数学抽象思想方法论文

摘要：数学抽象的基本特征，尤其是形式化、符号化的特征，使得作为数学研究对象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步形式化、符号化。通过符号形式进行推理和运算，给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。

1.数学抽象方法的概念

19世纪末到二十世纪初，德国数学家康托建立了集合论，借助集合论，人们可以简洁地概括出数学的研究内容是结构与模式。事实上，现实世界千变万化，千差万别。数学的目标是要发现各种事物的本质，寻找不同事物的联系，找出不同事物的共性，探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。数学要透过现象看本质，通过个性看共性，在混沌中寻找秩序，在变化中寻找恒定。比如，一个苹果加两个苹果是三个苹果，一个梨加两个梨是三个梨，一棵树加两棵树是三棵树，虽然物质对象发生了变化，但数量关系却保持不变，其本质都是1+2=3;a+b2=a2+2ab+b2，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，虽然两个公式看起来不同，但这两个公式都蕴藏着同样的规律——二项式定理;再比如下面两个例子：

例1著名的哥尼斯堡“七桥问题”：

18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中间有一个小岛，河上有七座桥，岛上有一座古老的大学，一座教堂，还有哲学家康德的

抽象思想方法在小学数学教学中的渗透

最新资料推荐抽象思想方法在小学数学教学中的渗透抽象思想方法在小学数学教学中的渗透通常，在小学数学课堂上，教师对知识点可以游刃有余地进行讲解，学生也可以就问题给出正确答案，可学生对问题的来龙去脉只是一知半解，抓不住问题的本质。所以，我们必须反思，在数学教学中，我们应该教给学生什么？《义务教育数学课程标准（2019 版）》（以下简称《课标》）中明确指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。那么，在小学数学教学中，有意识地渗透抽象思想，对小学生深度学习数学可以起到事半功倍的效果。一、小学数学学习的现状反思随着知识经济的迅速发展，新旧知识的更新也是日新月异，对人才培养的要求不可避免地变高。基础教育中数学是重要的学科之一，新课程改革对数学学习提出了新的要求。在课程内容方面，除了数学结果以及数学结果的形成过程以外，还包含众多的数学思想，从某种程度上说，课程内容还要?N 近学生的生活实际，这使得学习目标更加明确，学习的内容较以往更加广泛多元。 1 / 7

在学习活动方面，学习方式有很多，例如自主探索、合作交流等。在学习过程中，不仅要求学生能理解和掌握数学的基础知识与基本技能，还要求能体会和运用数学的基本思想和方法，提升能力，获得基本活动经验。但是，我们不得不面对现实。首先，尽管新课程改革为教学提出了更利于学生发展的新要求，可教学期望与教学现实之间仍旧存在着一条没有被跨越的鸿沟。对于小学数学教师而言，专业成长之路任重而道远，仅浮于数学知识表面的教学显然不能被赞许。其次，对小学生而言普遍存在学习力不足的现象，学生一直处于要我学的状态中，没能够真正地走进数学。此外，在功利社会背景下，家长们一边谩骂应试教育，一边以分数的高低来评判孩子学习能力的高低，以不让孩子输在起跑线上为由，强迫孩子高负荷学习。数学素养是学生全面发展的重要组成部分，尽管小学生学的数学很简单，但在其中依旧存在很多的数学思想，况且数学思想是数学的灵魂。二、数学的抽象思想方法什么是数学思想方法？数学思想方法是指人们对数学知识在内容上的本质认识，对所使用的方法和规律的理性认识。数学的基本思想则是在众多的思想方法中具有本质特征和基本重要性特征的思想。

小学数学中的抽象与推理

小学数学中的抽象与推理一、数学的基本思想 1、课程标准：由双基到四基（实现教育理念的转变）过去的教育理念：以知识为本教学大纲关心问题是：应当教哪些内容；应当教到什么程度考核内容是：规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求教学目标是：基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）教学形式是：课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）现代的教育理念：以人为本、育人为本（刚要）课程标准以学生的发展为本人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生感悟数学的基本思想积累基本活动经验：会想问题、会做事情

