题型四几何图形的折叠与动点问题

题型四几何图形的折叠与动点问题

试题演练

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片

折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边

AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．

3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、

CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF ＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．

4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作

PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．

5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是

AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．

6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，

当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________．

7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，

若BG＝10，则折痕FG的长为________．

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是

斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________．

9. (’15商丘模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动

点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．

10. (’15郑州模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，点F是AB边

上一点(不与A、B重合)，连接EF，把∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接CG.

则线段CG的取值范围是________．

11. (’15江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠

AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．

12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折

叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为_____

【答案】

1. 1≤x≤3 【解析】通过观察图形，可得当点E与点A重合时AP最小，则AP＝EP＝AD ＝1；当点P与点B重合时，AP最大，则AP＝3，∴1＜AP≤3，则x的取值范是1≤x≤3.

2. 2 【解析】由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小；∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4.由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF长的最小值是2.

3. 4≤EF≤5 【解析】∵点M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，∴BM＝CM＝2，∵∠EMF＝90°，∴∠BME＋∠CMF＝90°，∵∠CFM＋∠CMF＝90°，∴∠BME＝∠CFM，又

∵∠B＝∠C＝90°，∴△BME∽△CFM，∴BM

CF＝

BE

CM，∴

BE·CF＝BM·CM＝2×2＝4，∵CF

最大时为4，此时BE＝1，BE最大时为4，此时CF＝1，∴0≤|CF－BE|≤3，过点E作EG⊥CD 于点G，则EG＝BC＝4，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2＝16＋(CF－BE)2，∴16≤EF2≤16＋9，∴4≤EF≤5.

4. 12或32

【解析】根据题意可得△FDC 为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC ＝90°时，DF ⊥AB ，在△AFD 中，∠A ＝60°，AD ＝2，∴AF ＝1，AP ＝12

；(2)如解图②，当∠DCF ＝90°时，CF ⊥AB ，在△CFB 中，∠CBF ＝60°，BC ＝2，∴BF ＝1，AF ＝3，AP ＝32；(3)当∠DFC ＝90°，不存在．综上可知AP 的值为12或32

.

5. 2 【解析】如解图，作D 关于AE 的对称点D ′，则D ′落在对角线AC 上，过点D ′作 D ′P ′⊥AD 于点P ′，∴D ′P ′即为DQ ＋PQ 的最小值，∵DD ′⊥AE ，∴∠AFD ＝∠AFD ′，∵AF ＝AF ，∠DAF ＝∠D ′AF ，∴△DAF ≌△D ′AF ，∴AD ＝AD ′＝2，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD ′＝45°，∴AP ′＝P ′D ′，∴在Rt △AP ′D ′中，P ′D ′2＋AP ′2＝AD ′2

， AD ′2＝4，∴P ′D ′＝2，即DQ ＋PQ 的最小值为 2.

6. 32或94

【解析】分两种情况进行讨论，设DE ＝x .ⅰ)D ′落在AC 上，如解图1，在Rt △ED ′C 中，EC ＝4－x ，D ′C ＝AC －AD ′＝5－3＝2，ED ′＝x ，根据ED ′2＋D ′C 2＝EC 2可得x 2＋22＝(4

－x )2，解得x ＝32

；ⅱ)D ′落 在BD 上，如解图2，设DD ′交AE 于F 根据轴对称性质可知AE

垂直平分DD′.在Rt△DFA中，sin∠ADF＝

AF

AD，∵sin∠

ADF＝sin∠ADB＝

AB

BD

＝

4

5

，∴

AF

AD＝

4

5

，又∵AD＝3，∴AF＝

12

5

，∴DF＝

9

5

，又∵∠DEF＝∠ADF，∴sin∠DEF＝sin∠ADF＝

4

5

，∴

DF

DE ＝

4

5

，即

9

5

DE＝

4

5

，∴DE＝

9

5

×

5

4

＝

9

4

.综上DE的长为

3

2

或

9

4

.

7. 55或4 5 【解析】分两种情况讨论：(1)如解图①，过点G作GH⊥AD于点H，则四边形ABGH为矩形，∴GH＝AB＝8，由图形折叠可知△BFG≌△EFG，∴EG＝BG＝10，∠B ＝∠FEG＝90°，∴EH＝6，AE＝4，∠AEF＋∠HEG＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠HEG ＝∠AFE，又∵∠A＝∠EHG＝90°，∴△EAF∽△GHE，∴

EF

EG＝

AE

GH，∴

EF＝5，∴FG＝102＋52＝55；(2)如解图②，由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，∴BG＝EG，AB＝EH，∠BGF＝∠EGF，∵EF∥BG，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，∴BG＝EF，∴四边形BGEF为平行四边形，∵EF＝EG，∴平行四边形BGEF为菱形，连接BE，∴BE、FG 互相垂直平分．在Rt△EFH中，EF＝BG＝10，EH＝AB＝8，由勾股定理可得FH＝AF＝6，∴AE＝AF＋EF＝16，∴BE＝AE2＋AB2＝85，∴BO＝45，∴OG＝BG2－BO2＝25，∵四边形BGEF为菱形，∴FG＝2OG＝4 5.

8.

