第四章 几种重要的分布

第四章 几种重要的分布

在这一章，我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布

§4.1 常用的离散型随机变量的分布

一、退化分布

在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量X 以概率1取一常数，即 ()1P X a ==

则称X 服从a 处的退化分布。

,0EX Ea a DX Da ====

二、0-1分布

前面我们学习了贝努力试验。对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（A 和A ），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验。 在一次试验中，设成功的概率为p ，()P A p =，()1P A p q =-=，不同的p 表示不同的贝努力试验。如检查一批产品中，)P （合格品=0.9，()P 不合格品=0.1。 用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量X 只可能取0，1两个值，它的分布律为

1()(1)

(0,1)i

i

P X i p p i -==-=

(0)(1)P X p ==- (1)P X p

== 称X

EX p

= (1)

D X p p =-

三、二项分布

由n 个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n 重贝努力试验。如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。

1.定义：在n 重贝努力试验中，每次试验事件A 发生的概率都为(01)p p ≤≤，设

X

为n 次试验中事件A 发生的次数，则X 的可能取值为0，1，2，,n

()(1)

,0,1,,k

k

n k

n P X k C p p k n

-==-=

不难验证（1）()0P X k =≥ （2）0

()1

n

k P X

k ===∑

称随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，记作~(,)

X B n p

()P X k =的值恰好是二项式

n

（px+q ）展开式中第1k +项k x 的系数。因此我们称该分布为二项分布。

其中，当1n =时，1()(1)(0,1)i i P X i p p i -==-=称X 服从（0-1）两点分布 事件Ａ至多出现m 次的概率是

m

k k n-k

n k=0

P{0m }=C P q

X ≤≤∑

事件Ａ出现次数不小于λ不大于μ 的概率是

m

k k n-k

n k=l

P{l m }=C P q

X ≤≤∑

例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.

解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X 为所取的3个中的次品数，则~(3,0.05)X B

于是，所求概率为：22

3(2)(0.05)(0.95)0.007125P X C ===

例：一个袋子中装有N 个球，其中1N 个白球，2N 个黑球（12N N N +=），每次从中任取一个球，查看完颜色后再放回去，一共取了n 次，求取到白球数X 的分布。

解：由于是放回试验，每次取球为1次试验，n 次取球可视为n 重贝努力试验，每次取到白球的概率为1N p N

=

，故1~(,

)N X B n N

分布为

11()(

)(1)

,0,1,,k

k

n k

n N N P X k C k n N

N

-==-

=

贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；

（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或A ,()P A p =，()1P A p q =-=

(3）各次试验相互独立

简单的说：二项分布描述的是n 重贝努里试验中出现“成功”次数X 的概率分布.

例：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.

解: 设X 为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 ~(3,0.8)

X B

33()(0.8)(0.2)

,k k k

P X k C -==

(1)(0)(1)0.104P X P X P X ≤==+==

把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验, “成功”的概率为0.8

2.二项分布的期望和方差

期望：n

k 0

k k E(X)P{X }==

??

n-k

n

k

k 0k p (1-p)

k n C ==

?

n

k

n-k

k 0n !

k p (1

)

k !(n k )!p ==

?

-?

k-1(n-1)-(k-1)

n

k 1

np(n 1)!p q

(1)![(1)(1)]!

k n k =-=----?

k-1

(n-1)-(k-1)

n

k 1np(n 1)!p q

(1)![(1)(1)]!

k n k =-=----?

n

k-1(n-1)-k-1k 1(1)!

p q

(1)![(1)(1)]!

n np k n k =-=----?

（）

1

11

(1)(1)

110

(1)

n k k n k n k np

C p

p --------==-?

1

p(p q )

p.n n n -=+=

方差：2

2

!()(1)

!()!

n

k n k

k n E X k

p p k n k -==

--∑1

!

(1)

(1)!()!n

k

n k

k kn p

p k n k -==

---∑

1(11)!

(1)(1)!()!

n

k

n k

k k n p p k n k -=-+=

---∑1(11)!

(1)

(1)!()!n

k

n k

k k n p

p k n k -=-+=

---∑

11(1)!

!

(1)

(1)

(1)!()!

(1)!()!n

n

k n k

k

n k

k k k n n p p p

p k n k k n k --==-=

-+

-----∑∑

2

1

!

!

(1)

(1)

(2)!()!

