②当{}0=B 或{}4-=B 时
()()0141422=--+=?a a ，解得1-=a ，
此时{}0=B ，成立，
③当{}4,0-=B 时
()()?????=-=
>?0
4000
f f ，解得1=a 综上可得：1-≤a 或1
=a 【变式1】集合{}023|2=+-=x x x A ，{}012|2=-+-=a x x x B ，B B A = ，求a 的取值范围.
【答案】2≥a
解含参集合问题的几个注意点
解含参集合问题的几个注意点 同学们在集合学习中，由于对有关概念 、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点： 1．注意空集的特殊作用 例1 已知集合A={x ∣2x +（a +2）x +1=0, x R ∈}．B={x ∣x >0}, 若φ=B A ，求a 的取值范围． 解析：由φ=B A 知，A 中的元素为非正数，即方程 2x +（a +2）x +1=0只有非正数解． ∴ ()???≥+≥-+=?0 20422a a 解得 0≥a 实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足φ=B A ． 当Ａ=φ时，()0422 <-+=?a ，解得－4＜a ＜０， 综上可得 ： a ＞－4 评注：空集是任何非空集合的子集，且A φφ= ， A =φ A.， 在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全． ２．注意题中的隐含条件 例２设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值． 错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５?Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝ ２，或a ＝－４． 分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ?Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９?Ｓ，不符合题意；故a ＝２． 评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件． ３．注意端点值的舍取
集合章节复习(教师版)
1 1.4集合章节复习 一、教学目标： （1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质； （2）掌握集合的有关术语和符号； （3）运用性质解决一些简单的问题。 二、教学重难点： 教学重点：集合的相关运算。 教学难点：集合知识的综合运用。 三、基础知识 （一）：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+ N Z Q R C （二）： 集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相 同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 补集 全集是U,集合A U ?，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {},U C A x x U x A =∈?且
2 空集 空集是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集 A ?φ，φ B （φ≠B ） 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数 是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n （三）：集合的基本运算 1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; 2.两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; （四）：方法指导 1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法. 2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算. 3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想. 5.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 四、典型例题 考点一 集合的相关概念理解 例1：用适当的方法表示下列集合 （1）非负奇数组成的集合； （2）小于18的既是奇数又是质数的数组成的集合； （3）方程( )( ) 01212 2 =++-x x x 的解组成的集合； （4）平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； （5）方程组? ??=+=-+10 12y x x x 的解集 例2、求集合{} 1),(≤+y x y x ，所围成图形的面积？
集合中含参的问题
集合中含参的问题 1、已知{}53<<-=x x A ，{}a x x B <=，若满足B A ?，则实数a 的取值范围为________。 2、已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若满足A B ?，则实数m 的取值范围为________。 3、已知集合{}0232≤+-=x x x A ，{}a x x B ≤≤=1，且φ≠B .若A 是B 的真子集，则实数a 的取值范围为________若A B ?，则实数a 的取值范围为________。 4、已知集合{}，0232=+-=x x x A 且集合{}，02=-=mx x B 若A B ?，则实数m 的取值范围为________。 5、已知集合{} R a x ax x A ∈=+-=,0232，若集合A 中不含任何元素，则实数a 的取值范围为________；若集合A 中只有一个元素，则实数a =_____；若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为________。 6、设集合A={x|2420,x x a x R +-+=∈} （1）、当A 中有两个元素时，求a 的取值范围. （2）、当A 中没有元素时，求a 的取值范围. （3）、当A 中有且仅有一个元素，求a 的取值范围. <
7、已知集合{}220A x x x =-=，集合{}2220B x x ax a a =-+-=，x R ∈. （1）若A B B =,求实数a 的值； （2）若A B B =，求实数a 的取值范围. 8、… 9、已知集合A={x|2x -2x-8≤0}，集合B={x|2x -（2m-3）x+(3)m m -≤0，m ∈R}， 10、（Ⅰ）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值； 11、（Ⅱ）设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 9、已知集合{}220A x x x a =+->， (1)A R =,求实数a 的取值范围. (2)若[)1,B =+∞,A B A =，求实数a 的取值范围.
