来决定其未来保费等级。为此，法国的精算师们求助于ASTIN（国际精算协会非寿险精算分会），于是，ASTIN开展了以“汽车保险研究”为主题的的第一次国际研讨会，大大促进了后验估费模型的研究[2]。

后验估费，也叫做经验费率（Empirical Rating）方法，即根据被保险人以往的索赔次数和损失程度决定其未来的保费，是非寿险精算特有的方法[2]。用P表示被保险人未来的风险纯保费，P可以写作以下函数

P＝P（k1，k2，...，kt；x1，x2，...，xk）k＝ti＝1Σki；k1，...，kt＝0，1，2， (2)

式（2）中，t表示被保险人过去保险期；ki表示被保险人在过去的第i个保单年度内发生索赔的次数，k则是t个保单年度内发生索赔的总次数；xj表示被保险人在过去的第j次索赔中实际的索赔金额，j＝1，2，．．．，k。研究表明，车险中索赔次数和索赔额的分布通常是相互独立的，风险纯保费等于索赔次数期望值与索赔金额期望值之积[2]。在实际车险业务中，由于观察保险期t的时间长度和索赔数量都是很有限的，因此，精算师通常使用索赔次数和索赔金额均值的最优估计来计算风险纯保费。于是，P可以表示为

P＝λ（k1，k2，…，kt）·X（x1，x2，…，xk）（3）

式中λ(k1,k2,．．．,kt)为被保险人未来索赔频率（索赔次数均值）的最优估计，X(x1,x2,．．．,xk)为被保险人未来索赔额的最优估计。在式（3）的保费计算方法中，如果对全体保单采用统一的索赔金额均值（不采用后验估计），式（3）即变为车险索赔频率定价模型P＝λ（k1，k2，…，kt）·X （4）

因此，汽车保险后验估费模型可以按照是否考虑历史索赔金额分为两大类：一是式（4）的索赔频率模型；二是式（3）中考虑索赔金额定价模型。

（一）索赔频率模型

传统车险定价索赔频率模型中，混合泊松分布模型处于主导地位。泊松－伽玛（负二项模型）、二元风险模型、泊松－逆高斯和泊松－霍夫曼模型是主要的索赔频率模型，被广泛应用。尤其是负二项模型，各国汽车保险业用以建立最优无赔款优待费率系统。

负二项模型（泊松－伽玛分布）。Bichsel（1960）和Thyrion（1960）是最早使用负二项分布作为非同质保单组合的索赔频率模型的，他们在车险实证研究中用负二项模型都取得了良好的拟合效果[3][4]。Ruohonen（1988）对三参数位移伽玛分布作为结构函数的混合泊松索赔频率模型进行了研究。三参数伽玛分布模型比负二项模型更好地拟合了车险经验数据。Ruohonen还给出了新模型下信度保费的计算公式[5]。

二元风险模型。Derron（1963）首先提出使用二点分布作为索赔次数的结构密度函数。在二点分布的二元风险模型中，保单组合被认为由两类司机组成：低风险驾驶员和高风险驾驶员[6]。

泊松－逆高斯模型。Willmot（1986）最早将泊松逆高斯模型应用于车险索赔频率模型。他分别将贝塔分布、均匀分布、逆高斯分布等作为结构密度函数，并给出了相应的索赔频率分布的递推计算公式[7]。Tremblay（1992）用泊松逆高斯模型良好地拟合了汽车保险索赔经验数据，在此基础上建立了最小化保险公司风险的奖惩系统（BMS）[8]。

泊松－霍夫曼模型。Walhin和Paris（1999）提出了一种三参数霍夫曼（Hofmann）混合泊松分布模型来替代负二项和泊松逆高斯模型，该模型包含了负二项分布、泊松逆高斯分布，而且非常好地拟合了车险经验索赔数据；他们还采用非参数估计方法构建了车险奖惩系统，而且该系统具有级别有限、简单的稳态分布和转移概率的优点[9]。

除以上主流的泊松混合模型外，Albrecht（1982，1984）将泊松分布与皮尔逊分布族、威布尔、帕累托贝赛尔、截尾正态、χ2等分布混合，得出了相应的混合泊松分布模型；他还提倡使用离散结构密度函数对泊松过程进行混合[10][11]。Gossiaux和Lemaire（1981）的广义几何分布模型[12]，Consul(1989)的广义泊松－帕斯卡分布[13]，Islam and Consul(1992)的Consul分布模型[14]，Denuit（1997）提出了泊松－冈察洛夫模型[15]，这些模型尽管比较新颖，但是在实际应用中存在一定的争议。

