第12-15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题(含答案)-

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题

(考试时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题50分．)

1．化简繁分数：=3

-2-1--5-4-6

--

( ) (A)32 (B)-3

2 (C)-2 (D)2 2．化简分式：=+÷++÷++222222)n m n -m ()n m 2mn -(1)n -m n m ()n m 2mn (1-1 (A)2n)(m 4mn + (B) 2

n)(m 2mn + (c)0 (D)2 3．设a ≠b ，m ≠n ，a ，b ，m ，n 是已知数，则方程组???????=+++=+++1n

b y n a x 1m b y m a x 的解是( )． (A)???????+++=+++=b a n)m)(b (b y b a n)m)(a (a x (B) ???

????++=++=b -a n)n)(b (a y b -a m)m)(b (a x (C) ???????++=++=b -a n)m)(b (b y b -a n)m)(a (a x ((D) ???

????++=++=b -a n)m)(b (b -y b -a n)m)(a (a x 4． 已知x+y ≠0，x ≠z ，y ≠z ，且1+

z)-y)(x (x yz ++z)-y)(y (x xz +=z)

-z)(y -(x xy ，则必有( )．

(A)x ＝0 (B)y ＝0 (C)z ＝0 (D)xyz ＝0

5.一共有( )个整数x 适合不等式|x-2 000|+|x|≤9 999．

(A)lO 000 (B)2 000 (C)9 999 (D)8 000

6．方程组??

???=+=+=+2xy z 2xz y 2yz x ，的解共有( )组．

(A)l (B)2 (C)3 (D)≥4

7．设，2为自然数，A ＝14444n 2n +?+?

位位，则( )．

(A)A 为完全平方数 (B)A 为7的倍数

(C)A 恰好有3个约数 (D)以上结论都不对

8．设轮船在静水中的速度为v ，该船在流水(速度为u

(A)T=t (B)Tt (D)不能确定T ，t 的大小关系

9．如图，长方体ABCD —A'B'C'D ’长、宽、高分别为a ，b ，c ．用

它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一切再立切两刀，可分成2

×3×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面

积之和为( )．

(A)6(ab+bc+ca) (B)6(a+c)b+4ca

(C)4(ab+bc+ca) (D)无法计算

10．打字员小金连续打字14分钟，打了2 098个字符，测得她第一分钟打了112个字符，最后一分钟打了97个字符．如果测算她每一分钟所打字符的个数，则( )不成立，

(A)必有连续2分钟打了至少315个字符

(B)必有连续3分钟打了至少473个字符

(C)必有连续4分钟打了至少630个字符

(D)必有连续6分钟打了至少946个字符

二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分．)

1．分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3＝ ．

2．已知2

222)(x C 2x B 1-x A 2)1)(x -(x 3x ++++=++，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝ ，B ＝ ，C ＝ ，

3．化简：xy

-y)x -(x -x xy z zx x)y (z x xz -y yz -z)x -(y x yz x 222222++++++++

=

4．若x-y＝l，x3-y3＝4，则x13-y13＝．

5. 已知x6+4x5+2x4-6x3-3x2+2x+l＝[f(x)]2，其中f(x)是x的多项式，则f(x)＝．6．设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数．则N的最大值是．

7．设自然数x>y，x+y＝667，x，y的最小公倍数为P，最大公约数为Q，P＝120Q，则x-y 的最大值为 .

8．方程4x2-2xy-12x+5y+ll＝0有组正整数解，

9．一个油罐有进油龙头P和出油龙头Q．油罐空时，同时打开P、Q，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q，12小时后关上；接着打开P，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q，5小时后油罐恰好流空．那么P的流量是，Q的流量的倍．

10．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，

每个圈填1个数，不同的圈填不同的数．然后在两端填了x和y的每

条边上标上|x-y|的数值，使得图中的9条边所标的数值刚好是1，2，

3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中)

初二答案

一、1．B．2．A． 3．D．

4．D．以(x+y)(x-z)(y-2)乘原式两边，化简得xyz=O．

5．C．若x≥2 000，则不等式变为(x一2000)+x≤9 9 9 9，即2000≤x≤5 9 9 9．5，共有4000个整数适合；若O≤x<2000，则不等式变为(2000一x)+x≤9 9 9 9，2 000≤9 9 9 9，恒成立，又有2000个整数适合；若x

