第四讲非对称特征值问题
特征值解法
《结构动力学》大作业 结构大型特征值问题的求解 0810020035 吴亮秦 1振动系统的特征值问题 1.1实特征值问题 n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为： []{}[]{}()M u K u F t += （1.1） 其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。 此系统的自由振动微分方程为 []{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得： []{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2 λω=，(1.4)具有非零解的条件是 ()[][]det 0M K λ-= (1.5) 式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。 因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解： [][][]T M L L = (1.6) 其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则： 1 {}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得： ([][]){}0I P x λ-= (1.8) 其中，( ) 1 1 [][][][] T P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。 1.2复特征值问题 多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组： []{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将
第八章几何线性问题的有限元法
第八章 几何非线性问题的有限元法 8.1 引言 前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。 实际上，上述假设有时是不成立的。即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。 几何非线性问题可以分为以下几种类型： （1）大位移小应变问题。一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。 （2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。 （3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。 结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。 本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。 8.2 一般性讨论 8.2.1 理论基础 无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式 {}{}{}{}0=-???**v e eT e eT F dv δσε （8.1） 其中{}F 为单元节点力向量，{}e *ε为单元的虚应变，{}e *δ为节点虚位移向量。 增量形式的应变一位移关系可表示为 {}[] {}e e d B d δε= （8.2） 上式中{}e d δ表示单元节点位移{}e δ的微分。根据变分与微分运算在形式上的相似性，有
12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
第8章 特征值和特征向量
第8章特征值和特征向量 M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。 8.1 特征值和特征向量的计算 假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解： 其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。 示为λ 1 M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。 命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足 条件。求的特征值比求A的特征值条件更好些。万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。 命令集7 9特征值和特征向量 e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。 [ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵 X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到 有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。 [ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是 e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。 b a l a n c e(A)求平衡矩阵。 [ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。 B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。 e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g 一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计 算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的 秩不小于6，则计算出6个特征值来。 e i g s(f,n)求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算 符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。