122

7

或

35

2

【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝102－82＝6，则AE＝6，EC＝AC－AE＝10－6＝4；∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，∴△ABD

≌△AED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝90°，设BD ＝x ，则DE ＝x ，CD ＝8－x ，∴x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，∴CD ＝5，DE ＝3.(1)如解图①，若沿∠DEC 的角平分线EG 折叠，使点C 落在ED 延长线上F 点处，过G 分别作GM ⊥EC ，GN ⊥EF ，垂足分别为M 、N .∴GN ＝GM ，

∵S △DEC ＝12×3×4＝6，S △DEG ＝12×3·GN ＝32GN ，S △CEG ＝12×4·GM ＝2GM ，∴2GM ＋32

GN ＝6，即2GN ＋32GN ＝6，解得：GN ＝127，故EG ＝1227

；(2)如解图②，若沿∠EDC 的角平分线DG 折叠，使点C 落在DE 延长线上F 点处．∴CG ＝FG ，DC ＝DF ＝5，∵DE ＝3，∴EF ＝2，设

CG ＝y ，则FG ＝y ，EG ＝4－y ，∴(4－y )2＋22＝y 2，解得：y ＝52，∴EG ＝4－52＝32

，∵DE ＝3，∴DG ＝（32）2＋32＝94＋9＝352

.

9. 1或54或710

【解析】本题考查三角形的折叠，等腰三角形的性质求线段的长．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2

＝5.由折叠性质得AE ＝EF ，在△BCF 中，当BF ＝BC 时，有BF ＝AB －AF ＝AB －2AE ＝3，则AE ＝1; 当BF ＝CF 时，过BC 中点作AC

的平行线，交AB 于点F ，此时F 点满足题意，且AF ＝BF ＝52，则AE ＝54

； 当CF ＝CB 时，如解图，过C 作CN ⊥AB 于点N .由等面积法得CN ＝AC ·BC AB ＝125.由△BCN ∽△BAC ，得BN BC

＝BC AB ，则BN ＝95.由等腰三角形三线合一性质得FN ＝BN ＝95，则AE ＝12AF ＝12(AB －BF )＝12×(5－185)＝710

. 10. 2537＜CG ＜213 【解析】如解图所示，在Rt △ADC 中，AD ＝6，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝213，把∠A 沿EB 折叠，

此时CG 最小，使点A 落在点G 处，连接AG ，DG ，∴∠EAG ＝

∠EGA ，AE ＝EG ，∵AE ＝DE ，∴EG ＝ED ，∴∠ADG ＝∠EGD ，∴∠AGD ＝∠AGE ＋∠EGD ＝∠DAG ＋∠ADG ＝90°，∵AE ＝3，AB ＝4，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝5，∵12

AG ·BE ＝AE ·AB ，∴AG ＝24

5，在Rt △ADG 中，DG ＝AD 2－AG 2＝62－（245）2＝185

，过G 点作MN ⊥AD ，∴∠AMG ＝∠AGD ＝90°，∵∠MAG ＝∠GAD ，∴△AMG ∽△AGD ，∴AM AG ＝MG DG ＝AG AD ，即：AM 245＝MG 185＝2456

，∴AM ＝9625，MG ＝7225，∵BN ＝AM ＝9625，MN ＝CD ＝4，∴CN ＝6－9625＝5425，GN ＝4－7225＝2825，在Rt △CNG 中，CG ＝CN 2＋GN 2＝25

37.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2

＝213，∴线段CG 的取值范围是25

37＜CG ＜213. 11. 2或23或27 【解析】由于点P 在射线CO 上运动，∴当△PAB 为直角三角形时，有三种情况：(1)当∠APB ＝90°时，①如解图①，当点P 在线段CO 上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝2，∴PO ＝AO ＝2，∵∠AOC ＝60°，∴△APO 是等边三角形，∴AP ＝AO ＝2；②如解图②所示，当点P 在CO 的延长线上时，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∠AOC ＝60°，∴OP ＝OA ＝OB ＝2，∵∠POB ＝∠AOC ＝60°，∴△POB 是等边三角形，即PB ＝OB ＝2，∴AP ＝AB 2－PB 2＝42－22

＝23；(2)当∠ABP ＝90°时，如解图③所示，∵AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，∴AO ＝BO ＝2，又∵∠BOP ＝∠AOC ＝60°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝23，在Rt △APB 中，AP ＝AB 2＋PB 2＝42＋（23）2＝27；∴AP 的长度为2或23或27.

12. 92或4877

【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8，AB ＝DC ＝12，AD ∥BC ，∠C ＝90°.∵把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，∴DC ＝DF ＝12.∵AD ≠DF ，∴△AFD 为等腰三角形只有两种情况： (1)当AF ＝FD ＝12时，如解图①，过点F 作

FM ⊥AD 于点M ，∴AM ＝MD ＝4，在Rt △MDF 中，由勾股定理，得MF ＝122－42＝82，

∵AD ∥BC ，∴∠MDF ＝∠DPC .∵∠DMF ＝∠C ＝90°，∴△MDF ∽△CPD ，∴MF CD ＝FD PD

，即：8212＝12PD

，解得PD ＝92； (2)当AD ＝AF ＝8时，如解图②，DF 的延长线交CB 的延长线于点P ，过点A 作AN ⊥DF 于点N, ∴FN ＝ND ＝6，在Rt △AND 中，由勾股定理，得AN ＝

82－62＝27，∵AD ∥BC ，∴∠ADN ＝∠DPC ，∵∠AND ＝∠C

＝90°， ∴△AND ∽△DCP ，∴AN CD ＝AD PD ，即：2712＝8

PD ，解得

PD ＝487

7.综上所述，DP 的长为92或487

7