专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲--函数、基本初等函数的图象与性质

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

【最新考纲透析】

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。[来源:学§科§网Z §X §X §K]

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数x

y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0,1a a >≠且）。

4．幂函数

（1）了解幂函数的概念

（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图象了解它们的变化情况。 【核心要点突破】

要点考向一：基本初等函数问题

考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。

考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。

2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln （x-1）(x>1)的反函数是

（A ） y=1x e

+-1(x>0) (B) ）y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)

【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

【思路点拨】运用求反函数的方法解。

【规范解答】 选D ，y=1+ln （x-1），ln （x-1）=y-1,x-1=e 1-y ,所以反函数为y=1x e -+1 (x

∈R)

【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.

(2)把x 、y 互换，

（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。

例2：（2010·天津高考文科·Ｔ6）设554a log 4b log c log ===25，（3），，则（ ）

(A)a

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。

【思路点拨】根据对数的性质及对数函数5log y x =的图像，可得550log 3log 41<<<， 4log 51c =>。

【规范解答】选D ，由对数函数5log y x =的图像，可得550log 3log 41<<<，

∴255(log 3)log 4b =<，又4log 51,c b a c =>∴<<。

【方法技巧】比较对数函数值的大小问题，要特别注意分清底数是否相同，如果底数相同，

直接利用函数的单调性即可比较大小；如果底数不同，不仅要利用函数的单调性，还要

借助中间量比较大小。

要点考向二：函数与映射概念的应用问题

考情聚焦：1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。

2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题，属低、中档题。

考向链接：1.求函数定义域的类型和相应方法。

2.求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，面对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。

3.求函数的解析式，常见命题规律是：先给出一定的条件确定函数的解析式，再研究函数的有关性质；解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。

4.映射个数的计算一般要分类计数。

例3：（2010·天津高考理科·Ｔ8）若函数f(x)=212

log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是 ( )

（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）

（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）

【命题立意】考查对数函数的图像和性质。

【思路点拨】对a 进行讨论，通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a 的范围。

【规范解答】选C ，当a>0，即-a<0时，由f(a)>f(-a)知212

log log a a >，在同一个坐标系

中画出2log y x =和12

log y x =函数的图像，由图像可得a>1；当a<0,即-a>0时，同理

可得-1

要点考向三：函数图象问题[来源:学科网ZXXK]

考情聚焦：1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的一个热点。

2.常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。

考向链接：1.基本初等函数的图象和性质，函数图象的画法以及图象的三种变换。

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。

3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。

例4：（2010·山东高考理科·Ｔ11）函数2

2x y x =-的图象大致是（ ）

【命题立意】本题考查函数的图象，函数的基础知识以及数形结合的思维能力, 考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。

【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析.

【规范解答】选A ，因为当x ＝2或4时，220x x -=，所以排除B 、C ；当x ＝-2时，

2x -2x ＝14<04

-，故排除D ，所以选A. 要点考向四：函数性质问题

考情聚焦：该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题，且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查：

1.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式。

2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。

3.最值（值域）问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。 例5：（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）

已知函数2

()(1)ln 1f x a x ax =+++.

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 解：(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x

+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调增加；

当a ≤－1时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调减少；

当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x 当x ∈)时, ()f x '＞0；

x ∈+∞)时，()f x '＜0, 故f (x )在（+∞）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2,故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于

12()()f x f x -≥4x 1－4x 2,

即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.

令g (x )=f (x )+4x ,则

1()2a g x ax x

+'=++4 ＝2241ax x a x

+++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2

(21)x x

--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，

即 f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-.

【高考真题探究】

1. （2010·上海高考理科·Ｔ8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是

【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．

【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线y=x 的对称点．

【规范解答】)2,0(-．因为函数)3(log )(+=x x f a 的图像过定点)0,2(-，由反函数的性质可知，反函数的图像过定点)2,0(-．

2. （2010·全国Ⅰ理科·Ｔ8）设2log 3=a ，2ln =b ，215

-=c ,则（ ）

A a

【思路点拨】利用换底公式，将2log 3=a ，2ln =b 变成以2为底的对数.根据对数函数 和指数函数的图像进行分析.

【规范解答】选C.

a=3log 2=

21log 3, b=In2=21log e ,而22log 3log 1e >>,所以a

25-

222log 4log 3>=>,所以a c <，综上c

x x f x +=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线y=x 对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

【命题立意】本小题考查函数的对称性，考查奇函数、偶函数的概念，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想方法.

【思路点拨】根据选项，可以判断函数()f x 是否为奇函数、偶函数，即判断()f x -与()f x 的关系；如果不是，再判断选项B ，C 是否正确.

【规范解答】选D

【解法1】()412x x f x --+-=(41)424x x x x --+?=?21422

x

x x -+=? 41()2

x x f x +==，是偶函数，图象关于y 轴对称； 【解法2】()241(2)122

x x x x f x ++== 22x x -=+，有()22()x x

f x f x --=+=，所以函数()412x x f x +=的图象关于y 轴对称.

【方法技巧】（1）指数运算24(2)x x =在变形整理中起其重要作用；

（2）分式加法的逆向运算是本题的变形技巧.

4. （2010·北京高考文科·Ｔ6）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，

④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④

【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。

【思路点拨】画出各函数的图象，再判断在（0，1）上的单调性。

【规范解答】选B 。各函数在（0，1）上的单调性：①增函数；②减函数；③减函数；④增函数。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

5. 10.（2010·浙江高考理科·Ｔ10）

设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ?

?==++=-=-????

，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ??==-=-????

，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．

经过Q 中两个点的函数的个数是（ ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10

【命题立意】本题考查对数型函数的图象，集合元素的表示，考查学生对数运算能力和数形结合的思想。

【思路点拨】把Q 中的点表示在坐标系中，逐个分析P 中的每一个函数的图像，找出恰过

两点的函数。

【规范解答】选B 。

Q 中有12个点，表示在坐标系中；P 中共有12个函数，逐个分析P 中的每一个函数的图像，

可知恰过两个点的函数有2()log f x x =，2()log 1f x x =+21

()log ()2

f x x =+， 21()lo

g ()12

f x x =++，2()lo

g (1)1f x x =+-，2()log (1)1f x x =++共6个。 6. （2010·江苏高考·Ｔ11）已知函数21,0()1,

0x x f x x ?+≥=?

2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是_____。