最新1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题

1997年全国大学生数学建模竞赛题目

A 题 零件的参数设计

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y ）由七个零件的参数（记作1234567(,,,,,,)x x x x x x x ）决定，经验公式为：

31

521

174.42

()x x y x x x =-

y 的目标值

（记作0y ）为1.50。当y 偏离00.1y ±时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当y 偏离00.3y ±时，产品为废品，质量损失为9000（元）；

零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A 、B 、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A 等为1%±，B 等为5%±，C 等为10%±.七个零件的参数标定值的容许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：

现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为

10.1

x=，

20.3

x=，

30.1

x=，

40.1

x=，

51.5

x=，

616

x=，

70.75

x=；容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y偏离0y造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少?

B题截断切割

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

模型建立

一．符号说明

),,,(7020100x x x x =：产品零件参数的标定值；0i x ：第i 个零件的标定值；

i i b a ,：第i 个零件的标定值0i x 取值的上、下界； ),,,(721x x x x =：产品零件参数的实际值； )5.1(0=y ：产品性能参数的目标值；

),,,(721x x x f ：产品性能参数的经验公式；即

31

127521

(,,,)174.42

()x x y f x x x x x x ==-),,,(702010x x x f y =：产品性能参数的平均值；

),,,(721x x x f y =：产品性能参数的实际值；

)10.005.0,01.0(或=i r ：第i 个零件的相对容差（绝对值）；

~i x ?：第i 个零件的容差，i i i r x x ?=?0~

；

j i c ： 第i 个零件参数取第j 个容差等级时所需成本，7,,2,1 =i ；3,2,1=j

第1，2，3个容差分别表示C ，B ，A 等级；

j i d ：10-变量，7,,2,1 =i ；3,2,1=j , 如果第i 个零件参数取第j 个容

差等级时j i d 取值1，否则为零；

i σ：第i 个零件参数（的实际值）i x 的均方差；

y σ：产品质量性能参数),,,(721x x x f y =（的实际值）的均方差；

)(y C ：产品),,,(721x x x f y =的生产成本； )(y L ：产品),,,(721x x x f y =的损失费用；

)(y M ：产品),,,(721x x x f y =的生产成本与损失费用之总和。

二．关于零件参数的假设

在第i 个零件取定其标定值为0i x 后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值i x 可看成是服从正态分布的随机变量，即

),(~2

0i i i x N x σ

并且设七个零件的加工过程是相互独立的。

概率统计学告诉我们，如果某个随机变量服从正态分布

),(~20σx N x

则由“3σ”原则，有

0(||3)0.9971P X x σ-≤=≈

所以，当要求第i 个零件取定其标定值为0i x ，第i 个零件的容差为

i i i r x x ?=0~

?，则意味着

i i i i r x x σ??=?=30~

于是

3

30i

i i i r x x ?=

=

~

?σ 即当第i 个零件的标定值0i x ，容差等级（C ，B ，A ，既第i 个零件的相对容差）

)..,.(100050010或=i r ）确定后，第i 个零件参数的实际值i x 所服从的正态分布

就完全确定了。

三．关于产品参数y 的分布

当七个零件的标定值),,,(7020100x x x x =，容差等级（C ，B ，A ，即每个零件的相对容差）)..,.(100050010或=i r ）确定后，为确定产品性能参数

)),,,((721x x x f y =的分布规律与求产品质量的损失费用)(y L ，现在讨论y 的

分布情况。

由于产品性能参数的经验公式

),,,(721x x x f y =

31

521

174.42

()x x x x x =-非常复杂，直接得出y 的精确分布有困难。

对此有两种办法： ① 用随机模拟的方法

在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值),,,(7020100x x x x =和任意一组容差等级r ，产生n 组相互独立的正态分布随机数),,,,(j j j j x x x x 721 =