(1)!()!n

n

k n k

k

n k

k k n n p p p

p k n k k n k --===

-+

-----∑∑

21

2

21

12

1

00(1)(1)

(1)

n n l l n l

j j n j

n n l j n n C

p

p nC

p

p --+--+----===

--+

-∑∑

2

1

2

21

12

1

(1)(1)

(1)

n n l l n l

j j n j

n n l j n n C

p

p nC

p

p --+--+----===

--+

-∑∑

2

1

2

212

10

=(1)(1)

(1)

n n l l n l

j j n j

n n l j n n p

C

p p np C p p --------==--+-∑∑2

(1)n n p np =-+

222

()(1)(1)D n n p np n p np p ξ=-+-=-

3.二项分布最可能的值

二项分布中X 可以取值0,1,2,,n 。使概率()P X k =取最大值的k ，记作0k ，称0k 为二项分布的最可能值。 00

0P(=k )

1 (1)

P(=k -1)P(=k )

1 (2) P(=k +1)

ξξξξ?≥???

?

??≥?? 00P(=k )1P(=k -1)

ξξ≥

000

00

k

k

n k 0n k 1

k 1n k

1

n 0(n k 1)P

C P q =1C P

q

k q

----

+-+≥

00(n k 1)p k q -+≥ 00np k p p k q -+≥ 0 k n p p

∴≤+ 00P(=k )1P(=k +1)

ξξ≥

000000k k

n k 0n k 1

k 1

n k 1

n

0(k 1)q C P q =

1C

P

q

(n-k )p

-++--+≥

00(k 1)q (n-k )p +≥ 0 k n p p -1∴≥+ 0 np+p-1k np p ∴≤≤+

[]0np p np+p-1 np+p k =np+p +??∴?

??和当为整数时

其他

而且从二项分布的图形特点也可以看出来：对于固定n 及p ，当k 增加时 ,概率P(X=k) 先

是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.

例：某批产品中有８０％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出４个样品，求其中一等品数ξ的最可能值，并用贝努里公式验证。 解 X 服从二项分布，~(4,0.8)X B

3.20.84np p +=+=是整数，所以0043k k ==和时0()P X k =为最大。即取出４个样品时，一等品个数最可能是３或４。 用贝努公式计算X 的分布律下

例：某人进行射击，命中率为0.02，射击400次，至少击中2次的概率。 解：由题意。设击中次数为X ， ~(400,0.02)X B

400()(0.02)(0.98)

,0,1,2,,400k

k

k

P X k C k -===

400

1399

400(2)1(0)(1)10.98

0.020.98

0.9972P X P X P X C ≥=-=-==--?≈

可以看出计算量非常大。因此必须寻求近似方法。 说明：尽管每一次射击的命中率非常小，但如果射击的次数很大，命中目标的概率就非常大。

四、普哇松分布

在历史上普哇松分布是作为二项分布的近似函数，于1837年有法国数学家普哇松（Poisson ）首次提出。 1.定义

如果随机变量X 的概率函数为 k

~{},0,1,2,... !

X P X k e

k k λ

λ

-==

=

其中 0λ> ，则称X 服从普哇松(Poisson) 分布。

利用级数k

k=0

=e k!

x

x

∞

∑

，k k

k=0

k=0

e

=e

=e

e =1k!

k!

λ

λ

λ

λ

λ

λ

∞

∞

---?∑

∑

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。

在实际中，许多随机现象服从或近似服从普哇松分布。像某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一匹布上的疵点个数；一本书中的错别字个数等等都可近似服从普哇松分布。由此普哇松分布总与计数过程有关，且在一定时间内，一定区域内或一定单位内的前提下进行的。

普哇松分布的方便之处在于其概率的计算可以利用普哇松分布表。查表练习。

2.普哇松定理：

在n 重贝努力试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （这里与n 有关），如果n →∞时，n np λ→（λ为常数），则对任意的k ，有

lim (;,)!

k

n n b k n p e

k λ

λ

-→∞

=

定理的条件意味着当 n 很大时，n np 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大，p 很

小时有以下近似式：(1)!

k k

k

n k

n

e

C p p k λ

λ---≈

其中np λ=

在实际中，当20,0.05n p ≥≤时，该近似公式适用。当100,10n np ≥≤效果比较好，可通过查表进行计算。

如例题中可用普哇松分布来计算：400,0.02,8n p np ===

k

8

8

~{},

0,1,2,... 400 !