课程目标：基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+发现问题、提出问题 2、什么是数学的基本思想数学是研究数量关系和空间形式的科学研究对象：数量、图形研究内容：数量关系、图形关系数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想学习过数学与没有学习数学的思维差异抽象、推理、模型数学教学的责任：会抽象、会推理通过抽象：现实——数学把研究对象、以及对象之间的关系形成概念从现实世界到数学内部，数学具有一般性通过推理：数学——数学从假设前提出发，通过推理得到数学的结果数学内容部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学——现实解决现实世界中的与数量和图形有关的问题从数学内部到先生生活中的例子二、小学数学中的抽象数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）教学要点：感悟什么？如何感悟？

小学数学教学中的抽象性

小学数学教学中的抽象性抽象性可以归纳为以下三点: （1）不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象的符号。（2）数学的抽象是逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。（3）高度的抽象必然有高度的概括。一抽象的意义与特征 1、抽象的意义抽象是从复杂的事物中抽取一些事物的本质属性而舍弃非本质属性的思维方法。数学中的概念、性质、法则、符号都是抽象的结果。数学的抽象是具有其他学科所没有的特定的抽象特征，利用它能充分反应事物的本质属性。 2、抽象的特点（1）概括性。概括是在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。在数学的学习中，我们会经常遇到要将某一属性推广到同类对象中去的思维过程。例如，从长方形面积公式的推导推广到平行四边形面积的推导，再扩展到三角形、梯形、圆的面积公式的推导中去。

数学可以说是具有高度概括性的学科，数学尽管是抽象的，但它的抽象与概括是相互联系，密不可分的。（2）层次性。数学是揭示事物的空间形式和数量关系的科学，这样的特点决定了数学的抽象是不同于其它学科的。在对数学问题的抽象中我们会遇到很多的数量关系和空间形式，它们无论从内容、形式、还是表达方式，都不是完全一致的过程，有些过程相对复杂，有些相对简单，有些抽象很简洁，有些却很复杂，甚至会出现在一而再，再而三抽象的特性。有些具体一些，有些则更一般、更抽象一些。从幼儿开始接触到具体的数，感受数的基本特点，再到低年级对数的认识、理解数的概念，再到高年级数的分类、自然数、奇数、偶数、素数、合数，逐渐抽象，概念的形成过程中层次性、阶段性非常明显。针对不同年龄阶段的心理特点，抽象思维需要解决的问题、所要达到的能力也有所不同。二抽象与具体的关系 1、具体以抽象为过程作为与生活紧密联系的具体的知识是人们在社会存在中应当掌握的必备的知识。而现实世界是丰富多彩、千变万化的。人们不可能在短时间内掌握大量的科学知识，只能通过把现实的生活知识抽象转化为可在短时间内学会的文化、技能知识，才能很快地掌握，抽象在这一转化中起到桥梁的

浅谈小学数学思想方法在教学的运用-论文

浅谈小学数学思想方法在教学的运用摘要：数学思想方法是数学的灵魂，是数学教育成功的关键。教师不能仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，而应该提炼数学思想和方法，向学生渗透一些基本的数学思想方法，并遵循数学思想渗透的自觉性、可行性和反復性原则，提高学生的元认知水平，培养学生分析问题和解决问题的能力。关键词：数学教学数学思想方法渗透一、什么是数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识。是指人们解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段。了解了二者的关系，懂得数学思想是宏观的，而数学方法则是微观的；数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段；前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学阶段的数学思想和方法在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思想方法。教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。二、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。因此，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。三、如何在小学数学教学中渗透数学思想方法在小学数学教学中渗透数学思想方法的途径 1、备课：研读教材、明确目标、设计预案，挖掘数学思想方法 “凡事预则立，不预则废”。如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。受篇幅的限制，教材内容较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程，并没有在教材里明显地体现。因此教师在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。一、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++

数学中的抽象美

数学中的抽象美在绘画与教学中，美有客观标准。画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、…… —哈尔莫斯数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。 —R．D．Carmicheal 自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。 —C．N．杨 “数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、

论文：数学思想方法

数学思想方法河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导”，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法．而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下：类型一：化归思想方法:重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想

