考研数学高等数学强化习题常数项级数

考研数学高等数学强化习

题常数项级数

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模块十三 常数项级数

Ⅰ经典习题

一．具体级数收敛性的判别

1、判断下列级数的收敛性

（1）21ln n n

n

∞

=∑ （2

）)

11n ∞

=∑

（3

）1

n ∞=∑

（4）221

1

ln 1n n n ∞

=+-∑

（5）()()()

2111...1n

n

n a a a a ∞

=+++∑ （6）()211212n n n ∞

+=??

+-??∑ （7）21

n n n e ∞-=∑ （8）()1

1

ln 1n n x dx ∞

=+∑?

2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）

（1）()22ln 1n

n n

n ∞

=-∑ （2）

1

1n

n ∞

=-（3）()

1

1111...2n

n n

∞

=-+++∑

（4）()

21

11n

n

n

n a a ∞

=-+∑

，（1a >）

3、下列级数中不一定收敛的是（ ）

（A ）12!n n n n n

∞

=∑ （B ）()1

1

11n n n n n -∞+=+∑ （C ）()

2

1

1

,0,0n a b an

bn c α

∞

=>>++∑

（D ）1

,01n n np p ∞

=<<∑

4、下列级数条件收敛的是（ ）

（A ）()211n

n k n n ∞

=+-∑ （B ）1

(2)sin 3n

n

n π∞

=-∑

（C ）(

)

1

1n

n ∞

=-∑2

1n n a ∞=∑收敛. （D ）121n

n n n ∞

=-?? ?+??∑ 5、对于常数0k >，级数121

1(1)tan()n n k

n n ∞

-=-+∑( )

(A)发散 (B)绝对收敛

(C)条件收敛 (D)收敛性与k 的取值有关 6、设a

为常数，则级数21sin()[

).n na n ∞

=-∑ （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与a 的取值有关

7、判别级数111[ln

]n n n

n ∞

=+-∑的敛散性，并证明11

12lim 1.ln n n n →∞+++

= 二．抽象级数收敛性的判别

8、1

3

1sin (1)

1n

n n kx

dx x

∞

=-+∑?

(k 为常数) （ ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性有k 有关 9、设()f x 是微分方程2(1)x y xy x e '+=+满足初始条件(0)0y =的特解，

则无穷级数1

(1)()n f n

-∑ ( )

（A ） 绝对收敛 （B ） 条件收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不定 10、设函数()f x 在区间(0,1)内可导，且导函数()f x '有界：()f x M '≤，证明

（1）级数11

1()(

)1n f f n n ∞

=??- ?+??∑绝对收敛； （2）1

lim ()n f n

→∞存在．

11、设函数()y y x =是微分方程'y x y =+当()01y =时的一个特解，试讨论级数

1111n f n n ∞

=?

???

-- ?????

?

?∑的收敛性.

12、设()f x 在[)1,+∞上单调增加，且()lim .x f x A →+∞

=

（1）证明级数()()1

1n f n f n ∞

=+-????∑收敛，并求其和；

（2）进一步设()f x 在[)1,+∞上二阶可导，且()0,f x ''<证明级数()1

n f n ∞

='∑收

敛。

13、设正项数列{}n a 单调下降，且()11n

n n a ∞

=-∑发散，证明111n n n a a ∞

+=??

- ??

?∑收敛.

三．收敛性的讨论

14、已知0(1,2,3)n u n >=，且1(1)n n n u ∞

=-∑条件收敛，若设

2123(1,2,3...)n n n u u n ν-=-=，则级数1

n n ν∞

=∑( ).

(A)条件收敛 (B)绝对收敛

(C)发散 (D)收敛或发散取决于{}n u 的具体形式 15、下列选项中正确的是( )

(A)若lim 1n

n n

a b →∞=，则1n n a ∞=∑与1n n b ∞

=∑有相同敛散性 (B)若正项级数1n n a ∞

=∑

收敛，则必有lim

1n →∞

<

(C)若正项级数1

n n a ∞

=∑发散，则必有1

n a n

>

(D)正项级数1

(0,0)n

n n

α

βαβ∞

=>>∑

的敛散性与αβ、有关

16、下列四个有关级数的论断 ①若级数1

n n u ∞

=∑发散，则lim 0

n n u →∞

≠

②若1

lim

1n n n

u u +→∞<，则1n n u ∞

=∑必收敛 ③若正项级数1

n n u ∞

=∑收敛，则级数2

1n n u ∞

=∑必收敛

④若0(1,2,3...)n u n >=且交错级数1

1

(1)n n n u ∞

-=-∑条件收敛，则级数1

n n u ∞

=∑必发

散

正确的是( )

(A)①与② (B)②与③ (C)③与④ (D)①与④ 17、若级数1n n a ∞

=∑收敛，则级数

()()()

