第五章-特殊平行四边形难题综合训练(含答案)

第五章 特殊平行四边形难题综合训练

1、正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

2、如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .

第1题 第2题 第3题 第4题

3、如图，平面内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的面积是 平方单位．

4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 .

5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .

6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）

A ．2

B ．3

C ．22

D ．32

第5题 第6题 第7题 第8题

7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋

8、如图，正方形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论：①点G 是BC 中点；②FG =FC ；③S △FGC =9/10．其中正确的是（ ） A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

9、如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF =90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；（3）BE +BF =20A ；（4）AE 2+CF 2=20P ?OB ．正确的结论有（ ）个． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10、如图，在矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 .

11、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．

(1)如图11－1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．求证：ABN ADN △≌△；

(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．

12、如图所示，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． C

M

B

N

A

D

（图11-2）

C

B M A

N

D

（图11-1）

(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

13、请阅读，完成证明和填空．

数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

(1）如图13-1，正三角形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．

(2）如图13-2，正方形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠= 度．

(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．

(4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．

14、ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的E F

G

D

A

B

C

A A A B

B

B C

C

C D

D

O O

O

M M M N

N

N E

图13-1

图13-2

图13-3

…

①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．

15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．

(1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；

(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

16、如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．

A

G C

D B

F E 图（a ）

A

D

C

B

F

E

G

图（b ）

A

F N

D

C B M E

O

(2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，

将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．

(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由

18、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．

(1）求BDE △的周长；

A

D

B

E

C

F 1A

1C

A

D

B

E

C

F 1

A 1C

19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，

使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

(1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

(2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．

能拼成一个

．．．．．矩形（非正方形）．

(1）画出拼成的矩形的简图；

(2）求x

的值．

A Q D

E

B P C

O

x

O E B

A

y

C

F

x

O E B

A

y

C

F

x

O E B

A

y

C

F

21、如图所示，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ；对角线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推． (1）求矩形ABCD 的面积；

(2）求第1个平行四边形11OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．

22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． (1）求A B 、两点的坐标；

(2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；

A 1 A 2

B 2

C 2 C 1 B 1

O 1 D

A

B

C O

①当2t ≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；

②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516

？

23、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论． O

M

A

P N y l m

x B

O

M

A

P N y l m

x

B

E P

F 图22

24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF

交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

25、如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：

AF BF EF =+．

A

D

F C

G

E 图1 A

D

F C G

E 图2 A

D

F

C G

E B

图3

D

C

B

A E

F G

参考答案

1、D

2、104

3、5或9

4、20

1005

2

3

55 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、58

11、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ，∠1 =∠2又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN (2）解：∵∠ABC =90°，∴菱形ABCD 是正方形此时，∠CAD =45°． 下面分三种情形：

Ⅲ）若AN =AD =6，则∠1=∠2，由AD ∥BC ，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM =CN ，易求AC =62，∴CM =CN =AC －AN =62－6， 故x = 12－CM =12－（62－6）=18－62

综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三角形

12、（1）因为ABCD 是正方形，所以BC =CD 。又因为ECGF 是正方形，所以EC =CG 。

所以三角形BCE 和三角形DCG 全等（HL ）。所以BE =DG （全等三角形的对应边相等） （2）存在。以点C 为旋转中心逆时针旋转90度

13、（1）证明：∵ABC △是正三角形，∴60A ABC AB BC ∠=∠==°，，

在ABN △和BCM △中，AB BC

A ABC AN BM =??

∠=∠??=?

∴ABN BCM △≌△．

∴ABN BCM ∠=∠．又∵60ABN OBC ∠+∠=°，∴60BCM OBC ∠+∠=°，∴60NOC ∠=°． 注：学生可以有其它正确的等价证明．

(2）在正方形中，90AN DM DON =∠=，°． (3）在正五边形中，108AN EM EON =∠=，°． (4）以上所求的角恰好等于正n 边形的内角

(2)180n n

-g °

14、（1）①证明：∵ABC △和ADE △都是等边三角形， ∴60AE AD AB AC EAD BAC ==∠=∠=，，°．

又∵EAB EAD BAD ∠=∠-∠，DAC BAC BAD ∠=∠-∠，∴EAB DAC ∠=∠， ∴AEB ADC △≌△．

②法一：由①得AEB ADC △≌△，∴60ABE C ∠=∠=°．又∵60BAC C ∠=∠=°， ∴ABE BAC ∠=∠，∴EB GC ∥．又∵EG BC ∥，∴四边形BCGE 是平行四边形． 法二：证出AEG ADB △≌△，得EG AB BC ==．由①得AEB ADC △≌△． 得BE CG =．∴四边形BCGE 是平行四边形． (2）①②都成立．

(3）当CD CB =（2BD CD =或1

2

CD BD =

或30CAD ∠=°或90BAD ∠=°或30ADC ∠=°）时，四边形BCGE 是菱形．

理由：法一：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =分又∵CD CB =，∴BE CB =． 由②得四边形BCGE 是平行四边形，∴四边形BCGE 是菱形．

法二：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =．又∵四边形BCGE 是菱形， C

M B

N A

D

1

2 3 4

法三：∵四边形BCGE 是平行四边形，∴BE CG EG BC ∥，∥，

∴6060FBE BAC F ABC ∠=∠=∠=∠=°，°∴60F FBE ∠=∠=°，∴BEF △是等边三角形．

又∵AB BC =，四边形BCGE 是菱形，∴AB BE BF ==，∴AE FG ⊥∴30EAG ∠=°，∵60EAD ∠=°， ∴30CAD ∠=°． 15、（1）OE OF =．

其证明如下：∵CE 是ACB ∠的平分线，12∴∠=∠．∵MN BC ∥，∴13∠=∠． ∴23∠=∠．∴OE OC =．同理可证OC OF =．∴OE OF =．

(2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线．

(3）当点O 运动到AC 中点时，OE OF =，OA OC =，则四边形AECF 为Y ，要使AECF 为正方形，必须

使EF AC ⊥．

∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形，

∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形． 16、（1）解：由

28

033

x +=，

得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．

∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ?=+???=-+?