1,2,

,,j n = 其中七个零件参数),,,(721x x x x =中的每个 ij x 都是服从正态

分布

20~(,)ij i i x N x σ， 3

30i

i i i r x x ?=

=

~

?σ 的随机数。

由经验公式得到产品性能参数y 的n 组（n 很大）对应的样本值 ),,,(j j j j x x x f y 721 =， 1,2,

,j n =

画出直方图，并用2χ检验法检验y 是否服从正态分布，并确定y 的分布的有关特征数字。

例如，取n = 10000时, y 的直方图与y 是否服从正态分布的检验

20040060080010001200140016001800

0.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90

0.95 0.98 0.99 Data

P r o b a b i l i t y

Normal Probability Plot

具体见 ytest1 和 ytest2。

② 用理论方法推导

在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值),,,(7020100x x x x =和一组容差等级r ，记 ),,,(702010x x x f y =，表示产品性能参数的平均值。产生零件参数的实际值),,,(721x x x x =，由经验公式得到产品性能参数y 的一组对应的值

),,,(721x x x f y =

因为

),(~2

00i i i i N x x x σ??

=-， 721,,, =i

所以

)(),,,(x x f x x x f y ?+==0721

7

01

()i i i

x x f f x x x ==?≈+???∑

y y ?

=+?

即

∑

==???=-=7

1

i i x x i

x x f y y y ??

因为i x ?，721,,, =i 服从相互独立的正态分布),(2

0i N σ，所以y ?也服从正态分布),(2

0y N σ，并且对上式两边取方差，得

∑==???=7

12

22

i i x x i

y x f σσ][

于是产品性能参数y 也近似服从正态分布，即

2~(,)y y y y N y σ=+?

)][),

,,,((∑

==????=7

1

2

202

7020109

i i i x x i

r x x f x x x f N

至于近似服从正态分布的误差有多大？ 我们后面再讨论。

三．目标函数

由原问题要求，建模的目标函数)(y M 应包括产品),,,(721x x x f y =零件的的生产成本与质量损失费用两部分。

① 生产成本

当零件的标定值),,,(7020100x x x x =与零件的容差i i i r x x ?=0~

?确定以后，零件的的生产成本就完全确定了，为

∑∑==?=7

13

1i j j i j i d c y C )(

其中j i c 是第i 个零件参数取第j 个容差等级时所需成本，721,,, =i ；321,,=j ， 第1，2，3个容差分别表示C ，B ，A 等级；而j i d 为10-变量，如果第i 个零件参数取第j 个容差等级时j i d 取值1，否则为零，并且

1,2,

,7i ?=，3

11i j j d ==∑

还要注意到对每个1,2,,7i =，对容差等级j i d 来说，321,,=j 不一定都能取到；

② 质量损失费用 质量损失函数为

??

?

??≥-<-≤<-=3

0900030101000

100

000.||.||..||)(y y y y y y y L

510.=y 。

由上一段，y 服从正态分布，即

),(~2

y y N y σ

227

2

01020701

((,,

,),

[])9

i i i i

x x x r f N f x x x x ==??=??∑

其密度函数为

22

()21()y y y y e

σ?--

=

所以（5.10=y ）

正品的概率 ?

+-=

<-=1

01

0010010..)(}.|{|y y dy y y y P p ?；

次品的概率 ?

?

++--+

=

<-≤=3

01

01

03

00200003010....)()(}.||.{y y y y dy y dy y y y P p ??；

废品的概率 ?

?

-∞

-+∞

++

=

≥-=3

03

0030030..)()(}.|{|y y dy y dy y y y P p ??。

再由标准正态分布),(10N 分布函数)(y Φ与一般正态分布),(2

y y N σ分布函数分布函数)(~

y Φ之间的关系：

)(

)(~

y

y

y y σΦΦ-= 有

).().()(}.|{|~

~..101010001

01

00100--+==

<-=?

+-y y dy y y y P p y y ΦΦ?

00(0.1)(0.1)(

)(

)y

y

y y

y y

σσ+---=Φ-Φ

).().(y

y y

y σΦσΦ---=4161 同理

?

?

++--+

=

<-≤=3

01010300200003010....)()(}.||.{y y y y dy y dy y y y P p ??