【例1】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边都大于2，则第n 个多边形中，所有扇形面积之和是______．(结果保留π) 分析：本题考察了扇形面积和n 边形内角和公式，解题关键是：是求第n 个图形中(n ＋2)个半径为1的扇形的面积之和解析：[]ππ2n 1802-2)(n 3601S 2 =?+?=，答案；π2 n

类型二：数形结合: 重难点突破：根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决；【例2】(09重庆)如图，在矩形ABCD 中，A B ＝2，BC ＝1,动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是 ( ) 分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分．解析：当点P 在BC 上时，即0＜x ≤1时 x x 2PB AB S 2121PAB =??=?=? 当点P 在CD 上时，即1＜x ≤3时

数学七大思想方法

数学七大思想方法 1 函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 2 数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 3 分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。（2）从具体出发，选取适当的分类标准。（3）划分只是手段，分类研究才是目的。（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 4 化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 5 特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 6 有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 7 或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

数学抽象及其在教学中的应用

数学抽象及其在教学中的应用抽象性是数学的基本特点之一，所有的数学知识能够说都是经过抽象得到的，小学数学中的知识和方法亦是如此。数学抽象也是一种基本的数学思想。学生学习数学，不但是要学习那些由前人抽象概括形成的数学知识，同时还要学习形成知识的抽象概括的方法。了解数学抽象的特殊性以及如何在小学数学教学中有效应用数学抽象方法就显得十分必要。本文将在分析数学抽象的内涵、分类、教育价值的基础上，探讨数学抽象在小学数学教学中的应用。一、数学抽象的内涵和分类 1.数学抽象的内涵。 “抽象”一词源于拉丁语“abstracio”，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的水准；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。后者反映出抽象是一种思维活动。抽象性是数学的基本特点之一，抽象也是数学活动最基本的思维方法。作为方法的数学抽象抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。 2．数学抽象的分类。数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际应用中的数学模型方法，小到一个概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也能够看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。了解数学抽象的分类有助于我们在教学中抓住抽象的重点和关键。数学抽象根据抽象对象的性质能够分为“表征型抽象”“原理型抽象”和“建构型抽象”。对事物所表现出来的特征的抽象，称为“表征型抽象”。例如三角形、正方形、圆、立方体、轴对称等概念都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果性、规律性、关系性的抽象，称为“原理型抽象”。例如乘法分配律、三角形内角和为180o等基本数学关系都是“原理型抽象””的结果。而建立在这些抽象基础上的数学建构性活动称为“建构型抽象”。如定义质数和合数的概念的活动就是“建构型抽象”。数学抽象还能够从抽象过程的特征上分为“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”和“强抽象”。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的思维过程，理想化抽象得出的数学概念包含了对于真实事物或现象的简化和完善化，因而这些概念与现实原型本身未必完全相符，如线段、射线、直线等概念都是理想化抽象的结果；又如，在解决实际问题的时候，往往用线段图来表示题目中的数量关系，而线段图也是理想化抽象的结果。理想化抽象也能够通过引进理想化元素来发现数学理论，如虚数概念的建立。等置抽象是指依据某种等价关系抽取一类对象共同特征的抽象方法。如从三个苹果、三棵树、三枚棋子……这些在数量上具有共同特征的事物中抽取出“自然数3”这个概念，就是等置抽象。弱抽象也能够叫做概念“扩张式抽象”，即