，．解得56x y =??

=?，．∴C 点的坐标为()56，． ∴11

1263622

ABC C S AB y =

=??=△·．

(2）解：∵点D 在1l 上且28

88833

D B D x x y ==∴=

?+=，．

∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．

∴8448OE EF =-==，．

17、（1）1EA FC =．

证明：（证法一）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．

由旋转可知，111AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠，，，∴ABE C BF 1△≌△． ∴BE BF =，又1BA BC =Q ，∴1BA BE BC BF -=-．即1EA FC =． (证法二）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．

由旋转可知，11A C A B CB ∠=∠，=，而1EBC FBA ∠=∠，∴1A BF CBE △≌△．

(2）四边形1BC DA 是菱形.

证明：111130A ABA AC AB ∠=∠=∴Q °，∥，

同理AC BC 1∥． ∴四边形1BC DA 是平行四边形. 又1AB BC =Q ，∴四边形1BC DA 是菱形.

18、（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以BE AD AC DE ∥，∥，故四边形ABCD 为平行四边形， 则有5AB AD BC CE ====，所以10BE BC CE =+=，

6AC DE ==，又6

113522OA AC AB OA ??

==== ???

，，垂直于OB ，

所以在Rt ABC △中有222AB OB OA =+，所以1

482

OB BD BD ===，， 故三角形BDE 的周长为861024BD DE BE ++=++= (2）因为四边形ABCD 为菱形，

所以OB OD BE AD =，∥，则DBC ∠=DOQ ∠又BOP DOQ ∠=∠，所以BOP △全等于DOQ △ 故有BP DQ =

19、（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正方形．

如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45?，从而 ∠AGE = 135?．

由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135?，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90?，∴ ∠FEB +∠AEO = 90?． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90?，

∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．

(2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．

∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．

由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45?，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ， ∴ EH = m －a + a = m ．

又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．

由 ∠AEF = 90?，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， ∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE ，即h =（t + 1）a ， 且

FH OE EH AO =，即h

a

a m h n =-+，

整理得 nh = ah + am －a 2

，∴ a

n a m a a n a am h --=--=)

(2．

把h =（t + 1）a 代入得

a t a

n a m a )1()

(+=--，

即 m －a =（t + 1）（n －a ）．

而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得 ta = n ，解得t

n a =． ∵ t ＞1， ∴

t

n

＜n ＜m ，故E 在OB 边上． ∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满足条件，此时E （t

n

，0）．

20、（1）

(2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++

因为y ≠0，整理得：01)(2=-+y

x y x 解得：2

1

5-=

y x

（负值不合题意，舍去） 解法二：由拼成的矩形可知：y

x

y y x y x =+++)(

以下同解法一．

21、（1）在Rt ABC △中，

2222201216BC AC AB --=，

1216192ABCD S AB BC ==?=矩形·．

(2）Q 矩形ABCD ，对角线相交于点O ，

4ABCD OBC S S ∴=△，Q 四边形1OBB C 是平行四边形，11OB CB OC BB ∴∥，∥， 11OBC B CB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，，又BC CB =Q ，1OBC B CB ∴△≌△，

112962OBB C OBC ABCD S S S ∴==

=△， 同理，1111111

48222

A B C C OBB C ABCD S S S ==??=， H x

O E

B A

y

C

F

22、(1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）； (2）1OM OA MN AB ON OB ∴

==Q ∥，，2111

22

OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； (3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,

F 点的坐标满足4x t y t =??

=-+?，

，

即(4)F t t -，， 同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)， 所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△

2221111324248822222

t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()()； ②当02t <≤时，22211515

44221622

S t t ==???=，，

解得125052t t =-<=>，，两个都不合题意，舍去；

当24t <≤时，223

5882

2S t t =-+-=，解得347

33

t t ==，， 综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的面积的5

16

．

23、如图，连结AC 、BD ．

∵ PQ 为△ABC 的中位线，∴ PQ 2

1

AC ． 同理 MN

2

1

AC ．∴ MN PQ ，

∴ 四边形PQMN 为平行四边形．在△AEC 和△DEB 中，

AE ＝DE ，EC ＝EB ，∠AED ＝60°＝∠CEB ，即 ∠AEC ＝∠DEB ．∴ △AEC ≌△DEB ．∴ AC ＝BD ． ∴ PQ ＝

21AC ＝2

1

BD ＝PN ，∴ □PQMN 为菱形． 24、（1）正确．

证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．

BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．

CF Q 是外角平分线，

45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．

90AEB BAE ∠+∠=Q °，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．

(2）正确．

A

D

F

N A D

F C G

E

B

M

使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=．

45N PCE ∴∠=∠=°．Q 四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥．

DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴

△≌△（ASA ）．AE EF ∴=． 25、Q ABCD 是正方形，

90AD AB BAD ∴=∠=，°． DE AG Q ⊥，

90DEG AED ∴∠=∠=°． 90ADE DAE ∴∠+∠=°．

又90BAF DAE BAD ∠+∠=∠=Q °，

ADE BAF ∴∠=∠． BF DE Q ∥，

AFB DEG AED ∴∠=∠=∠．

在ABF △与DAE △中，AFB AED

ADE BAF AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

，

(AAS)ABF DAE ∴△≌△．

BF AE ∴=． AF AE EF =+Q ， AF BF EF ∴=+．