X P X k e k k -==

=

8

(0)P X e

-==，8(1)8P X e -==

(2)1(0)(1)0.997P X P X P X ≥=-=-==(查表计算)

可进行比较，与精确计算很接近，说明近似效果良好。

3.期望和方差的计算

期望k k 1

1();!

(k 1)!k k E X k

e

e

k λ

λ

λ

λ

λλ-∞

∞

--===

==-∑∑

方差：m

m 2

2

m 0

m 1

m ()m

m !

(m 1)!

e

E e

λ

λ

λ

λξ-∞

∞

-===

=

-∑∑

2

=λλ+

()D ξλ∴=

例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

解：设该商品每月的销售数为X ，已知X 服从参数λ=5的泊松分布.

设商店在月底应进某种商品m 件，求满足()0.95P X m ≤≥的最小的m 。

5

5

()0.95!

k

m

k P X m e

k -=≤=

≥∑

通过查表可得

59

50.968,!

k k e k -=≈∑

58

50.932

!

k

k e k -=≈∑

因此，9m = 例：设某城市每年因交通事故死亡的人数服从普哇松分布，据统计在一年中交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的0.5倍，计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。 解：X 表示一年中因交通事故死亡的人数。由此X 服从参数λ的普哇松分布 k

~{},0,1,2,... !

X P X k e

k k λ

λ

-==

=

1(1)(2)2

P X P X ==

= 2

122

e

e

λ

λ

λ

λ--=

4λ=

(3)1(0)(1)(2)0.323323P X P X P X P X ≥=-=-=-==

五、几何分布

例：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率为p ，求所需

射击发数X 的概率函数。

解：显然，X 的可能取值为1,2,

为计算()P X k =，设{}1,2,k A k k == 第发命中，

1(1)()P X P A p ===；12(2)()(1)P X P A A p p ===-；

2

123(3)()(1)P X P A A A p p ===-,

1

()(1)

,1,2,k P X k p p k -==-=

这就是所需射击发数X 的概率函数。

若随机变量的概率函数如上式，则称X 具有几何分布。

1.定义：在独立重复试验中，事件A 发生的概率为p ，设X 为直到A 发生为止所进行的试验的次数， （X 的可能取值为全体正整），

1

1

()(1)

,1,2,k k P X k pq

p p k --====-= 则称X 服从参数为p 的几何分布.

2.期望和方差

1

1

11

k k k k EX kq

p p kq

∞

∞

--===

=∑∑

令1

23

11

1234k k S kq

q q q ∞-==

=++++∑ 1

2

3

4

1

1

2

3

4

k k q S q k q q q q q ∞

-===

++++∑

2

11(1)11q S q q q

-=+++=

- 12

1S p

=

1EX p

=

同理验证 2

2

21q EX

p

p

=

+

2

q D X p

=

例：设X 服从几何分布，则对任何两个正整数,m n ，有 ()()P X m n X m P X n >+>=>

证明：1

1

()1m

k m

k m q

P X m q

p p

q q

∞

-=+>=

==-∑

()()()()

m n n

m

P X m n q

P X m n X m q P X n P X m q

+>+>+>=

=

==>>

该性质称为几何分布的无记忆性，指几何分布对过去的m 次失败的信息在后面的计算中被遗失了。

六、超几何分布

例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ是一个随机变量，求ξ的分布。 解 ξ可以取０，１，２，３，４这５个值，

k

4k

515

420

C C P(=k)=

(k=0,1,2,3,4)C ξ-

例：一个袋子中装有N 个球，其中1N 个白球，2N 个黑球（12N N N +=），从中不放回的取了n 个球，求取到白球数X 的分布。 解： 12

(),0,1,,k

n k

N N n N C C P X k k n C

-==

=

1.定义：设N 个元素分为两类，有1N 个属于第一类，2N 个属于第二类（12N N N +=）。从中按不重复抽样取n 个，令X 表示这n 个中第一（或二）类元素的个数，则X 的分布称为超几何分布。其概率函数是 12

(),

0,1,,k

n k

N N n

N C C P X k k n C

-==

=

当n N (即抽取个数远远小于总数N )每次抽取后，总体中1N p N

=改变很小，这

时 不放回抽样等同于放回抽样，即超几何分布可近似为二项分布。

1212k

n N N k k n n n

N N C C P(=k)=

C p q

C

k

k

X --+→

例３ 一大批种子的发芽率为90％，今从中任取10粒，求播种后， （１）恰有8粒发芽的概率；（２）不少于8粒发芽的概率。

解 设10粒种子中发芽的种子数目为X 。因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一个Ｎ很大，n 相对于Ｎ很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。