eig求所有特征值和特征向量
最近看了看matlab求特征值的函数，记下来备用。 eig求所有特征值和特征向量。 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A的6个绝对值最大特征值d，d以向量形式存放。 d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足A V=BVD，其中D为特征值对角阵，V为特征向量矩阵，B必须是对称正定阵或Hermitian正定阵。 d = eigs(A,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,B,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,k,sigma) %sigma取值：'lm'表示绝对值最大的特征值；'sm'绝对值最小特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小特征值；对非对称和复数问题：'lr'表示最大实部；'sr'表示最小实部；'li'表示最大虚部；'si'表示最小虚部 d = eigs(A,B,k,sigma) %同上 d = eigs(A,k,sigma,opts) % opts为指定参数：参见eigs帮助文件。opts为一个向量 参数描述value opts.issym =1:如果A对称 =0：A不对称 {0|1} opts.isreal =1:A为实数 =0：otherwise {0|1} opts.tol 收敛？？？（没看懂）**估计 d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options相同。 d = eigs(Afun,n) %用函数Afun代替A，n为A的阶数，D为特征值。 d = eigs(Afun,n,B) d = eigs(Afun,n,k) d = eigs(Afun,n,B,k) d = eigs(Afun,n,k,sigma) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma) d = eigs(Afun,n,k,sigma,options) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options) [V,D] = eigs(A,…) %D为6个最大特征值对角阵，V的列向量为对应特征向量。 [V,D] = eigs(Afun,n,…) [V,D,flag] = eigs(A,…) %flag表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值都收敛，否则，不是所有都收敛。 [V,D,flag] = eigs(Afun,n,…) 第二十一讲 广义特征值与极小极大原理 一、 广义特征值问题 1、定义：设A 、B 为n 阶方阵，若存在数λ，使得方程Ax Bx =λ存在非零解，则称λ为A 相对于B 的广义特征值，x 为A 相对于B 的属于广义特征值λ的特征向量。 ● 是标准特征值问题的推广，当B ＝I （单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解 ()A B x 0-λ= 或者 ()B A x 0λ-= → 特征方程 ()det A B 0-λ= 求得λ后代回原方程Ax Bx =λ可求出x 本课程进一步考虑A 、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述 （1） B 正定，1B -存在 →1 B A x x -=λ，广义特征值问题化为了标准 特征值问题，但一般来说，1B A -一般不再是厄米矩阵。 （2） B 正定，存在Cholesky 分解，H B G G =，G 满秩 H A x G G x =λ 令H G x y = 则 () 1 1 H G A G y y --=λ 也成为标准特征值问题。 ( ) 1 1 H G A G --为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序 排列12n λ≤λ≤≤λ ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在 12n y ,y ,y 满足 () 1 1 H i i G A G y y --=λ H i j ij 1i j y y 0 i j =?=δ=?≠? 还原为()1 H i i x G y -= (i=1,2, ,n)，则 ()() H H H H i j i j i j ij 1 i j y y x G G x x Bx 0 i j =?===δ=? ≠? （带权正交） 二、 瑞利商 A 、 B 为n 阶厄米矩阵，且B 正定，称()()H H x A x R x x 0x Bx =≠为A 相对于B 的瑞利商。 12n x ,x ,x 线性无关，所以，n x C ?∈，存在12n a ,a ,a C ∈ ，使 得 n i i i 1 x a x == ∑ H n n n n 2 H H i i i j j j i j i i 1j 1i ,j 1 i 1 x Bx a x B a x a a x Bx a ====???? == = ? ????? ∑∑∑ ∑ n n n 2 H H H i i j i j j i i j i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 x A x a a x A x a a x Bx a ==== = λ= λ∑ ∑ ∑ ∴ ()n 2 i i i 1n 2 i i 1 a R x a ==λ= ∑ ∑ ●()1x 0 min R x ≠=λ ()n x 0 max R x ≠=λ 证明：()()()() () H H H H kx A kx x A x R x x Bx kx B kx = = k 为非零常数 可取1k x =， kx 1= 车架动力学分析研究 凡桂宽，姚京宁 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 (100083) E-mail: frank84821@https://www.360docs.net/doc/935510808.html, 摘 要：汽车车架作为汽车底盘结构中的重要组成部分，承载了整车的大部分质量，承受着路面传递给它的各种力和力矩，车架性能的好坏主要取决于车架在静态载荷和动态载荷下的响应情况。