《集合》公式汇总
《集合》公式汇总 集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。 由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。） 并交集 并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。 交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。 若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A 补集 相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x?B'} 绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或?u（A）或~A。·U'=Φ；Φ…=U （一）元素与集合 、 1、元素与集合的关系：∈? ∈，读作“a属于A” 若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a A ?，读作“a不属于A”。 若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A 2、集合的表示： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5} 描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x－3＞0}} 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示： 自然数集（非负整数集）N； 或N*； 正整数集N + 整数集Z； 有理数集Q； 实数集R； 正实数集R+ 符号法 N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
集合知识点归纳
高中数学第一章-集合 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 集合知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A?； ②空集是任何集合的子集，记为A φ； ? ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B B?，那么A = B. A?，同时A 如果C ? A? ，. ?，那么 A B C B [注]：①Z= {整数}（√）Z ={全体整数} （×） ②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=+ N，则C s A= {0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B，则C B A=?，C A B =?C S（C A B）=D（注：C A B =?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. 高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 1 —
高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 2 — [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ?? ?=-=+1 323y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是2 1≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. 【并集】 在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。 基本定义 ： 若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。 形式上：x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 x 是 A 的元素，或 x 是 B 的元素。 举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A ， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。 形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C 。 代数性质： 二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C 。事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 {} ∪A = A ，对任意集合 A 。可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。 【交集】 数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B 。 例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11｝的交集。 若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。 更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A ，B ，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C ∩D ＝A ∩(B ∩(C ∩D))。交集运算满足结合律，即 A ∩(B ∩C)＝(A ∩B) ∩C 。
常见分类讨论类型
常见分类讨论类型 一、分类讨论思想在立体几何中的应用 1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够 焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ） A ． B ．(1,) C ． D ．(0,) 【答案】【答案】 A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力. 【解析】根据条件,四根长为 2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况 :(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图, 此时a 可以取最大值,可 知 AD= ,SD= ,则有 <2+ ,即 , 即有 (2) 构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示 ,此时a>0; 综上分析可知a ∈【编号】45690 【难度】较难 2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________ 【答案】1个或3个 【编号】41766 【难度】简单 二、分类讨论思想在集合中的应用 3 ．已知集合 22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ?，求实数a 的取值 范围。 【答案】解：{0,4}A =- ①B =Φ时，2 40a a ?=-<，即04a << 4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意； 当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意 10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤< 12分 【编号】36832 【难度】较难 228a <+=
4 ．已知集合2 {|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范 围。 【答案】解:①当0m =时，3 2 x =，满足题意。 4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解， 则0?≤，即4120m -≤，1 3 m ∴≥ 10分 综上所述，m 的取值范围是0m =或1 3 m ≥ 12分 【编号】36828 【难度】一般 5 ．已知集合2 {|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}A x R x ∈>=? ，求实数a 的取值范围。 【答案】解：当A ≠?时，由{|0}A x R x ∈>=? 知A 的元素为非正数， 即方程2 (2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40 (2)0a a ??=+-≥?-+=? ，此时2(2)40a ?=+-<，解得 40a -<< 综上，的(4,)a ∈-+∞ 【编号】32168 【难度】较难 三、分类讨论思想在函数中的应用 6 ．求函数2 ||1y x x a =+-+的值域。 【答案】解：2 2 1()1x x a y f x x x a ?+-+?==?-++??2213()()24 13()()24 x a x a x a x a ?++-≥??=??-++
集合复习讲义
第一章集合复习讲义 第1讲集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性． (2)□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07?表示． (3)□08列举法、□09描述法、□10图示法． (4)常见数集的记法 2．集合间的基本关系 3．集合的基本运算
4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?□01B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?□02A?B. (3)补集的性质：A∪(?U A)＝□03U；A∩(?U A)□04?；?U(?U A)＝□05A；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)． (4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□062个，非空子集个数为□072－1个，真子集有□082－1个，非空真子集的个数为□092－2个． 1．概念辨析 (1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.() (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．() (3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．() (4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)?A，A?(A∪B)．() 答案(1)×(2)×(3)√(4)√
2．小题热身 (1)若集合A ＝{x |－23}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2集合经典例题总结
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝， 其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2 x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2 a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数