7．A．易见A=44···488···89(n个4，n-1个8)，记为An．则A1=49=72，A2=4489．=672，A3=444889=6672，…，An=66…6 72(n-1个6),A是完全平方数．但A2不是7的倍数．A3能被1，2 3，2 9，6 6 7等整除，不止3个约数．

8．C．设A，B相距S,T/t>1．T>t．

9．B．面积和=2×3×ab+2×2×ac+2×3×bc=6ab+4ac+6bc．

1 O．_D．小金中间的l 2分钟打了

2 09 8一ll 2—9 7=1889个字符．把这1 2分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段2分钟、3分钟、4分钟，由1 88 9÷6：

3 1 4…5，1 88 9÷4=

4 7 2…1，1 889÷3=6 29…2，应用抽屉原理知(A)，(B)，(C)均成立．但1 8 8 9÷2—944…1，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是11 2，1

5 8，1 5 7，1 58，1 5 7，1 58，157,l 5 8，1 5 7，1 5 8，l 5 7，1 5 7，1 5 7，9 7，则她连续6分钟最多打了3×(1 5 8+1 5 7)=94 5个字符，结论(D)不成立．

二、

1．3(x一2)(y一2)(z—y)．．

2．4/9；5/9； -7/3 通分，分子相等，是恒等式

3．0．

4．5 2 1．

5．±(x3+2x2-x-1)．

6．1 6 8 1．设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99，x2=1OOm2+y，y=x2—100m2=(x+1Om)(x-1Om)．令x+10m=a，x-1OOm=b，则b≥l，m≥1，x=1Om+b≥11，a=x+10m≥21，我们要求x的最大值．若m≥4，则x=10m+b≥4 1，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=1 6，N=1681．显然当m≤3时，z≤4 O，故N=1 6 81为所求最大值．

10．答案如图．(此图旋转或翻折亦符合题意)把标上数值a的边称为“边a’’．则边9两端必为0，9；边8两端必为O，8；边7两端必为0，7．0必与9，8，7相邻．O不能再与其他数相邻．从而边6两端必为9，3；边5两端必为8，3．若O在圆周上，由3与8，9相邻，以及边4的两端必为9，5或7，3，便可填得上图．若O在中央，易见不能有符合要求的图形．

第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题

(考试时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)

1．化简繁分数：=8

-7-6-7--3-2-8-9--5-4-6-7--

2-1-8-9--

( ) (A)-35 (B) 35 (C)-53 (D)以上答案都不对 2．设a ：b=3：5，求下式的值：

33332

2222222b)-(a b)(a b)-(a -b)(a b a b -4a -b a 4b -a b -a b 6a -b -a 6b a +++÷++++＝( )． (A)-92616175 (B) 30671235 (C)9157 (D) 7

3 3．已知x-2x 1＝2，则以下结论中，；①54x 1x 22=+②118x 1-x 33=③5432x 1x 5

5=+ 有( )个是正确的：

(A)3 (B)2 (C)l (D)0

4.方程组 ???????==+2by

-cx axy 1cy bx axy (b ≠2c ，c ≠-2b)的解是( )， (A) ???????++=++=c)a(2b )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 2222 (B) ???

????+=+=b)-a(2c )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222 (C) ???

????++=+=)a(2b )c 2(b y b)-a(2c )c 2(b x 2222c (D) ???????+=++=b)-a(2c )c 2(b y c)a(2b )c 2(b x 2222

5.下面的图形中，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏，下笔后笔不能离开纸)．

(A)0 (B)l (C)2 (D)3

6.三位数中，十位数字比百位和个位数字都要大的三位数有 ( )个．

(A)315 (B)240 (C)200 (D)198

7．5支足球队进行循环比赛(每两支球队都赛一场)，已知甲队已赛3场，乙队比甲队赛的场数多，丙队比甲队赛的场数少，丁队与戊队赛的场数一样多，但丁队与戊队没赛过．那么，总的比赛场数是( )．