~(10,0.9)X B

8

8

2

10(1) P(X =8)=C 0.90.10.1937??≈

88299110

1010(2) P(X 8)=C 0.90.1C 0.90.10.9

0.9298≥??+??+≈

2.期望和方差

1N E =n

N

ξ 12N N N -n D =n

N

N N -1

ξ

§4.1 常用的连续型随机变量的分布

一、均匀分布

例：某办事员处理一份护照申请书，时间X (单位：分)是一连续型随机变量，若X 的概率密度有如下形式： ,46

()0,c x f x ≤≤?=??其他

这表明，办一份护照申请书的时间至少4分钟，至多6分钟，c 为待定常数。 解：由()f x 为X 的概率密度，则有 （1）()0f x ≥ 即0c ≥ （2）()1f x dx +∞-∞

=?

即6

4

1cdx =? 1

2

c =

见图形：

现求4-4.5，5-5.5间处理一份护照申请书的概率，即为图中这两个区间的面积

1(4 4.5)0.50.252

P X ≤≤=?

= 1

(55.5)

0.50.252

P X ≤≤=?=

由此，可知这两个概率相等。

从图中可看出，底边相等的矩形面积，即X 在两个相等区间上取值机会也相同，即体现了均匀的含义，且称这样的分布为均匀分布。

1.定义：一个随机变量X ，如果其概率密度函数为

1

,()0,a x b f x b a

?≤≤?

=-???

其他，称X 服从[],a b 上的均匀分布，记为~(,)X U a b 服从均匀分布的X ，具有一种等可能性，即它落入[],a b 中任意等长度的子区间的可能性相同，或者说它落入等长度区间内的概率相同，与区间位置无关。 即1()()c l c l c

c

l P c X c l f x dx dx b a

b a

++≤≤+=

=

=

--?

?

分布函数：0,(),1,x a

x a

F x a x b b a x b

-?=≤≤?-?>??

2.期望和方差 2

(),2

12

a b b a EX DX +-=

=

（学生练习证明）

3.应用和计算

均匀分布的应用如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.

例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。 解：以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )

1

,030()30

0,x f x ?<

=???

其它

从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，为使候车时间X 少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站。所求概率为：

{1015}{2530}P X P X <<+<<15

3010

25

11130

30

3

dx dx =

+

=

?

?

即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3。

二、指数分布 1.定义

若随机变量X 的概率密度为 0()0

x

e x

f x x λλ-?≥=?

，则称X 服从参数为λ的指数分布.

易知+++-0

f()=e

=e

()=e

=10

x

x

x

x dx dx d x λλλλλ∞∞∞---∞

+∞-

--?

?

?

它的分布函数为

0 0F()=P(X )=1e 0x

x x x x λ-≤?≤?-≥?当时

当时

对任何实数a,b （0≤a

b

a

b

a b P(a

=e

=e

e

a

x

x

dx λλλλλ------?

2.期望和方差

()x

E X x e

dx λλ∞

-=

?

x

xde

λ∞

-=-?0

x

x

xe

e

dx λλ∞

∞--=-+?1

λ

=

3.应用

指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如随机服务系统中的服务时间，某些消耗性产品（电子元件等）的寿命等等，都常被假定服从指数分布。

假若产品的失效率为λ，则产品在t( t>0) 时间失效的分布函数：

t

F(t)=P(X t)=1e

λ-≤-

而产品的可靠度为：t R (t)=P(X >t)=1F(t)=e λ--

例： 某元件寿命X 服从参数为λ(1λ- =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 解：参数为λ的指数分布的分布函数为 1000

F()=P()=1e

x x X x -

≤-

1

P(X>1000)=1P(X 1000)=1F(1000)=e --≤-

各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为

3

13

3

[P(X 1000)]=[e ]=e

0.05--≈

例 .电子元件的寿命ξ(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。

(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解：330()0

0,

x

e x x x ?-?>=?

≤?

3336

2

2

(1){2}33=,.x

x

x

p X e

dx e

d x e

e ∞

∞

----∞>=

=--=-??+（）2

{ 3.5, 1.5}

(2){ 3.5| 1.5}{ 1.5}

p X X p X X p X >>>>=

>36

3.531.5

33x

x

e

dx

e

e

dx

∞

--∞

-=

=??

