专题11：滑动摩擦力做功“Q=fs相对”模型

摩擦生热的“Q=f ·s 相对”模型

模型建构：摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关，如果考虑摩擦力做功的过程

中与产生热能关系时，很多学生就会对之束手无策,从近几年的高考命题中,这类问题是重点也是难点问题,以下就针对摩擦力做功与产生热能的关系作一总结的分析.

【模型】一个物体在另一个物体上相对滑动, 摩擦产生的热量“Q=f ·s 相对”

【特点】①只有滑动摩擦力才能产生内能,静摩擦力不会产生内能；②摩擦产生的内能等于滑动摩擦力与相对路程的乘积；③一般要结合动量守恒定律解题；④两物体速度相同时，发热产生的内能最大。

【模型1】如图1所示，在光滑水平面上放一质量为M 的长木板，质量为m 的小物体从木板左侧以初速度v 0滑上木板，物体与木板之间的滑动摩擦系数为μ，求

⑴最终两者的速度 ⑵系统发热产生的内能

〖解析〗⑴物体滑上木板后受摩擦阻力作用做减速运动，而木板受摩擦动力作用做加速运动，当两者速度相同时，无相对运动，滑动摩擦力消失，以后系统以共同的速度匀速运动 根据动量定理：m v 0=（m+M ）v 解得：0v m

M m

v +=

⑵如图9所示，设物体对地的位移为s 1，木板对地的位移为s 2 根据动能定理：

对m ：2

0212121mv mv mgs -=-μ

对M ： 2221

Mv mgs =μ 解得：

)2

1

21(21)(222021Mv mv mv s s mg +-=-μ

=

m

M M mv 212

0+?

可见：系统机械能的减少量全部转变成了内能。

发热损失的能量Q=μmgs 相对 模型典案：

【典案1】如图11所示，质量为M=1kg 的平板车左端放一质量为m=2kg 的物体与车的摩擦系数μ=0.5。开始车与物体同以v 0=6m/s 的速度向右在光滑水平面上运动，并使车与墙发生正碰。设车与墙碰撞时间极短，且碰后车的速率与碰前相等，车身足够长。求：

⑴物体相对车的位移

⑵小车第一次与墙碰撞以后，小车运动的位移。

图1

〖解析〗 (1)由于M ＜m ，且每次碰前它们的速率相等．．．．．．．．．．．，且相对位移逐渐增大，发热产生的内能逐渐增加，机械能逐渐减小，所以在整个运动过程中，系统的总动量越来越小，但方向始终向右，最后小车一定停止于墙壁处．．．．．．。 系统的初动能全部转化为内能 因此：2

v )m M (2

1mgs +=

μ相……① 解得物体相对于小车的总位移s 1=5.4m

(2)设小车每次与墙壁碰撞后,向左运动的最大位移分别为s 1、s 2、s 3…… 则：小车运动的总路程为 S=2 S 1+2S 2+2S 3……② 由动能定理2

1Mv 2

1mgs =

μ……③ 得：m 8.1mg

2Mv s 20

1=μ=

……④ 第二次碰撞后，设小车的速度为v 1

由动量定理得：()1000v m M Mv v m +=-……⑤

001v 3

1

v m M m M v =+-=

同理由④得：122

12S 3

1

mg 2Mv S =μ=

……⑥ 142233

131S S S ==

……⑦ 代入②得：S=2 S 1+2S 2+2S 3…… =2〔 +++

1

412131

31S S S 〕=2×9

111-S =4.05m 【典案2】如图所示，一质量为M 、长为L 的长方形木板B 放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M 。现以地面为参照系，

给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板。

（1）若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最后的速度

大小和方向.

（2）若初速度的大小未知，求小木块A 向

左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离. 〖解析〗 方法1、用牛顿第二定律和运动学公式求解。 A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的

最左端时，A 、B 具有相同的速度，设此速度为v ，经过时间为t ，A 、B 间的滑动摩擦力为f 。如图所示。

对A 据牛顿第二定律和运动学公式有：

f =ma A ， L 2=202

1

t a t v A -

， v =-v 0+a A t ； 对B 据牛顿第二定律和运动学公式有： f =Ma B ， 2002

1

t a t v L B -

=，v =v 0-a B t ； 由几何关系有：L 0+L 2=L ；

由以上各式可求得它们最后的速度大小为 v ＝

m

M m

M +-. v 0，方向向右。

m

M mMv fL +=

2

2 对A ，向左运动的最大距离为L M

M

m a v L A 42201+==。 方法2、用动能定理和动量定理求解。

A 刚好没有滑离

B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同的速度，设此速度为v ，经过时间为t ， A 和B 的初速度的大小为v 0，则据动量定理可得：

