二次根式培优专题
二次根式培优专题
一、选择题
1．下列各式中，不是二次根式的是（ ）A ．
45 B ．3π
- C ．
14 D ．
12
2、现有边长AB ＝10，BC ＝5的矩形纸片ABCD ，对角线BD 。在AB 上取一点G ，以DG 为折痕，使DA 落在DB 上，则AG 的长是：（ ） A 、
555+ B 、5510+ C 、555- D 、5510-
3．下列说法正确的是（ ）
A ．若
a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 C ．4284
b a b a = D ．5的平方根是5
4．下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x
5．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．
22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．1-x 122=+-x x D ．
3392+?-=
-x x x
6．下列说法错误的是 ( ） A ．962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式C ．2
2b a +是一个非负数 D.
162+x 的最小值是4
7．若
13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3
8．二次根式13
2(3)m
m ++的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．22 D ．0
9．化简2||(0)x x y x y --<<的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -
10.已知2218102
x x
x x ++=，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 11．若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．互为相反数；B ．互为倒数；C ．互为负倒数；D ．以上均不
对。
12．已知：a=，b=，则a 与b 的关系是（ ） A ．ab=1 B ．a+b=0 C ．a ﹣b=0 D ．a 2=b 2
13．若1≤x ＜2，则
的值为（ ） A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x
D ．2
14．已知，ab ＞0，化简二次根式a 的正确结果是（ ） A ． B ． C ．﹣ D ．﹣
15．把
中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
16．化简二次根式2
2
a
a a
+-
的结果是﹙ ﹚A ．2--a B ．2---a C ．2-a D ．2--a 17．若x<0，则
x
x x 2
-的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2
18．已知a<02
a 2a │可化简为（ ） A ．－a B ．a C ．－3a D ．3a
19．若
11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3
20．已知：1080n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（
） A ．2 B ．3 C ．30 D ．120．
二、填空
1．实数在数轴上的位置如图1所示，化简————。
2．二次根式4
1
22
--x x 有意义时的x 的取值范围是 。 3．若
(3)3m m m m -=?-，则m 的取值范围是
4．使代数式2
21x x -+-有意义的x 的取值范围是 5．已知：
122+--++=
x x y ，则﹙x+y ﹚2017= 。
6．代数式243x --的最大值是 ﹔ 代数式13432---x x 的最小值是__________
7．当1 =+-122x x ﹔ 当51<≤x 时，=-+-5)1(2x x 当0 的结果是＿＿＿； 当a ＝＿＿＿时， 3 1-a 有意义。 8．已知3 2 1a -＝1－a 2 ,则a 的值为＿＿＿＿ 9．若 2440x y y y -+-+=，则xy 的值 。 10．若433+-+-=x x y ，则=+y x 11．若 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 12．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________． 13．化简： =-+-+-222)72()57(2)73( 14．若0＜x ＜1，则化简 4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x ＝ 15．.若a+|a|=0，则等于 。 三．解答题 1．已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和5－3a ，求a 和这个正数 2．已知3 1-x 和323x -互为相反数，且y+4的平方根是它本身，求xy 的立方根 3．求值问题①.当x= 3+2,y=3－2,,求x 2-xy+y 2的值 ②．已知a=3+22，b=3-22，求a 2b-ab 2的值． ③. 已知2 310x x -+=，求22 1 2x x + -的值。 ④已知 9966 x x x x --=--，且x 为偶数， 求（1+x ） 2254 1x x x -+-的值． 图1 ⑤已知：的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y ⑥已知：,a b为实数，且满足 22 994 3 b b a b -+-+ = -，求63 a b -的值。 4．若ABC ?的三边a,b,c满足34 10 25 8 12 22 2 2- = + - + - - +c c b a b a，判断三角形的形状 5．形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）． 例如：化简322 ± 解：这里m=3，n=2，由于1+2=3，1×2=2 即()22+()21=3，2×1=2 由上述例题的方法化简：①．②． 6．阅读下例题：1 2 )1 2 )( 1 2 ( )1 2 ( 1 2 1 1 - = - + - ? = + ；;2 3 )2 3 )( 2 3 ( 2 3 2 3 1 - = - + - = + 试化简：① 3217 + 的值；② 1 n n ++ （n为正整数）的值。 ③+++…+． 7．读取表格中的信息，解决问题 ①计算 1 1 1 c b a+ +， 2 2 2 c b a+ +， 3 3 3 c b a+ +，并猜想 n n n c b a+ +的值； ②求满足( )1 2 3 2018 2 3 + - ? ≥ + + + n n n c b a 的n可以取得的最小正整数值. 四．计算或化简 ①（a－2）)0 ( 2 2 < - a a a ②（a－b）) ( 1 b a b a < - - ③ a a a 1 3- - -④ a 3 1 )3 a( - - n=1 a1= 3 2 2+b1=2 3+c1=2 2 1+ n=2 a2=b1+2c1b2=c1+2a1c2=a1+2b1 n=3 a3=b2+2c2b3=c2+2a2c3=a2+2b2 ………… ⑤ () a b a b a b - ≠ +⑥ 22 22 a a a a +-- ++-⑦ 22 22 b a b b a b -+ ++⑧ 22 11 a a a a ???? +-- ? ? ???? 一．选择和填空题 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D． 2．式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D． 3．下列计算错误的是（） A．B．C．D． 4．估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（） A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥ 6．化简的结果是（） A．B．C．D． 7．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？ （） A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n 8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 9．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3 10．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 11．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5 12．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=． 13．立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数是b，算术平方根等于本身的数的个数为c，倒数等于本身的数的个数是d，则a＋b＋c＋d＝________ 14．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是． 15．观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题： ①请写出第n个等式：a n=＿＿＿＿＿；②a1+a2+a3+…+a n=＿＿＿． 16．设a＝2，b＝3，则54 .0用含有a、b的式子表示为＿＿＿＿＿。 二．计算 ①（1﹣）（1+）+（1+）2 ② ③ ④ 二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。 第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念：一般地，形如 a 的式子叫做二次根式. 注意：这里被开方数 a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义：，二次根式无意义：. 3、二次根式的性质： ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则： a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、 b 都必须是非负数；( 在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式，则应化简，如16 4 . 5、除法法则：a b a( a≥0，b>0)．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意， a 0， b 0，因为b在分 母上，故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念：①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式．要点诠释： ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 )根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型： ① m a 与；② a b 与；③ a b 与；④ m a n b 与. 7 、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 22 8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2，同时它 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算《二次根式》培优专题一精编版
培优专题：二次根式
2020年八年级下册数学培优第一讲二次根式专题
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)