由这个例子，可以看出()()P X a t X a P X t >+>=>这表明，已知寿命长于a 年，则再活t 年的概率与年龄无关，故又可将指数分布称为“永远年青”的分布。 实际应用与保险中。

三、正态分布

正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。它是由十九世纪前叶数学家高斯加以推广，所以也称为高斯分布。 许多事件问题中的变量，如年降雨量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.即具有“中间大、两头小”的特点。

（一）正态分布的定义及图形特点

1.定义：如果连续型随机变量X 的概率密度为

2

2

()2(),x x x μσ

?--

=

-∞<<∞

其中μ和2σ都是常数，μ任意，σ>0，则称X 服从参数为 μ和2σ的正态分布。 记作2~(,)X N μσ

()x ?所确定的曲线叫作正态曲线.

可以证明

2

2

()21

1,x dx μσ

--

∞-∞

=?

证明思路：做变量替换x t μ

σ

-=

即证2

2

t

I e

dt ∞-

-∞

=

=?

先证2

2

2

2

2

t

u

I e

dt e

du ∞∞-

-

-∞

-∞

=

?

?

22

-(t )/2

--e

2u dtdu π∞∞

+∞∞

=

=??

转化为极坐标：

cos sin t r u r θθ

=??

=? 2

22

2

2r

I d e

rdr π

θπ∞

-==?

?

2.图形特点：

正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”。 1)对任意的h ，()()P h X P X h μμμμ-<≤=<≤+

2）当xμ

=时，()x

?取最大值

()

?μ=

3）x距μ越远，()

f x值越小，这表明，对同样的长度区间，当区间离μ越远，x落在该区间上的概率越小

4）μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度。

σ越大，曲线越平坦，

σ越小，曲线越陡峻，。

3.分布函数

设2

~(,)

X Nμσ，它的分布函数为：

2

2

()

2

(),

t

x

x e dt x

μ

σ

-

-

-∞

Φ=-∞<<∞

4.期望和方差

2

,

EX D X

μσ

==

（二）标准正态分布

0,1

μσ

==的正态分布称为标准正态分布.

其密度函数和分布函数常用

()x

?和

()x

Φ表示

()

x

?2

2

0(),

x

x x ?-

=

-∞<<∞

2

2

0()t

x x e

dt -

-∞

Φ=

?

记作~(0,1)X N

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。

它的依据是下面的定理：

书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.

(1)0.8413,(1.64)0.9495,(0)0.5Φ=Φ=Φ=

表中给出0x >的概率值，当0x <，该如何查表？ 由图形可知，00()1()x x Φ-=-Φ

00(1)1(1)10.84130.1587Φ-=-Φ=-=

例1：设~N(0,1),P( 1.96),P(-1.96),P( 1.96),P(-12)X X X X X ≤≤≤≤ 求(1) (2)()0.7019,()0.9242,()0.2981P X a P X b P X c ≤=<=≤=已知，求,,a b c

解：（1）0( 1.96)(1.96)0.975P X ≤=Φ=

00( 1.96)( 1.96)1(1.96)10.9750.025P X ≤-=Φ-=-Φ=-=

000( 1.96)( 1.96 1.96)(1.96)( 1.96)2(1.96)10.95P X P X ≤=-≤≤=Φ-Φ-=Φ-=

0000(12)(2)(1)(2)(1)10.8185P X -<≤=Φ-Φ-=Φ+Φ-=

()

x Φ

图2.7 正态分布曲线(2121σσμμ<<，)

(2)查表得 0()0.7019,0.53

a a Φ==

000()()()()2()10.9242P X b P b X b b b b ≤=-≤≤=Φ-Φ-=Φ-=

0()0.9621, 1.78b b Φ==

000()1()0.2981,()0.7019c c c Φ=-Φ-=Φ-=0.53c =-

总结：若~(0,1)X N 00()()()P a X b b a <<=Φ-Φ 0()()2()1P X b P b X b b ≤=-≤≤=Φ-

（三）一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 如果22~N (,) ,~N (0,1)ξμση

其概率密度分别记为0()()x x ??及，分布函数分别记为0()()x x ΦΦ及

01

-(1) ()=

x x μ??σ

σ??

??? 0-(2) ()=

x x μσ??

ΦΦ ?

??

证明：2

2()2(1) ()x x μσ

?--=

2

1211=

x μσ-??

- ???

01

-=

x μ?σ

σ??

???

01

- () x x μ??σ

σ??

∴=

???

(2) ()P()x x ξΦ=

≤2

2

(t )2-=t x d μσ

--

∞

?t-

y μ

σ

令

＝

2

-2

- x y dy μ

σ

-

∞

?