)].().([)].().([~

~

~

~

103030100000+-++---=y y y y ΦΦΦΦ

).().().().(y

y y y y y y y σΦσΦσΦσΦ---+---=61812141 和

?

?

-∞-+∞++

=

≥-=3

030030030..)()(}.|{|y y dy y dy y y y P p ??

)]().([)].()([~

~

~

~

-∞--++-+∞=ΦΦΦΦ303000y y

).().(

y

y y

y σΦσΦ-+--=21811 从而1个产品的平均质量损失费用

3290001000p p y L +=)(

)].().().().(

[y

y y y y

y y y σΦσΦσΦσΦ---+---=618121411000 )].().(

[y

y y

y σΦσΦ-+--+218119000 其中)(y Φ为标准正态分布),(10N 分布函数。

于是整个优化问题模型为

)}()({)(min

y L y C y M +?=1000 （1.1）

+??=∑∑==7

13

11000i j j i j i d c {

+---+---?+)].().().().(

[y y y y y

y y y σΦσΦσΦσΦ618121411000 )]}

.().(

[y

y y

y σΦσΦ-+--+218119000 s.t.

i i i b x a ≤≤0 721,,, =i

13

1

=∑=j j i d ，10或=j i d ，

721,,, =i ，321,,=j

并且其中

),,,(702010x x x f y =

100050010..,.或=i r

3

30i

i i i r x x ?==

~

?σ 721,,, =i ∑==???=7

1

2

22

i i x x i

y x f

σσ][

。

注记：模型中的函数)(y Φ是标准正态分布)1,0(N 分布的分布函数。严格地说，这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的、目标函数高度非线性的非线性规划问题。

模型求解

一．模型I 计算思想

)}()({)(min

y L y C y M +?=1000 （1.1）

+??=∑∑==7

13

11000i j j i j i d c {

+---+---?+)].().().().(

[y y y y y

y y y σΦσΦσΦσΦ618121411000 )]}.().([y

y y

y σΦσΦ-+--+218119000 s.t.

i i i b x a ≤≤0 721,,, =i

13

1

=∑=j j i d ，10或=j i d ，721,,, =i ，321,,=j

并且 0735251211311======d d d d d d 其中

),,,(702010x x x f y =

100050010..,.或=i r

3

30i i i i r x x ?==

~

?σ 721,,, =i ∑==???=7

1

2

22

i i x x i

y x f

σσ][

。

模型中的函数)(y Φ是标准正态分布),(10N 分布的分布函数。

这个带变量上下界约束与整数变量的、目标函数高度非线性的非线性规划问题怎样求解呢？

注意到（1.1）中，一当第i 个零件的相对容差)..,.(100050010或=i r 或第i 个零件的容差~i x ?：i i i r x x ?=0~

?确定以后，零件的生产成本就确定了，即这时不论零件的标定值),,,(7020100x x x x =在标定值取值范围中怎么取，生产成本都是不变的，为∑∑==?7

13

1i j j i j i d c 。

全部七个零件的相对容差只有1082313212=?????种组合。对所有108种情况可以逐次去计算；

实则上108种情况可以再简化。从零件参数的标定值及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：

容差分为A 、B 、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A 等为1%±，B 等为5%±，C 等为10%±.七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化范围；

可见，A 等（为1%±）是不可能取到的。用模拟的方法也可以确定，平均每个产品的生产成本一般在200-300之间，而损失费用为150上下。如此，A 等成本费用中200与500的费用太高，所增加的成本费用是损失费用无法弥补的，从而是不可能取到的。于是容差等级总共不超过212213248?????=种。考虑到100费用仍然也是难以弥补的，事实上，还应该是

212212116?????=

种情况。

确定了一种容差方案后，上述问题实质上化为

)(min

y L （1.2）

+---+---?=)].().().().(

[y

y y y y

y y y σΦσΦσΦσΦ618121411000 )]}.().([y

y y

y σΦσΦ-+--+218119000 s.t.