本文利用有限元计算与分析的方法，以南京130轻型货车的车架为研究对象，运用CATIA 建立车架的三维几何曲面模型，以通用有限元分析软件ANSYS 作为平台，对车架进行模态分析，得到该车架十五阶自由模态的固有频率及振型，指出该车在使用中存在的隐患。旨在指出现有车架存在的问题并为其改进方案提出可行性意见。 关键词：车架；有限元；模态分析 0. 引言 汽车是一种运动的机械，其中大多数零部件的破损显然是由动载荷疲劳引起的。在有限元方法推广之前车架的动态分析通常用之前所述的静强度乘以几倍的动载系数和安全系数进行强度校核，这种方法已逐渐被淘汰。 由于汽车运动具有随机振动的特点，车架是受随机载荷的作用，这给车架动应力的计算带来一定的困难。由于这些随机载荷源于不平地面对车轮的随机激励，而地面不平度的统计特性近年来也有研究，即路面谱的研究。复杂系统的模态分析方法也广为应用，在前人这些工作的基础上，国内已进行了车架动应力响应的计算和研究。 本篇论文主要针对车架进行模态分析，简单介绍ANSYS 中模态分析的集中常用方法，对车架进行自由模态分析，分析其前十五阶振型和频率，从而为车架设计提供依据。 1. 模态分析的理论基础 对于一个N 自由度线性定常系统，其基本振动方程可写为： [](){}[](){}[](){}(){}M X t C X t K X t F t ++= (1) 式中[]M 、[]C 和[]K 分别为弹性系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；(){} X t 、(){}X t 和(){}X t 分别为加速度向量、速度向量和位移向量；(){}F t 为动激励载荷向量。 在结构动力学问题中，结构的固有频率和固有振型是分析结构动力学响应与其它动力特性问题的基础。在进行模态分析时，因结构阻尼较小，对固有频率和振型影响甚微，故通常忽略不计。在这种情况下，分析结构的固有频率与振型问题转化为求解特征值与特征向量问题。因而，基本振动方程式(1)中的[](){}C X t 和(){}F t 均为零。所以： [](){}[](){}M X t K X t 0+= (2) 由于任何弹性体的自由振动可以分解为一系列简谐振动的叠加，设式(2)有如下形式的 简谐振动解： (){}{}0 X t X sin t =ω (3) 将式(3)代入式(2)得： 特征值法 对元素为实数或复数的n×n矩阵A，求数λ和n维非零向量x使A x=λx，这样的问题称为代数特征值问题，也称矩阵特征值问题，λ和x分别称为矩阵A的特征值和特征向量。代 数特征值问题的数值解法是计算数学的主要研究课题之一，它常出现于动力系统和结构系统的振动问题中。在常微分方程和偏微分方程的数值分析中确定连续问题的近似特征系，若用有限元方法或有限差分方法求解，最终也化成代数特征值问题。此外，其他数值方法的理论分析，例如确定某些迭代法的收敛性条件和初值问题差分法的稳定性条件，以及讨论计算过程对舍入误差的稳定性问题等都与特征值问题有密切联系。求解矩阵特征值问题已有不少有效而可靠的方法。 矩阵A的特征值是它的特征多项式P n(λ)det(λI-A)的根，其中I为单位矩阵。但阶数超过4的多项式一般不能用有限次运算求出根，因而特征值问题的计算方法本质上是迭代性质的，基本上可分为向量迭代法和变换方法两类。 向量迭代法是不破坏原矩阵A，而利用A对某些向量作运算产生迭代向量的求解方法，多 用来求矩阵的部分极端特征值和相应的特征向量，特别适用于高阶稀疏矩阵。乘幂法、反幂法都属此类，隆措什方法也常作为迭代法使用。 变换方法是利用一系列特殊的变换矩阵(初等下三角阵、豪斯霍尔德矩阵、平面旋转矩阵等)，从矩阵A出发逐次进行相似变换，使变换后的矩阵序列趋于容易求得特征值的特殊形式的矩阵(对角阵、三角阵、拟三角阵等)；多用于求解全部特征值问题，其优点是收敛速度快，计算结果可靠，但由于原矩阵A被破坏，当A是稀疏矩阵时，在计算过程中很难保持它的稀疏性，因而大多数变换方法只适于求解中小规模稠密矩阵的全部特征值问题。雅可比方法、吉文斯－豪斯霍尔德方法以及LR方法、QR方法等都属此类。 乘幂法计算矩阵的按模最大的特征值及对应特征向量的一种向量迭代法。设A为具有线性初等因子的矩阵，它的n个线性无关的特征向量是u i(i=1，2，…，n)，特征值排列 次序满足是一个n维非零向量，于是 若λ1>λ2，则当α1≠0，且k足够大时，A k z0除相差一个纯量因子外趋于λ1所对应的特征向量，这就是乘幂法的基本思想。实际计算中 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 注：先讲第三节可正好与第四章给出的“矩阵范数与谱半径的关系”联系起来。 §3 谱半径的估计 定理1 n n C A ?∈，则对于任一种矩阵范数，有()A A ≤ρ。 推论 1）()∑=≤≤=≤n i ij n j a A A 1 11 max ρ； 2）()∑=≤≤∞ =≤n j ij n i a A A 1 1max ρ； 3）()A A H A A λ ρ= ≤2 ，其中A A H λ 为矩阵A A H 的最大特征值。 定理2 若A 为正规矩阵，则()2 A A ≤ρ。 证明：因为A 为正规矩阵，所以存在酉矩阵P ，使得 ()n H diag AP P λλ,,1 =，故有()n H H diag P A P λλ,,1 =，从而 ( )2 21,,n H H diag AP A P λλ =。于是()A A i n i A A H 2 2 122 max ρ λλ ===≤≤。□ §1 特征值的界的估计 引理 任一给定的复数矩阵() n n ij a A ?=都可以表示成一个Hermite 矩阵B 和一个反 Hermite 矩阵C 之和，其中()()2 ,2 H n n ij H n n ij A A c C A A b B -= =+= =??。 定理1 若复矩阵() n n ij a A ?=的谱为{}n λλλ,,,21 ，则有不等式 ∑∑ ∑ ===≤ n i n j ij n i i a 11 2 1 2 λ， 等号当且仅当A 为正规矩阵时成立。 证明：由Schur 定理，存在酉矩阵U 及上三角矩阵广义特征值与极大极小原理
车架动力学分析研究
特征值法
矩阵第五章 特征值的估计与广义逆矩阵