(A)8 (B)7 (C)6 (D)5

8．如图，梯形ABCD 被对角线分为四个小三角形．已知△AOB 和△

BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是( ) m 2．

(A)144 (B)140 (C)160 (D)无法确定

9．一个平面图形，如果沿着一条直线对折能做到自身重合，便称

为轴对称图形，例如正方形是轴对称图形(因为沿它的一条对角

线对折，可做到自身重合)．在下图中的4个图形中有( )个是轴对称图形．

(A)4 (B)3 (C)2 (D)l

10．下面算式中，每个汉字代表0，l ，2，……，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是( )．

(A)2 (B)3 (C)4 (D)≥5

二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，)

1．分解因式：(2x-3y)3+(3x-2y)3－125(x-y)3＝ ．

2.已知2

x C Bx 1x A 2)1)(x (x 12x 3x 222++++=++++，其中A ，B ，C 为常数，则B ＝ ． 3.化简：b)

-a)(c -(c b)(a 2c a)-c)(b -(b a)(c 2b c)-b)(a -(a c)b)(a a(a 22++++++= . 4．若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7

＝ ．

5．已知6x 2+7xy-3y 2-8x+10y+c 是两个x ，y 的一次多项式的乘积，而c 是常数，则c ＝

6．设n 是三位完全平方数，且n 的逆排数(把的数字从右到左逆排所得的数)也是完全平方数，这样的数n 共有 个．

7．已知a 、b 和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b 的最大值是

8．方程y

143x ＝3有 组正整数解． 9．一个深水井，现有5 000立方米储水量，并且地下水以每秒0．5立方米的流量涌进井内，但水井储水量达到7000立方米时便停止涌水．水井安装有往外抽水的水泵4台，每台每秒出水量0．2立方米，如果开始每天白天(7～19时)开3台水泵，晚上(19—7时)开l 台水泵，3天后，改为白天开4台水泵，要使每台水泵的出水量不减少，最多能开小时?(答案四舍五入为整数)

10．花城中学初22(A)班的女同学计划制作200张贺年卡．如果每人做8张，任务尚未完成；如果每人做9张，则超额完成任务．后来决定增派4位男同学参加制作，任务改为300张，结果每人做了11张，超额完成了任务，那么，初二(A)班女同学共有 人．

初 二答案

一、1．A ．2.C3．B ．4．C ．5．D ．6．B ．

7．C ．乙队已赛过4场．若丙队只赛过1场，则丙队与甲队没赛过。甲队必与戊、丁两队赛过，故戊、丁两队均赛过2场，总比赛场数是(3+4+1+2+2)÷2=6．若丙队赛过2场，戊、丁两队均赛过z 场，则3+4+2+x+x 不是偶数，引出矛盾．

9．B ．易见第1，2，4个图形是轴对称图形，但第3个不是．

10．C ．若“好”≥5，则“客”=1，故“好"=7或9．若“好”=7，则“居"=3，引出矛盾；若“好"=9，则“居’’=9，引出矛盾．故“好’’≤4．显然“好"≠1；若“好”=2，则“客”≤4，只有“客"=4，从而“居”=7，引出矛盾；若“好”=3，则“客"≤2，但若“客”=1，则“居”=7，引出矛盾；若“客"=2，则“居"=4，引出矛盾．故只有“好”=4．(以下的推理为：“好"=4→“客"=2→“居"=8→“上”=1-->“然”=7→“天”=9．算式为2 1 9 7 8 X 4=87 9 1 2．)

2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初二试题

二、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得0分，本大题满分50分)

1．化简繁分数：( )

2．设2a：3=4b：5，a，b≠0，则

( )

3．设a≠0，b≠0，2a+9b≠0，a+2b≠0，则关于x，y的方程组

的解是 ( )

4．方程|x|+|x-2002|=|x-1001|+|x-3003|的整数解共有 ( )

A．1002个 B.1001个 C. 1000个 D．2002个

5．以[ x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，或称为x的取整，例如[3]=3，

[3．2]=3，[3．7]=3．设S=

则 30S= ( )

A．1 B．2 C.3 D．0

6．设n=1234567900987654321，则 ( )

A．n是9的倍数 B,n不是11的倍数

C．n是完全平方数 D.以上结论都不对

7．如图，延长梯形ABCD两腰DA和CB交于点P，两对角线AC和BD交

于点Q，△PAB和△QBC的面积分别是20和6，则△PCD的面积为( )

A．50 B．48 C.45 D．40

8．已知x+y=1，x3+3x2+3x+3y-3y2+y3=37，则(x+1)4+(y-1)4= ( )