0- = (

)x μ

σ

Φ 0

- (

)()

x x μ

σ

∴Φ=Φ 定理 ：设2

~(,)X N μσ，则~(0,1)X Y N μ

σ

-=

称随机变量函数(-)

X μσ

Y ＝

为标准化变换。 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问

题.

证： F ()=P(Y )Y x x ≤ X -=P(

)x μ

σ

≤=P()X x σμ≤+=()x σμΦ+

0-=(

)x σμμ

σ

+Φ0=()x Φ

2

Y~N(0,1)∴

例：2

~N(8 , 0.5),P(81)P(10)X X X -≤ 求及

解：22

8 X ~N (8 , 0.5) ~N (0 , 1)0.5

X -∴

P(81)X - 8=P 20.5X ?-?

???

0=2(2)1Φ-=20.97725-1=0.9545? P(X 10) 8108=P 0.50.5X --??

???

0=(4)Φ=0.999 968 33 例：2~N (,),P(5)=0.045,P(3)=0.618ξμσξξ≤-≤，μσ求及。 解：0-5P (-5)=(

)=0.045μ

ξσ-≤Φ 00-5-5(

)=(-)μ

μ

σσ+ΦΦ05=1-(

)=0.045

μ

σ

+Φ 05 (

)=1-0.0450.955μ

σ

+Φ得＝ 03P (30.618μ

ξσ

-??

≤Φ

???

）＝＝ 5 1.730.3

μ

σ

μσ

+????

-???＝＝ 0.84μσ?∴??＝＝

总结：若2~(,),X N μσ~(0,1)X Y N μ

σ-=

()P a X b <<(

)a b P Y μ

μ

σ

σ

--=≤≤

00(

)(

)b a μ

μ

σσ

--=Φ-Φ

（四）3σ准则

由标准正态分布的查表计算可以求得

当~(0,1)X N 0(1)2(1)10.6826P X ≤=Φ-=

0(2)2(2)10.9544P X ≤=Φ-=,0(3)2(3)10.9974P X ≤=Φ-=

这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 将上述结论推广到一般的正态分布，2

~(,)Y N μσ时

(||)0.6826P Y μσ-≤= (||2)

0.954P Y μσ-≤= (||3)0.9974P Y μσ-≤=

可以认为，Y 的取值几乎全部集中[3,3]μσμσ-+区间内，这在统计学上称为3σ准则 例：公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高2

~(170,6)X N ,问车门高度应如何确定?

解: 设车门高度为h cm,按设计要求

()0.01P X h ≥≤ 或()0.99P X h <>

下面我们来求满足上式的最小的h . 因为2~(170,6)X N ，

170~(0,1)6

X N -

0170()(

)0.996

h P X h -<=Φ≥，查表得0(2.33)0.99010.99Φ=>

所以

170 2.336

h -=，即170 2.336184h =+?=

设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。

例：某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。

设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？

分析 设学生考试成绩 X~N(2,μσ) ，首先应求出μ及2σ之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。

解 设学生成绩X~N(2,μσ)，由题设知应有

200(600)0.06673000

2075(500)0.6917

3000P X P X ?

≥==???

?<==??

从而得6005001()0.0667,(

)0.6917μ

μ

ΦΦσ

σ

---== 即600500(

)0.9333

(

)0.6917

μ

μ

σ

σ

--Φ=Φ=以及

查表得 600 1.55000.5

μ

σ

μσ-?=???-?=??

解之得 450100μσ=??=?

故知，X~N(2450,100)

又设该大学实录线为a ，由题设知：

800()0.26673000

P X a ≥=

=即4501(

)0.2667

100

a --Φ=

450

(

)0.7333100a -Φ=于是可得

查表得

450

0.623,100

a -=512.3.a =解之得 即是说该大学的实录线约为512分。

如果二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

22

1122

222

1122

()()()()

1

(,)[2]},,

2(1)

x x y y

p x y x y

μμμμ

ρ

ρσσσσ

----

=--+-∞<<+∞

-

则称(,)

X Y服从二维正态分布，记为22

1212

(,)~(,,,,).

X Y Nμμσσρ其中五个参数的取值范

围分别是：

1212

,;,0;1 1.

μμσσρ

-∞<<+∞>-<<

以后将指出：

12

,

μμ分别是X与Y的均值，22

12

,

σσ分别是X与Y的方差，ρ是X与Y的相关系数。