国内的车险精算研究始于上世纪九十年代，有代表性的研究成果孟生旺和袁卫（1999）（2001）[16][17]，刘长标和袁卫（1999）（2000）[18][19]，高洪忠（2003）（2004）[20][21]，主要是跟进性研究，原创新并不强。

（二）索赔金额模型

仅考虑索赔次数的后验定价模型，事实上也会造成定价不公平。由于一次汽车事故索赔可能是损失数百元的小刮擦事故，也可能是损失上百万的恶性人伤事故，显然一次大事故的风险很可能比多次小的碰擦事故的实际损失风险大的多，因此，精算学者提出了考虑索赔严重性的后验定价模型。

Picard(1976)提出考虑区分人伤和非人伤的扩展的负二项模型，并且得到了令人满意的实际拟合效果[22]。

Pinquet(1997)提出了索赔金额服从伽玛和对数正态分布假设下的车险精算模型，估费因子和异质因子都包含在分布的比例参数中。

考虑到异质因子也服从伽玛或者对数正态分布，Pinquet还给出了信度公式以得到未来保单年度的索赔额的预测值[23]。

Frangos和Vrontos（2001）提出了结合多元回归方法的帕累托（Pareto）索赔金额模型，在假设索赔频率服从负二项分布条件下，建立带多元回归的索赔频率和索赔额模型（模型的索赔频率部分使用先验与后验相结合方法，索赔金额部分是纯后验方法）。Frangos和Vrontos在论文最后使用希腊保险公司的数据，实现同时考虑索赔次数和索赔“严重性”的车险奖惩系统[24]。

郁佳敏和郝旭东（2008）认为我国的车险索赔额数据多数服从对数正态分布，提出一个快速计算的索赔金额定价模型[25]。

索赔金额定价模型需要被保险人的历史损失数据，通常情况下普通保单的观察值次数很少，一般不能满足大数法则，因此，索赔金额模型很少有实际应用。

四、先验与后验估费相结合阶段

Munden（1962）早在1962年就发现汽车风险随时间变化的U型特征，即新驾驶员随驾驶经验的增长可以逐年降低车险风险，而老年驾驶员因年龄的增长风险逐年加大[26]。佐藤武（1998）郁佳敏（2004）对日本和中国的汽车风险实证研究也表明，车险保单（或被保险人）的个体风险水平是随时间而发生变化的，即非齐次的[1][27]。Niemiec （2007）对波兰PZU保险公司现有的传统模型费率系统进行实证分析，定量分析了设计费率系统和实际风险之间逐年产生的偏差，认为产生偏差的根源在于假设车险保单的索赔频率水平λ固定不变是不

符合实际风险情况[28]。

传统的车险索赔频率模型（本质上属于齐次泊松混合模型）都基于这样一个假设：车险保单（或被保险人）的个体风险水平λ是固定不变。这一假设显然有悖于人们的直观经验，例如：驾驶员随着驾龄和经验的增长，事故风险会下降；汽车车龄老化，会引起故障率上升，从而导致事故风险增加。国内外学者为了解决这一问题，提出了泊松回归模型。Dionne和Vanasse（1989）（1992）指出传统车险经验定价的一个缺点：保费价格仅取决于后验索赔经验，与先验风险变量的选择和变化无关。因此，他们在传统负二项索赔频率模型的基础上，引入带多元回归变量的泊松模型，从而把先验与后验风险信息整合进个体风险定价模型。个体保单i的泊松参数（风险水平）为λi＝exp（xiβ軍＋εi）（5）

式中，先验向量xi＝（xi1，xi2，…，xik），代表k个外生的先验分类变量，β軍是k个变量的系数向量，εi为扰动项。他们用加拿大车险数据（包含年龄、性别、区域风险信息）进行实证分析，证明带有回归成分的泊松模型拟合效果更加理想，且能解释不同保单之间的非同质性。Dionne和Vanasse的泊松回归模型是具有革新性的成果[29][30]。

Dean等(1989)在泊松－逆高斯模型的基础上，首次提出带回归成分的泊松－逆高斯索赔频率模型，并用极大似然估计和拟极大似然矩估计法对模型参数进行估计。在对瑞典第三者责任险的车险数据实证分析中，这一索赔频率模型取得了不错的拟合效果[31]。

自Dionne和Vanasse（1989）（1992）、Dean等(1989)之后，新型的风险时变（加入时间先验变量）车险索赔频率定价模型都建立在泊松回归模型基础之上，结合先验风险变量的新型零膨胀（Zero－Inflated）混合泊松模型和门槛模型（Hurdle Model）相继被提出。