A．337 B．1 7 C．97 D．1

9．一个正整数，如果把它的数字逆排，所得的数仍然和原数相同，便称之为“回文数”．设n 是5位回文数，n 的个位数字是6，如果n 恰巧又是完全平方数，那么n= ( )

A ．61 616 B. 63636 C ．65656 D ．69696

10．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶(不上1阶)，那么小明上12阶楼梯的不同方法共有 ( )

(注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．)

A 1 5种 B. 14种 C ．13种 D ．12种

二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分，本大题满分共50分)

11．已知3

1)3)(1(1632222223+++++=++++-x D Cx x B Ax x x x x x ，其中A 、B 、C 、D 为常数，则A= 。 12．小聪登上五羊纪念塔观光，他发现：他上了7阶楼梯时，剩下的楼梯阶数是已上的阶数的3倍多；当他再多上15阶楼梯时，已上的阶数是剩下的楼梯阶数的3倍多．那么，五羊纪念塔的楼梯一共有 阶．

13．五羊自行车厂组织78位劳动模范参观科普展览，为了节省经费，决定让其中10位劳模兼任司机．厂里有2种汽车：大车需1名司机，可坐11位乘客；小车需1名司机，可坐4名乘客．大车每辆出车费用为150元，小车每辆出车费用为70元．现备有大车7辆，小车8辆．为使费用最省，应安排开出大车 辆．

14．如图，四边形A BCD 对角线分四边形所得的4个三角形面积为

S △AOB =52，S △BOC =26，s △COD =34，S △DOA =68．又E,F,G 、H 分别是边

AB 、BC,CD 、DA 上第1个2等分点、3等分点、4等分点和5等分

点，则S 四边形EFGH = .

15．分解因式：(1-7t-7t 2-3t 3)(1-2t-2t 2-t 3)-(t+1)6= ．

16．五羊灯泡厂设3重产品抽检程序．从流水线传递来的成品灯泡，第1重抽检是每5个抽查1个，第2重是每12个抽查1个，第3重是每32个抽查1个(每次抽查后都不放回)，每重抽检均是从到达的第1个灯泡开始检查．那么10000个灯泡经3重抽检程序后，最后还剩下 个．

17．小松、小菊比赛登楼梯．他们在一幢高楼的地面(一楼)出发，到达28楼后立即返回地面．当小松到达4楼时，小菊刚到达3楼，如果他们保持固定的速度，那么小松到达28楼后返回地面途中，将与小菊在 楼相遇．(注：一楼与二楼之间的楼梯，均属于一楼，以下类推．)

18．五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票(不足30人的余数不优惠)．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4788元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人 ．

19．设77=m ，7m =n ，则7n 的末3位数字为 ．

20．在1，2，3，…，888中，既不与12互质，也不与45互质的整数共有 个．

2002年第14届“五羊杯"数学竞赛初二

一、选择题：1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C

8．A 9．D 10．D

2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题

一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分)

1．化简：( )

2．设3a ：(a-b)=(3a+b)：a ，其中a ，b≠0，a≠b，2a ≠±3b,则

( )

3．设x+y+z+u=1，(2x+y)：1=(2y+z)：2=(2z+u)：3=(2u+x)：4，则7x+3y+3z+u= ( )

A ．3

B ．2

C ．1．5

D ．1．2

4．方程组 165232526=+-=+-=+x

z zx z y yz y x xy ( ) A 没有解 B 有1组解 C.有3组解 D ．以上答案都不对

5．方程组3|x|+2x+4|y|-3y=4|x|-3x+2|y|+y=7 ( )

A 没有解 B.有l 组解 C.有2组解 D ．有4组解

6．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ?表示不小于x 的最小整数, x ?表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4?=4， 3.4?=3．

方程2 x +3 x ?+ x ?=22 ( )

A.没有解

B.恰好有1个解

C.有2个或3个解 D ．有无数个解．

7． x , x ?, x ?意义同上题，设x>0，则表示x 四舍五入到整数的式子是 (． )

A x+O ．5 _B. x-0．5? C. x ? D.以上答案均不对

8．如图，∠1+∠2-∠3-∠4+∠5-∠6-∠7+∠8-∠9= ( )