()()111

11

1

12n

n n n n n n n n n n A a B a a a C a a D ∞

∞

==∞

∞

++==-+∑∑∑∑收敛;

收敛;

收敛;

收敛;

18、设有两个数列{}{},,n n a b 若lim 0,n n a →∞

=则

()()()()1111

2211221

1

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A b a b B b a b C b a b D b a b ∞∞

==∞

∞

==∞

∞

==∞

∞

==∑∑∑∑∑∑∑∑当收敛时，收敛;

当发散时，发散;

当收敛时，收敛;

当发散时，发散;

19、若级数2

21

1

,n

n

n n a b ∞∞==∑∑均收敛，则级数1

n n n a b ∞

=∑

()()()()A B C D 条件收敛;绝对收敛;

必发散;敛散性不能确定;

20、,n n a b 符合下列哪一个条件，可由 1

n n a ∞

=∑发散推出1

n n b ∞

=∑发散

()()()()n n n n n n

n n

A a b

B a b

C a b

D a b ≤≤≤≤

21、若级数1

n n a ∞=∑收敛，1

n n b ∞=∑发散，则级数

()()()()()21121

1

n n n n n n n n n n A a b B a C b D a b ∞

∞

==∞

∞

==+∑∑∑∑收敛;

必收敛;

必发散;

必发散;

22、设()2121

n n n a a ∞

-=+∑收敛，则

()()()()1

1

1

lim 0;n n n n n n n n n A a B a C a D a a ∞

∞

==∞

→∞

==∑∑∑收敛;

发散;

当>0时,必收敛;

23、正项级数1

n n a ∞

=∑收敛是级数2

1

n n a ∞

=∑收敛的

()()()()A B C D 充要条件;充分条件;

必要条件;

即非充分条件，又非必要条件;

24、如果级数()1

n n n a b ∞=+∑收敛，则级数1

1

,n n n n a b ∞

∞

==∑∑

()()()()A B C D 都收敛;

都发散;

敛散性不同;

同时收敛，同时发散;

25、如果级数1

1

,n n n n a b ∞∞==∑∑都发散，则

()()()()()()()11

1

1;

n n n n n n n n n n n n A a b B a b C a b D a b ∞

∞

==∞

∞==-++∑∑∑∑必发散;

发散;

必发散必发散;

26、已知级数1

n n a ∞

=∑收敛，则下列级数中必收敛的是

()

()()()()()2112121

1

1;

n

n n n n n n n n k n n A B a C a a D a a k ∞

∞

==∞∞

-+==--+∑∑∑;

;

,为正整数;

27、下列命题成立的是

()()()()1111111

1

lim lim lim ,lim ,n

n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n a A b a b a B a b b C a b a b D a b a b ∞∞

→∞==∞∞→∞==∞∞

→∞

==∞

∞

→∞

==∞∑∑∑∑∑∑∑∑若=0，则收敛时，收敛;若=，则发散时，发散;若=1，则中至少有一个发散;若=0，则中至少有一个收敛;

28、设有命题

（1）若正项级数1n n u ∞

=∑满足1

1n n u u +<，则级数1

n n u ∞

=∑必收敛； （2）若正项级数1

n n u

∞=∑收敛，则1n ；

（3）若lim 1,n

n n

a b →∞=，则级数11,n n n n a b ∞∞

==∑∑同敛散；

（4）若数列{}n a 收敛，则级数()11

n n n a a ∞

+=-∑收敛。

以上四个命题中正确的个数为（ ）

()()()()1

234

A B C D

Ⅱ参考答案

一．具体级数收敛性的判别

1. (1)收敛;(2)发散; (3)发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6收敛); (7) 收敛; (8); 收敛

2. (1)条件收敛;(2条件收敛; (3)条件收敛; (4) 绝对收敛; 3．C 4．A 5．C

【解析】： 因为数列21tan()k n n ?

?+???

?单调减少，且21lim tan()0n k n n →∞+=，故交错级

数1

21

1(1)

tan()n n k n n ∞

-=-+∑收敛.对于级数1

2211

11(1)tan()tan()n n n k k n n n n ∞∞

-==-+=+∑∑.

由于2211tan()lim lim 111n n k k

n n n n n n

→∞→∞++==，而级数11n n

∞

=∑发散，故级数

2

11tan()n k n n ∞

=+∑发散，因此对任何常数k 级数1211(1)tan()n n k n n ∞

-=-+∑条件收敛. 6．C

【解析】：因为21sin()n na n ∞

=∑

收敛，1n ∞=∑

2

1

sin()[n na n ∞

=∑发散. 7．收敛

【解析】： 因为

23111111110ln ln(1)()

23n n n n n n n n n

+<

-=-+=--+-

23

211

1232n n n =

-+<

因为2

112n n ∞

=∑收敛，所以111[ln ]n n

n n

∞

=+-∑收敛，设其和为A ．

1111

1

[ln ]1ln(1),()2n

n k k S n A n k

k n =+=-=++

+

-+→→∞∑

故1

1

1ln(1)

2

lim lim 0.ln ln n n n A n n n →∞

→∞+++-+==

即111ln(1)2lim 0,ln ln n n n n n →∞??