数学抽象的内涵

数学抽象的内涵、特征及对中小学数学教育的启示。一、内涵：数学抽象是指从研究的对象或问题中，把大量的关于其空间形式和数量关系的直观背景材料，通过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作、提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论。即就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。二、特征：1.数学抽象有着明显的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系；2.数学抽象适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；3.数学抽象有着丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。三、对中小学数学教育的启示数学教育的是如何处理好“数学”和“教育”的关系。从“数学”方面来看，因为数学的高度抽象性是数学的最本质的特点，因此数学教学是无法回避抽象性的。并且，以抽象为突出特征的现代数学定位为主干课程是历史的必然趋势，学习数学最重要的就是学习抽象、学会抽象。而从“教育”方面来看，就是通过恰当的教学组织，使学生在自己亲身体验的具体现实中去寻找与数学的联系，学会抽象。从某种程度来说，中学生学习数学的过程就是逐步领会、掌握数学抽象的过程，它要经历一个由具体到抽象，又从抽象回到具体，由直观现实化抽象到概括形式化的发展过程。因此，具体-抽象结合为一体，是数学教学中应遵循的基本规律。《数学抽象在数学教学中的应用》潘建军 (一)抽象概念形象化、具体化在理解、运用抽象概念时，基于具体问题引入概念，然后再通过典型的例子对概念做进一步的理解，将以往己形成的认识、记忆所带来的干扰予以排除，然后对抽象概念的内涵、外延做进一步、全新的、充分的理解，抽取概念的实质，分析不同例证。此外，老师还要结合数学理论的抽象层次、结构，引导学生进一步构造抽象思维，形成抽象思维系统，最终实现抽象思维与具象层次的转化。例如在学习苏教版必修四《弧度制》时， (一)抽象概括问题本质从某种程度而言，抽象概括数学问题的木质就是认识数学、解决数学问题的、普通思维方式的理性概括，与其它的数学知识、数学方法相比，抽象概括的层次相对更高，而新课标也要求学生具备由表及里、抽象概括数学问题本质的基本能力。下面通过实例阐述其具体应用:如果实数总之，数学教学中数学抽象性非但不能减弱，反而应当增加，采取可行的教学方法和手段，使学生在学习中真正感受到数学抽象性的巨大作用。

数学抽象方法

第6章数学抽象方法一、数学抽象方法数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。二、数学抽象的特点抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。 1．数学抽象的特殊容。数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他一些具体容。 2．数学抽象的特殊高度。和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。 3．数学抽象的特殊方法。数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。

三、数学抽象的作用 1．有利于使认识深入到事物的本质什么是椭圆? ——椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状； ——椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者椭圆是当240b ac -<时，满足方程220ax bxy cy dx ey f +++++=的点(x ，y)的集合。 2．有利于认识一般下面是两类不同的方程： 2212350,704 x x x x ++=+ += 20ax bx c ++= 3．有利于认识无限什么是自然数? 1，2，3， 4，5，6，等等。意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集：自然数是指满足以下性质的集合N 中的元素： (1)1是N 的一个元，它不是N 中任何元的后继者，若a 的后继者用a +表示，则对于N 中任何a ，a +≠1； (2)对于N 中任意元a ，存在而且仅存在一个后继者a +；

数学分类与抽象数学

纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。它大体上分为三大类，即研究空间形式的几何类，研究离散系统的代数类，研究连续现象的分析类研究空间形式的几何类属于第一类的如微分几何、拓扑学。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。研究离散系统的代数类属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。研究连续现象的分析类属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。抽象代数就是近世代数，法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。简介抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。 “抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。定义抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以

求抽象函数表达式常见五种方法

求抽象函数表达式常见五种方法 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ()211 x f x x =++,求()f x . 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知 ()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 例5．一已知 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321,1,22 22a c a a b c b +=??=?===??=?∴ 21 3 ()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--

数学核心素养之数学抽象理解

数学核心素养之数学抽象理解高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。…… 反思1：只舍去“物理属性”，不舍去“社会属性”“形式属性”？应该是“具体属性”. 反思2：“表征”应改为“表示”，如此更通俗易懂，也更准确。表征是教育心理学的术语，是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。反思3：数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容，由两者抽象出数学概念及关系就是所说的垂直数学化，即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构，是由真实世界到数学世界的水平数学化之一，但却少了另一种更基础的水平数学化：由真实世界抽象出数量、图形、概念等数学模式。例如：实际问题→茎叶图；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。反思4：抽象是数学的特点之一，但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。浙江大学120周年校庆通告你读懂了多少？“庠序”“缉熙”“黾勉”不抽象吗？毕加索的画不抽象吗？概括性才是数学更本质的特点。抽象是过程手段，是概括的基础，而概括才是最终的目的.理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性，而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”！反思5：“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段，把它作为一种数学思想恰当吗？请问国际上有哪一本专著、论文把数学抽象作为数学思想之一？从定义所阐述的内容看，“数学抽象”实际上就是数学家、数学教育家早已提出的“数学化”的部分内容。数学化是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程这里的“现实性”是指真实世界和数学世界的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界. 公理化是指从少数不加定义的原始概念和不加证明的公理出发，运用逻辑推理规则把一门学科建立成为演绎系统的过程. 形式化是指“用日益有效的符号对语言的整理、修正和转化的过程.”而关于图式化，在介绍完公理化、形式化后，是这样形容的：“人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式.最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候.”.因此，可以认为，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构. 建模是数学化的一个方面，在的术语观中，模型是不可缺少的一种中介，建模就是用模型把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理. 数学化被分成两种：一是水平数学化，即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程，是从“生活世界”到“数学世界”的转化过程.二是垂直数学化:即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程，是从低层数学到高层数学的过程. 国内外同行早已认同了的观点：学数学就是学习数学化，教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化，以及学习在数学内部由低级向