Pinquet等（2001）在泊松回归模型的基础上，分别建立了与时间独立的静态异质随机效应和动态异质随机效应(与投保时间相关)的索赔频率精算模型。对于动态随机效应模型，应用自相关函数得到随机效应的自相关图，并给出了相应的信度估费公式。最后，作者用西班牙车险数据进行实证研究，认为动态随机效应的相关系数随着时间的延迟而下降；短期保险历史的保单的信度因子在预测长期费率时可能被高估；在总体索赔频率方差高于分解保单方差的时候，适合运用动态随机效应模型建立效应的BMS[32]。

Boucher等（2006）运用西班牙第三者责任车险的数据对固定效应和随机异质效应下的泊松回归模型进行实证比较，证明：在先验变量和异质性存在显著的相关性时，使用动态随机异质效应回归泊松模型的具有合理性。与固定效应惩罚年轻驾驶员非常严厉相比，随机异质效应的回归泊松模型定价更具公平性[33]。

Boucher等（2007）在泊松回归模型的基础上，首次选择零膨胀混合泊松模型和门槛模型作为年度索赔次数随机模型，都较好地拟合了西班牙车险数据[34]。Boucher和Denuit（2008），Boucher等（2009）在后续的多元零膨胀索赔频率模型研究中依然基于泊松回归模型这一基础假设[35][36]。

此外，一些学者将时间序列方法引入泊松回归模型，进一步扩充了最优估费方法。Bolance等（2003）首次用时间序列自回归模型AR （p）来表示个体保单索赔次数的相关图，认为自回归方法是估计时变风险索赔频率其相关结构的补充方法，并且给出了车险自回归模型合适的p阶数。作者利用自回归模型估计出相关系数和偏相关系数，得到车险的索赔频率信度模型，并运用西班牙的车险数据，证明了时变的信度定价模型是回溯定价法和未来定价法的组合，并且受到客户忠诚度的直接影响[37]。

Gourieroux和Jasiak（2004）引入一阶整数自回归模型预测车险保单在未来保单年度的索赔次数，并且结合动态时变的泊松回归模型，得到自回归时间序列方法下未来保费的最优估计。最后，作者将整数自回归模型下的保费定价和传统负二项模型进行比较，证明新模型定价奖惩更为严厉[38]。

Bolance等（2007）在Dionne和Vanasse泊松回归模型的基础上，应用时间序列（Harvey－Fernandes）模型来预测未来保单年度的车险索赔次数，并给出了最大精确信度保费公式。作者认为该定价模型适合对理赔记录糟糕的被保险人进行严厉惩罚，不适合提倡风险共担的费率系统。并且该模型存在过分偏重于近来索赔信息的缺点[39]。

国内郁佳敏和王浣尘（2005）提出模仿寿险选择型生命表方法，利用车龄和驾龄先验数据对传统后验费率模型进行修正[40]。

五、未来研究方向

尽管泊松回归索赔频率模型将传统的时齐模型改进为风险时变

模型，可以较好地满足汽车风险随时间变化的假设，但是仍然存在一些缺点：

首先是泊松回归模型中回归变量的选择问题。相关风险研究表明，驾驶员的情绪、技术、好胜心理和驾驶知识才是决定风险的根本直接因素，它们更适合加入回归模型，但这些因素在现实中无法得到。因而，建立在年龄、性别、区域等间接风险因素上的泊松风险回归模型是否能正确表示实际风险变化值得怀疑；其次，泊松回归模型是建立在大样本统计上的，模型估计出的是全体保单的整体变化规律（表示先验风险变量和风险的相关关系），而不是单个保单的个体风险变化规律。从定价的公平性上看，是属于全体保单上的公平，而不是个体保单上的公平。以Dionne和Vanasse模型为例，一个城市里具有同样年龄（3年驾龄）、同样性别的年轻驾驶员A和B，其回归参数β应该是一样的（即U型风险曲线同质、其风险变化趋势一致）；但是，假定A经常驾驶，而B是偶尔驾驶，那么根据我们直觉经验判断，A驾驶员的风险应该下降得快于B驾驶员。所以，在泊松回归模型中，A可能被过高定价，B则定价过低；再次，泊松回归模型本质上是指数线性回归模型，属于乘法定价模型。一旦估计出回归参数β（譬如驾龄、年龄变量的参数），其乘法费率因子就只能确定为单调增或单调减，而不可能是风险随时间先减后增的U型风险曲线。因此，既能符合汽车风险随时间变化的U型规律，又能避免泊松回归模型上述缺点的新型索赔频率定价模型是未来一个重点研究方向。

纵观汽车保险精算定价模型的研究进程，从先验定价到后验定

价，从时齐模型到时变假设的泊松回归模型，从贝叶斯估计到时间序列方法，精算学者始终在追求定价的公平性和正确性，至今没有到达终点。毫无疑问，新型的车险精算定价模型将继续是非寿险精算领域的研究热点。

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