+++??+-=??????而ln(1)lim 1,

ln n n n →∞+=

所以 11

12lim 1.ln n n n →∞+++

=

二．抽象级数收敛性的判别

8．A

【解析】： 由于1330

n n 02

2

sin sin 111lim lim lim 1122n n

t kx kt

dx

a k x t t n t n n →∞→∞

→++===?令 又211n n ∞

=∑收敛,故1301sin 1n n kx dx x ∞=+∑?也收敛,也即1301

sin (1)1n n

n kx dx x ∞

=-+∑?绝对收敛 故正确选项是（A ） 9．B

【解析】: 2(1)x y xy x e '+=+,两边再对x 微分,得

2((1)2(1))x y y xy x x e '''++=+++

把(0)0y =代入上面两个微分方程可得到(0)1,(0)3y y '''==由(0)1y '=可知, 存在0δ>,使得在(,)δδ-上, ()0f x '>,此时()f x 单调递增

所以有11()()1f f n n >+,由莱布尼茨定理知1(1)()n f n

-∑收敛.

故有223

()()2

f x x x x ο=++

又2211311()()(())

21,11

f n n n n n n n

ο++=→→∞,1n ∑发散, 所以1()f n ∑也发散,即有1

(1)()n f n

-∑条件收敛.

10．【解析】：(1)1111

()(

)()()11

n f f f n n n n ξ'-=-++ 2111

()

,(1)(1)n f M M n n n n n

ξ'=≤≤++

由于211n n ∞

=∑收敛，所以由比较判别法知，1

11

()(

)1n f f n n ∞

=-+∑收敛，即111()()1n f f n n ∞

=??- ?+?

?∑绝对收敛． （2）由级数11

1()(

)1n f f n n ∞

=??- ?+?

?∑收敛，则它的前n 项部分和 11

1()()1n

n k S f f k k =??=- ?+??∑111111

()()()()()()12231

f f f f f f n n =-+-+

+-+

1

(1)(

),1f f n =-+当n →∞时极限存在. 所以1lim ()(1)lim 1

n n n f f S n →∞→∞=-+存在，即1

lim ()n f n →∞存在，证毕．

11．绝对收敛

【解析】因为y y y x y '+=''+='1,所以.由1)0(=y 得2)0(,1)0(=''='y y ． 根据泰勒公式，得

()()2

2221111111100(0)1,

2y y y y o o n n n n n n n ????????

'''=+++=+++ ? ? ? ?????????

所以，11111lim 2

=--??

?

??∞→n n n y n ．而级数∑∞=121n n

收敛，故由正项级数的比较审敛法

知，级数∑∞

=--??

?

??1111n n n y 收敛，故原级数绝对收敛.

12. 略 13. 略

三．收敛性的讨论

14．C

【解析】：由交错级数 1(1)n n n u ∞

=-∑条件收敛及0(1,2,...)n u n >=知

1321lim()n n u u u -→∞

++???+=+∞，1234212lim()n n n u u u u u u T -→∞

-+-+???+-=，其中T 个

常数.级数

1

n

n v

∞

=∑的部分和

1213211234212S 2()()n n n n n v v v u u u u u u u u u --=++???+=++???++-+-+???+-，

所以，lim n n S →∞

=+∞，即1

n n ν∞

=∑发散.故应选(C)

15．D

【解析】： 比较判别法仅适合正项级数，故排除选项(A), 21

1

n n ∞

=∑

收敛，但1n ∞

==，排除选项(B), 2

1

1n n n ∞

=+∑发散，但有1

n a n <，故排除选项(C).选项 (D) 中，当1β≠时，收敛性取决于β，1β=时，收敛性取决于α，故选(D). 16．C

【解析】： 调和级数11n n

∞

=∑发散，但1

lim 0n n →∞=，故论断①未必成立；交错级数

11

(1)n n ∞

-=-∑发散，但

111lim 11n n n n n

u u

u u ++→∞=-?=-<，故论断②的结论未必成立；由

正项级数1

n n u ∞

=∑收敛知lim 0n n u →∞

=，从而存在自然数N ，当n N ≥时，01n u ≤≤成

立20n n u u ?≤≤成立，由正项级数的比较判别法知论断③的结论总成立；由

1

(1)n n n u u -=-及交错级数1

1

(1)

n n n u ∞

-=-∑条件收敛知1

n n u ∞

=∑发散，即论断④的结论总

成立.应选(C) 17．D 18．C 19．B 20．D 21．D 22．D 23．B 24．D 25．D 26．D 27．C 28．B