线性规划在运输问题中的应用

摘要

随着我国市场经济的不断完善，同地区、不同地区、甚至跨国间的企业交易更加的频繁。因此，在运输中如何降低运输费用、减少运输路线等问题，已经成为交易活动的重点，而随着社会分工的细化，物流和运输业不断的发展，运输问题也就变的越来越复杂，运输量有时候非常巨大，所以科学的组织运输显得十分重要。线性规划主要应用于解决最优化问题，而运输问题可以看作是一类特殊的线性规划问题。本文结合案例，分析了运输问题的基本特征及解决策略，并通过实例对运输问题进行了优化分析建立了线性规划的数学模型，并借助计算机进行求解，在本篇文章中主要应用的是excel求解，能快速准确的得到最优化方案，提高了实际运输工作中的经济效益。

关键词：线性规划；运输问题；excel

Linear Programming In The Application Of The

Transportation Problem

09404323 Li Yong Information and Computing Science

Faculty adviser Dong Jian-xin

Abstract

As the constant improvement of market economy in our country, trade become more frequently in the same areas, different regions and even multinational companies. In transit, therefore, how to reduce the transportation cost, reduce transport routes and other issues has become the focus of trading activities. With the refinement of social division of labor, the development of logistics and transport, transportation problem also becomes more and more complex, traffic sometimes very large, so the science of organization transportation appears very important. Linear programming is mainly applied to solve the optimization problem. Transportation problem can be regarded as a kind of special linear programming problem. Combining with the case, analyzes the basic characteristics of the transportation problem and solving strategy, and through the instance analysis of transportation problem is optimized, so that linear programming mathematical model is established. The solution can be obtained with the aid of computer. In this article, the problem is solved by the application of excel which can quickly and accurately get optimal solution. In addition, it also improve the economic efficiency in the actual transportation work.

Key Word:Linear programming; transportation problem; excel

目录

引言 (2)

1. 线性规划的基本理论 (2)

1.1 线性规划的基本概念 (2)

1.2 线性规划的一般数学模型 (3)

2．线性规划在运输问题中的应用 (3)

2.1 运输问题的基本特征 (3)

2.2 运输问题的解决策略 (4)

2.2.1 产销平衡运输问题的一般作法 (4)

2.2.2 产销不平衡运输问题分两种情况 (4)

3.应用excel求解运输问题简介 (5)

3.1 运输问题的形式 (5)

3.2 在excel中的形式 (5)

3.3 excel求解步骤 (6)

4.运输问题实例 (6)

5.结束语 (11)

6.参考文献 (12)

致谢 (13)

线性规划在运输问题中的应用

09404323 李勇信息与计算科学

指导教师董建新

引言

线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它经常作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥，经济规划、经营管理等各方面提出的大量问题。而最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流产业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案，即运输问题。随着社会分工的细化，物流和运输业得到不断发展，“运输”变得越来越复杂，运输量有时非常巨大，科学组织运输显得十分重要。

在本文中，运输问题只从供给量、需求量和单位运价方面考虑对总运费的影响，而对其他的一些经济因素或非经济因素，如价格折扣、交通限制、中转运输、政府政策等均未考虑。在求解最优方案时，采用了excel求解，能够快速准确的得到最优解。

1. 线性规划的基本理论

1.1 线性规划的基本概念

线性规划（LP）是运筹学的一个重要分支，是数学规划的一个重要组成部分。它所研究的问题可归纳为:在一定的技术经济条件制约下，使某项指标取得最大成果(如利润最大或成本最低)，即为最优设计理论的一种。所谓最优设计理论，就是指在满足一定条件下，按某一种标准，从众多的方案中选择最好的方案。线性规划法是一种基本的数学规划方法，问题的主要特征是所有的约束和目标函数表示成变量的线性关系，约束既可以是等式的，也可以是不等式的，目标函数可取其极小值或极大值。它是管理定量分析的重要方法之一，广泛应用于经济学、管理科学等领域，在线性约束的条件下，使某个线性目标函数达到最优。例如：任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题、运输问题和非生产性问题等。

1.2 线性规划的一般数学模型

线性规划问题就是规定某些变量的值，他们满足一些线性约束条件下，使某一线性函数的目标函数值达到最大或者最小。当然目标函数可能是极小值也可能是极大值；决策变量可能有非负的条件限制，也可能无非负条件限制；约束条件可能是方程式，也可能是不等方程式。线性规划问题得一般形式是：

目标函数：n n x c x c x c inz ......