对A ： ft = mv +mv 0 ① 对B ：-ft =Mv －Mv 0 ②

解得：v ＝

m

M m

M +-v 0，方向向右

A 在

B 板的右端时初速度向左，而到达B 板左端时的末速度向右，可见A 在运动过程中必须经历向左作减速运动直到速度为零，再向右作加速运动直到速度为v 的两个阶段。设L 1为A 开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程，L 2为A 从速度为零增加到速度为v 的过程中向右运动的路程，L 0为A 从开始运动到刚好到达B 的最左端的过程中B 运动的路程，如图2所示，设A 与B 之间的滑动摩擦力为f ，则由动能定理可得：

对于B ： -fL 0=

2

22121Mv Mv - ③ 对于A ： -fL 1= -2

02

1mv ④

f （L 1-L 2）=2

2

1mv ⑤

由几何关系 L 0+L 2=L ⑥ 由①、②、③、④、⑤、⑥联立求得L 1=

M

L

m M 4)(+.

方法3、用能量守恒定律和动量守恒定律求解。

A 刚好没有滑离

B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A 、B 具有相同的速度，设此速度为v ， A 和B 的初速度的大小为v 0，则据动量守恒定律可得：

Mv 0－mv 0=（M +m ）v

解得：v ＝

m

M m

M +- v 0，方向向右

对系统的全过程，由能量守恒定律得：Q =fL =22

0)(2

1

)2

1v M m v m M +-

+（ 对于A fL 1=

2

02

1mv 由上述二式联立求得L 1=

M

L

m M 4)(+.

点评：从上述三种解法中，不难看出，解法三简洁明了，容易快速求出正确答案。因此我们在解决动力学问题时，应优先考虑使用能量守恒定律和动量守恒定律求解，其次是考虑使用动能定理和动量定理求解，最后才考虑使用牛顿第二定律和运动学公式求解。

点评：一个物体在另一个物体表面上相对运动时，发热产生的内能等于滑动摩擦力与两物体相对位移的积。

静摩擦力对物体做功没有相对位移,因此不会产生内能!

系统发热损失的能量Q=μmgS 相对=E 初-E 末(E 初和E 末分别为系统始末状态的机械能)

模型体验：

【体验1】质量为M 的小车A 左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m 的小物块B 从右端以速度v 0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对

静止。求这过程弹簧的最大弹性势能E P 和全过程系统摩擦生热Q 各多少？简述B 相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。

〖解析〗全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv 0=(m +M )v ；

第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能E P 恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以E P 是全过程摩擦生热Q 的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔE K =Q =2E P

而()

m M Mmv E k +=

?22

， ∴()()m M Mmv Q m M Mmv E p +=+=2,42020 至于B 相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B 的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F 也一定大于摩擦力f ，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，

这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B 脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B 具有向左的共同速度，并保持匀速运动。

【体验2】质量为M 的足够长的木板，以速度0v 在光滑的水平面上向左运动，一质量为m （M m ?）的小铁块以同样大小的速度从板的左端向右运动，最后二者以共同的速度01

3

v v =做匀速运动。若它们之间的动摩擦因数为μ。求： （1）小铁块向右运动的最大距离为多少？ （2）小铁块在木板上滑行多远？

〖解析〗小铁块滑上木板后，由于铁块相对木板向右滑动，铁块将受到向左的滑动摩擦力作用而减速，木板将受到向右的滑动摩擦力作用而减速。由于M m ?，所以当m 的速度减为零时，M 仍有向左的速度，m 相对于M 仍向右滑行，m 将在向左的滑动摩擦力作用下相对地面向左做初速为零的匀加速运动，木板M 继续向左减速，直到二者达到相同的速度，而后保持相对静止一起向左匀速运动。正确理解“小铁块向右运动的最大距离”和“在木板上滑行距离”的区别是解决问题的关键。

（答案：（1）2012v s g μ=；（2）204()

9v M m L mg

μ+=）

〖体验3〗一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，末画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。

〖解析〗电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q =f d 求得，其中f 是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d 是这两个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是v ，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d 和小货箱的实际位移s 大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q =mv 2/2。因此有W=mv 2+mgh 。又由已知，在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N ，所以有NW T P =，vT=NL ，

带入后得到?

??

? ??+=gh T

L N T Nm P 22

2。 总之，功是一个过程量，滑动摩擦力对物体做功与路径有关。只要我们认真审题，善于发现问题，不断进行小结，就能发现滑动摩擦力做功规律，在规律下解题就会得心应手,随心所欲。