i i i b x a ≤≤0 721,,, =i

)(),,,(0702010x f x x x f y ==

其中

100050010..,.或=i r

∑

==????=7

1

2

202

2

9

i i i x x i

y r

x x f ][σ， 721,,, =i 。

已经确定。

二、编程实现技术细节

1. 容差等级、生产成本 与 标定值区间

R=[0.10 0.05]; % 容差等级，最贵的一种舍去！ cost=[inf 25 % 选定容差以后的生产成本费用

20 50 20 50 50 100 50 inf 10 25 inf 25];

A=[0.075 0.125 0.225 0.375 0.075 0.125 0.075 0.125 0.125 1.875 12 20

0.5625 0.9375]; % 标定值区间

2. 怎么选定容差等级

用i 1，i 2，i 3，i 4，i 5，i 6，i 7表示选定的容差等级，值都在1，2中选择，并且i 1=2，i 5=1，i 7=2。 于是全部容差等级的循环是4重循环。

从而选定的第k 个零件的容差等级为

r （i k ）= R （i k ）

而对应的成本费用为

cost(k,i k )

所以，这个产品的生产成本为

Cy = cost(1,i1) + cost(2,i2) + cost(3,i3) + cost(4,i4) +

cost(5,i5) + cost(6,i6) + cost(7,i7)

3. 损失费用的最小化计算

当标定值x 与容差等级r 取定后，损失费用是个最小值优化问题。其目标函数 与 约束条件是：

)(min

y L （1.2）

+---+---?=)].().().().(

[y

y y y y

y y y σΦσΦσΦσΦ618121411000

)]}.().([y

y y

y σΦσΦ-+--+218119000 s.t.

i i i b x a ≤≤0 721,,, =i

)(),,,(0702010x f x x x f y ==

其中

i r ，721,,, =i 已确定，而标定值 0x 是优化变量

∑

==????=7

1

2

202

2

9

i i i x x i

y r

x x f ][σ， 721,,, =i 。

已经可以计算。其中已经没有零件参数的实际随机值 x 了。

目标函数中的 1.4()y

y

σ-Φ 是正态分布),(10N 的分布函数，

Matlab 中有现成的函数 normcdf 可以调用（比较 normpdf ）。

4. 多元函数的偏导数（或梯度）怎么计算

多元函数的偏导数（或梯度）与 海森矩阵 怎么计算，Matlab 中有现成的函数 jacobian 可以调用，具体见 objgrad.m 。

5. 当时的计算程序编写方法

（1）．计算方法一：用Matlab 中函数Fmincon 来计算 见 mydesign1 求解结果： 零件参数标定值： x = 0.0750 0.3750 0.1106 0.1200

1.1309

12.0100

0.7977

相应的容差等级：

r = 0.0500

0.0500

0.0500

0.1000

0.1000

0.0500

0.0500

零件总费用（成本+损失）：

My =

4.2136e+005

每个零件成本与损失：

Cy =

275

Ly =

146.3603

程序求解运行时间：

T =

16.0051

（2）.计算方法二：用网格搜索方法（3）．计算方法三：用随机模拟的方法（4）．计算方法四：用模拟退火算法

（5）．计算方法五：用遗传算法

二．初始方案费用计算

1．原设计方案费用计算----用Matlab 见 mydesign2

零件参数标定值：

x =

0.1000

0.3000

0.1000

0.1000

1.5000

16.0000

0.7500

相应的容差等级：

r =0.0500

0.1000

0.1000

0.1000

0.1000

0.1000

0.0500

零件总费用（成本+损失）：

My =

3.0748e+003

零件成本与损失：

Cy =

200

Ly =

2.8748e+003

计算运行时间：

T =0.6351

2．原设计方案费用计算----用随机模拟

见 mydesign3

用随机模拟法(n=10000次随机试验)开始求原设计方案费用。请稍候--- 零件参数标定值：

x = 0.1000

0.3000

0.1000

0.1000

1.5000

16.0000

0.7500

相应的容差等级：

r = 0.0500

0.1000

0.1000

0.1000

0.1000

0.1000

0.0500

产品性能指标参数y分布的统计标准差：

sigmay =