为…………………………………………………………………………（ ） （A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合 {}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于 （ ） A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.{}2≤y y 集合与方程 例1、已知 {}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范 围。 例2、已知集合 (){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和， 如果φ≠B A ,求实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若 φ=B A ，求实数a 的值。
含参集合分类讨论问题
第二周含参集合分类讨论问题 重点知识梳理 1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是： (1)明确讨论的对象； (2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则： ①分类应按同一标准进行； ②分类应当没有遗漏； ③分类应是没有重复的； (3)逐类讨论，分级进行； (4)归纳并作出结论． 3．集合中引起分类讨论的原因： (1)由元素的特性引起的讨论； (2)由空集引起的讨论； (3)由方程的有解性引起的讨论． 典型例题剖析 例1同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合． 【解析】按集合M中元素个数分类讨论： M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}； M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}； M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}； M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}； M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}， 所以适合条件的集合M共有7个． 变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，
集合中含参数问题的分类讨论
集合中含参数问题的分类讨论 高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助. 对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A?B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法. （1）分类讨论是指： A?B在未指明集合A非空时，应分A=?和A≠?两种情况来讨论； 因为集合中的元素是无序的的，由A?B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论. （2）数形结合是指：对A=?这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成， 将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来. （3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值. 根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的. 下面通过具体例子作进一步分析： 例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0} （1）若B?A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围； （2）若A?B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围； （3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围. 解析：（1）B?A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B 是?的情况. 由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5} 因为B?A，所以 当B=?时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B?A 当B≠?时，则如图
一元一次不等式的含参问题
《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 教材分析：本章内容在学习了《一元一次方程》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。教学准备（预习学案）
1、⑴不等式组? ??-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组???-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组???≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组???-≤>4 5x x 的解集是 . 2、关于x 的不等式组12x m x m >->+??? 的解集是1x >-，则m = ． 3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4、不等式组? ??--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3 5、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __. 6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __. 7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。 预习要求： 1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大（大于较小的数，小于较大的数）在中间；大大小小（大于较大的数，小于较小的数）不存在. 2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。 教学步骤： 一、例题教学 例1、 1、关于x 的不等式3m-x<5的解集x>2,求m 的值。 2、不等式 mx-2<3x+4的解集是 ， 则m 的取值范围是 变式1.如果不等式（m ﹣2）x ＞m ﹣2的解集为x ＜1，那么（ ） A ．m≠2 B．m ＞2
集合~基础知识点汇总与练习~复习版
集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、 集合思想的运用．： （一）主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． （一）主要知识： 1．交集、并集、全集、补集的概念； 2．A B A A B =??，A B A A B =??； 3．()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =． （二）主要方法： 1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1.集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2.集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字 母a、b、c，…表示。 3.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 （1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个 集合，绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素 只能出现一次。如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4.元素与集合的关系 （1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5.集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于 等于8的偶数构成的集合。
浅谈分类讨论思想及其应用
浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论：
二次含参问题经典
二次含参问题经典集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式） 一、知识、方法回顾 （一）一元二次不等式 1．定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式． 2．解法：一般地，当0 a>时 （二）解分式不等式的常见方法：
法一：符号法则 其它情况类比分析，结论如下： ()0__________()f x g x ，由符号法则可知，()()f x g x 、同号，从而()()0f x g x ?>，其它情况类比分析，结论如下： () 0()()0() f x f x g x g x >??>； ()0________()f x g x ++a bx cx 解集为 ． 2.若不等式220ax bx ++>的解集为11 (,)23 -，则a b +的值为_____________． 3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的范围为__________．
高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论 一、参数取值引起的分类讨论 1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0， 若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以?R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}． 因为A ??R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3. 若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以?R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}， 此时A ??R B 成立． 2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________. 解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32 . 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32 二、空集引起的分类讨论 1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ?A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ≤4 D ．m ≤4 思维启迪：若B ?A ，则B ＝?或B ≠?，要分两种情况讨论． 解析：当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则????? m ＋1≥－2，2m －1≤7， m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D . 2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． ①当3a ＋1＞2，即a ＞13 时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ?B .