A ．-180° B. 0° C. 180°D．360°

9．书店发售《广州))丛书．此丛书分为“第一册·古代广州”、“第二册·近代广州”、“第三册·现代广州”．小杨、小成、小郝三人同去购此丛书，每人每册书都可以选购一本或不购，三人合起来发现每一册都购到了，而且每册都至少有一人没购到，那么不同的购书方案共有( )种．

A ．512 B.343 C ．216 D.以上答案都不对

10．在201，202，203，…400中与12不互质的数的总和是 ( )

A.50200 B ．53667 C ．33467 D ．40300

二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分，本大题满分共50分)

11.已知1

1110622243+-+++++=+++x x D Cx x x B Ax x x x x ，其中A ，B,C,D 为常数，则A+B+C+D= ．

12．以下算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不

同的数字，且“飞”<“龙”<“上”<“天”，则算式的结果(差)

为 ．

13．甲、乙两个汽车总站相距42公里，有3家汽车公司都开辟甲、乙间往返班车；A 、B 、C 公司的班车分别是每相隔1．4公里、0．5

公里、2．1公里设一个上落站，并商定在同一处设上落站的均合用一

站．注意马路两侧都设站，不算两个总站，途中共设上落站 个．

14．图由36个边长为1厘米的正方形组成．图中所有能够数得出来的长

方形(包括正方形)的周长之和为 厘米．

1 5．分解因式：(ay+bx)3-(ax+by)3+(a 3-b 3)(x 3-y 3)= ．

16．(x 2003+x 2002+x 2001+…+x 16+x 15)2的展开式中x 1015项的系数是 ．

17．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到第16阶但不踏到第7 阶和第15阶，那么不同上法共有 种．

18．挂钟每天慢30秒．若在7月7日12时校正挂钟，到7月17日14时与15时之间，挂钟时针和分针重合，此时标准钟应为7月17日 ．(答案精确到秒)

19．三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公 里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶 公里．

20．设x ，y 是非负整数，x+2y 是5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y≥99，则7x+5y 的最小值是 。

2003年第15届“五羊杯"初中数学竞赛初二

一、选择题：1．A 2．B 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 提示：

9．C 对“第一册·古代广州"，每人可购可不购，有2种选择，3人便有2×2×2=8种选择．但以下这2种选择是不行的，就是3人都不购或者3人都购．

所以实际上只有6种选择．同理，对第二册、第三册，3人也分别有6种选择．从而不同的购书方案有6×6×6=216种．

10．D 自然数n 与12不互质，相当于n 被2或3整除．设S 是201，

202，203，…，400的全体，A 是其中偶数的全体，B 是S 中3

的倍数的全体，C(图中的阴影部分)是S 中6的倍数的全体，那

么题目所求结果等于S中被2或3整除的数之和，等于A中的数之和，加上 B中的数之和，减去C中的数之和，即为：

(202+204+206+…+400)+(201+204+207+…+399)-(204+210+216+…+396)=(202+400)×100÷2+(201+399)×67÷2-(204+396)×33÷2=30100+300×67-300×33=40300．

13．240以O．1公里为单位，称为“段”，则甲、乙相距420段．A公司每14段设站，B 公司每5段设站，C公司每21段设站，则A，B两公司每70段合用2站，A，C两公司每84段合用2站，B，C两公司每105段合用2站，而三个公司每2lo段合用2站．先计算马路一侧的站数：A公司设了29站，B公司设了83站，C公司设了19站，A，B 合用5站，A，C合用4站，B，C合用3站，三公司合用1站，合计设了29+83+19-5-4-3+1=120个站．

故马路两侧共设了240个站．

(注)本题解法实际上用到3阶容斥原理．

14．4704 图中每一条可数出来的线段都是6个不同的长方形的

边，例如AB，它是长方形ABCiDi(i=1，2，3，4，5，6)的边．在

计算这6个长方形的周长和时，AB一共计算了6次．又若AB长

为j厘米(1≤j≤6)，则有(7-y)×7种选择，所以题目所隶的和

L=(1×6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1)×7×6×2=4704厘米．

18．2时15分57秒．到7月1 7日中午12时，校正挂钟已过10天，挂钟指着11时55分．设所求结果为下午x时，显然2≤x<3．设挂钟时针角速度是每小时u度，则分针角

速度是每小时12u度，可列得方程：

(精确到秒)．