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。 []11log ,13 评析：已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

数学思想方法模拟考试B卷

一、填空题（每题3分，共30分） 1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。 3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。 4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。 5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。 6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。 7．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。 9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。 10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。二、判断题（每题2分，共10分。在括号里填上是或否） 1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。（否） 2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。（是） 3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（否） 4．分类可使知识条理化、系统化。（是） 5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。（否）三、简答题（每题6分，共30分） 1．我国数学教育存在哪些问题？答：①数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。 2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？答：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。 3．简述数学抽象的特征。

如何培养数学抽象思维

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/8a9296351.html, 如何培养数学抽象思维作者：赵旭阳来源：《文理导航》2017年第02期【摘要】高中生必须注重提升自身的抽象思维能力，增强对数学概念以及法则等相关知识的掌握能力，锻炼和提升解题水平，有效克服数学学习中存在的困难和障碍，促进数学综合素质的发展。【关键词】高中生；数学；抽象思維高中数学中涉及大量抽象知识，最为显著的特征是语言精确和内容抽象，因此，我们高中生在学习数学知识的过程中容易出现语言障碍或者思维空白等问题，从而影响到数学学习和解题的质量。对此我们必须有意识地培养自身的抽象思维能力，确保高效的学习高中数学。思维的敏捷性、灵活性、批判性以及深刻性是对数学抽象思维的侧面概述，通过这几个方面的相互促进能够进一步强化自身数学抽象思维能力培养。 1.提高思维速度，培养抽象思维敏捷性高中数学知识十分抽象复杂，我们高中生要高效地完成数学知识的学习以及提高数学解题能力，必须提高思维的速度，在学习和解答问题时除了要有效运用抽象思维以外，还要重视提高抽象思维的敏捷性，当思维敏捷度大大提升，高中生如果在数学知识学习或者解题中出现问题，就能够运用敏捷的抽象思维，来适应迫切的学习情况，就能够运用敏捷的抽象思维，来适应迫切的学习情况，并积极全面地对问题进行探究和综合考虑，从而保证判断和决定的正确性和科学性，进一步提高数学学习效率和质量。抽象思维敏捷性的培养必须通过大量的数学练习来实现，因此，高中生必须加强对自身的日常学习训练，并在练习当中对抽象思维进行完善和发展，通过强化练习和熟能生巧的形式来进一步锻炼思维的敏捷度，并从中吸取经验教训，从而提高抽象思维能力，满足高中抽象数学知识学习的需求。例如，高中生可以在学习新课前主动选择数学练习题，并对自己的解题时间进行规定，以此来巩固数学知识，锻炼和提高解题速度；通过对日常解题技巧的总结，可以对常用数字进行记忆如二十以内自然数的平方数和立方数、常用角的三角函数等。 2.加强变式学习，培养抽象思维灵活性高中数学知识的学习需要灵活地运用抽象思维，这就需要培养抽象思维的灵活度，改变思维功能僵化的问题。高中生在以往的数学思维训练中更多地注重对多种题型的归纳和总结，并总结不同题型的固定解题和思维方法，在解题时通过套用固定思维模式的方法进行解题，而在对自身思维训练中只是在固有模式下重复性的练习，使得自身独立探究和思索问题的机会大大减少，最终导致数学思维缺乏，且抽象思维的灵活性和应变能力得不到有效提升。在数学学习