高中数学题型分析系列：集合含参问题
高中数学题型分析系列：集合含参问题 （一）特别注意：空集为任何集合的子集，因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集（这里的空集存在于含参集合） （1）φφ=≠???=B B A B A B A 或 （2）φφ=≠???=B B A B B B A 或 （二）、针对集合中各种问题，下面进行图像展示（这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始） （1）φφ=≠???=B B A B A B A 或 ，φφ=≠???=B B A B B B A 或 ，图像如下： （2）φ?φφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠?=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下： （3）R B A = ，图像如下： 解题步骤： 步骤一、处理含参数集合问题，规定首先考虑含参数集合为空集（将不等式两边数字大小互换就好，利用假设法处理是否可以取等号） 步骤二、在考虑集合之间的基本关系时，在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上，并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系，并用花括号表示出来（注意不要遗漏），并解出不等式组，得到结果。 注意：①同一个花括号下求交集，不同情况（分类讨论）的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算 ③若φ=A 取等号，则φ≠A 不能取等号，反之亦然
典型例题教学 典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或，{}53><=x x x C 或 （1）若A B =?，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围. （3）若R C A = ,求a 的取值范围 解析：因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足，②φ≠A ，但B A 与无共同元素 解：（1）①当φ≠A 时，知道3+>a a ，无解，故φ≠A ②当φ≠A 时，用图像可以表示为 得到：?? ???≤++≤-≥5331a a a a ，即：12a -≤≤，故a 的取值范围为[]21-, （2）①当φ=A 时，有3+>a a ，知a 无解，故φ≠A ②当φ≠A 时，有以下两种情况其图像可以表示为： 1） 得到：? ??-<++≤133a a a ，解得4-高中物理分类讨论集合
一、力学综合题 1．3．（2010年广州二模36）(16分)如图9所示，绝缘水平面上相距L =1.6m 的空间内存在水平向左的匀强电场E ，质量m =0.1kg 、带电量q =1×10-7C 的滑块（视为质点）以v 0=4m/s 的初速度沿水平面向右进入电场区域，滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.4（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）。（g 取10m/s 2） （1）如果滑块不会离开电场区域，电场强度E 的取值范围多大。 （2）如果滑块能离开电场区域，试在W —F 坐标中画出电场力对滑块所做的功W 与电场力F 的关系图象。 2．（2010年广州一模36）（18分）如图18所示的凹形场地，两端是半径为L 的1/4圆弧面，中间是长尾4L 的粗糙水平面。质量为3m 的滑块乙开始停在水平面的中点O 处，质量为m 的滑块甲从光滑圆弧面顶端A 处无初速度滑下，进入水平面内并与乙发生碰撞，碰后以碰前一半的速度反弹。已知甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1=2μ2，甲、乙的体积大小忽略不计。求： （1）甲与乙碰撞前的速度。 （2）碰后瞬间乙的速度。 （3）甲、乙在O 处发生碰撞后，刚好不再发生碰撞，则甲、乙停在距B 点多远处。 0.4 0.8 1.6 -1N -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -2.0 图9
3．（2010年深圳市二模35）（18分）如图所示，MN 为3m 宽的小沟，M 点左侧1m 处有一5m 高的平台与半径为1.25m 的1 4 圆弧底部相切，平 台表面与圆轨道都光滑，一质量为3kg 的B 球静止在平台上．现让一小球A 从圆弧左侧与圆心等高处静止释放，A 球下滑至平台并与B 球发生碰 撞．A 、B 两球可视为质点，g =10m/s 2 ．求： (1)A 球到达圆弧底端时的速度； (2)要使碰后两球刚好落在小沟两侧，A 球的可能质量． 4．（2011年广州市一模36）（18分）如图，绝缘水平地面上有宽L =0.4m 的匀强电场区域，场强E = 6×105N/C 、方向水平向左．不带电的物块B 静止在电场边缘的O 点，带电量q = 5×10-8 C 、质量m A =1×10-2 kg 的物块A 在距O 点s =2.25m 处以v 0=5m/s 的水平初速度向右运动，与B 发生碰撞，假设碰撞前后A 、B 构成的系统没有动能损失．A 的质量是B 的k （k ＞1）倍，A 、B 与水平面间的动摩擦因数都为μ=0.2，物块均可视为质点，且A 的电荷量始终不变，取g =10m/s 2 ． （1）求A 到达O 点与B 碰撞前的速度； （2）求碰撞后瞬间，A 和B 的速度； （3）讨论k 在不同取值范围时电场力对A 做的功．