M 2211++= 约束条件： ???????????=≥≤=≥??++≤=≥??++≤=≥??++)2,

1(0)，或(.........)，或()，或(221

1212221

2111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn n m n n n n （I ） 其中ij x 为决策变量，i c ，ij a ，j b 均为常数，1,2,3;1,2,3i m j n ==。并假设

j b ≥0,否则可将方程两端同乘以（-1），将右端常数化为非负数，并简称（LP ）

问题。

如果原数学模型中第 i 个约束条件为“小于等于”或“大于等于”不等式；则在左边“加上”或“减去”一个非负的松驰变量0i s ≥,即可化为等式方程：i i n in b s x a x a x a =+++......212111，并令i s 在目标函数中的系数为“零”。

2．线性规划在运输问题中的应用

在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。 运输问题就是讨论有关物资调运的问题,即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站,要求在供给和需求平衡的同时,制定出流量与流向,使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题,根据问题的要求,建立数学模型,用表上作业法或线性规划软件求解,即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。

2.1 运输问题的基本特征

运输问题解决的是已知产地的供应量、销地的需求量及运输单价，如何寻找总配送成本最低的方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理。

运输问题的条件包括需求假设和成本假设。需求假设指每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。

2.2 运输问题的解决策略

运输问题一般分为产销平衡问题和产销不平衡问题。

2.2.1 产销平衡运输问题的一般作法

假设某物资有m 个产地12m A A A 、……，各地的产量分别为123m a a a a 、、；n 个产地12n B B B 、……,各地的产量分别为n b b b ??21、;物资从产地i A 运往销地j B 的单位运价为ij c ,ij x 为第i 个产地调运给第j 个销地的物资的单位数量，满足

∑∑===n j j m i i

b a 11：其数学模型为：

11m n

ij ij i j Minz c x ===∑∑

1

1

(1,2).(1,2)0(1,2;1,2)m

ij i i n

ij j j ij

x a i m s t x b j n x i m j n ==?==???==???≥==??

∑∑产地约束

销地约束非负约束 (II)

2.2.2 产销不平衡运输问题分两种情况

(1)总产量大于总销量，即满足11m n

i j i j a b ==>∑∑，此时只需要增加一个假象的销

地j=n+1(实际上是库存),该销地的总需求量为（11m n

i j i j a b ==-∑∑），而单位运价表中

冲个产地到假想销地的单位运价',1i n c +=0（i =1，2……m ），就转化成了一个产销平衡问题,此时其数学模型与表达式（II ）基本相同。

(2)类总产量小于总销量，即满足11m n

i j i j a b ==<∑∑,此时其数学模型与表达式（II ）

也基本相同，可以在产销平衡表中加一个假想的产地i=n+1,该地产量为

（11n m

j i j i b a ==-∑∑），在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价'1,m j c +=0

（j =1，2……n ）同样可以转化成一个产销平衡的运输问题。

现实生产的情况往往比较复杂，许多实际问题不一定完全符合运输问题的假设，可能一些特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合运输问题条件。一般来说，如果一个问题中涉及两大类对象之间的联系或往来，且该问题能提供运输问题所需要的三类数据：供应量、需求量、单位运价，那么这个问题（不管其中是否涉及运输）经适当约束条件的处理后，基本都可以应用运输问题模型来解决。例如⑴追求的目标是效益最大而非成本最低，此时仅将表达式（II ）中目标函数中Min 的改为Max 即可；⑵部分（或全部）的供应量（产量）代表的是从产地提供的最大数量（而不是一个固定的数值），此时只需将表达式（II ）中的产地约束中部分（或全部）的“=”改成“≤”即可；⑶部分（或全部）的需求量（销量）代表的是销地接收的最大数量（而不是一个固定的数值），此时只需将表达式（II ）中的销地约束中的“=”部分（或全部）改成“≤”即可；⑷某些目的地同时存在最大需求最小需求，此时的解决办法是将表达式（II ）中的相应的销地约束中的“1(1,2,

)n ij j j x b j n ===∑”一个式子分解成“最大需求”和 “最小需求”的两个式子

即可；⑸某些配送中不能使用的出发地—目的地组合，此时的处理方法是添加一个新的约束条件ij x =0.

3.应用excel 求解运输问题简介

3.1 运输问题的形式

销售地 产地

运价表 产量 销量

3.2 在excel 中的形式