二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
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二次根式的专题提高
一、二次根式的双重非负性
例题:1、使式子
x
x 2-有意义的x 的取值范围是
2、无论x 取任何实数,m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是
3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值
4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ,012442=--+c b c ,求a+b+c 的值。
练习: 1、使式子
1
1
--x x 有意义的x 的取值范围是
2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=
3、若a a a =-+-20152014,则22014-a =
二、简单的二次根式的化简
例题:1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ,则x 的取值范围是 2、把a
b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为
练习: 1、化简(1)a
a
1- (2)2
2x x x
--
2、已知a,b,c 为?ABC 的三边,化简
2
222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是
3、若x
1,则2)1
-1
=
x+
x=
(-
三、二次根式的运算与规律探究
例题:1、观察下列各式:1
2
1
3
12+
1
4
3
1
?
+,
?
=
?
?
+
5
4
6
3
3
3
3
+
?
+,猜测
?
?
?
=
12+
+,1
5
4
2
3
1
2
?
3
?
?
2
=
+
12+
?
2015
1
2014
2016
?
?
?
+2017
练习:
1、设n,k为正整数,,,
,已知,则
2、小明做数学题时,发现
,,,,按上述规律,第n个等式是
3、设S=++…+,求不超过S的最大整数
四、分母有理化
例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如:,与的积不含有根号,我们就说这两个式子互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是二次根式可以这样解:,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
1分母有理化解决问题:①的有理化因式是,
12
得
②计算:
③计算:.
④已知,,则
⑤已知:,,,试比较
a、b、c的大小.
2
1+
+
+
+
3
2
2003
2004
2
3
2、已知则
3、已知实数x,y满足,则
的值为
五、二次根式的计算综合题
(2)
(3)
(4)638638-++
(5)2
4066312
305941
--+
++
六、二次根式的求值
例题:1、先化简,再求值,其中
,
.
2 3、若,
,求xy.
4、设a=,求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值.
5、正数m,n 满足,求的
值.
x x
2、若,,则
3、当时,多项式的值为
4、正实数a,b满足,且满足,求的值
5、如果,求的值.
《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式:形如...a (其中a ______ )的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ;⑵被开方数中不含______ ;⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式: 二次根式化成______________ 后,若 ___________ 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: (1)G.-/a )= ____ (其中a ___ )( 2)a2 = _______ (其中a ___ ) 5. 二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号;如果被开方数是代数和的形式,则先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面。 (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数。 JOb= _________ (其中a^_ b ______ );J a= ______________ (其中a—一b ____ ). \ b (4)分母有理化:把分母中的根号化去,就叫分母有理化,方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式,两个根式相乘后不再含有根式,这样的两个根式就叫互为有理化因式,如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ,b 的有理化因式就是需- Ub . (5)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式,都适用于二次根式的运算. (6)二次根式的加减乘除运算,最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简: 二次根号里又含有二次根式,称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是: 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b,贝U a 2、 b = (x y) 2、_ xy = C、x)2(、._ y)22 xy = (、x .. y)2
培优专题:二次根式
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。
2020年八年级下册数学培优第一讲二次根式专题
第一讲二次根式专题复习 一、知识要点 1、二次根式的概念:一般地,形如 a 的式子叫做二次根式. 注意:这里被开方数 a 可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式. 2 、二次根式 a 有意义:,二次根式无意义:. 3、二次根式的性质: ( 1) a . ( 2 ) a = .( 3 ) a2. 4 、乘法法则: a. b ab (a 0,b 0), 即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘. 要点诠释: ( 1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中 a 、 b 都必须是非负数;( 在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). ( 2 ) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:a1 a2 a3 a n a1 a2 a3 a n (a1 0,a2 0, a n 0); 若二次根式相乘的结果能写成a2的形式,则应化简,如16 4 . 5、除法法则:a b a( a≥0,b>0).即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除. ( 1 )在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a 、 b 的取值范围应特别注意, a 0, b 0,因为b在分 母上,故 b 不能为0. ( 2 ) 运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号. 6 、最简二次根式 概念:①被开方数不含. ②被开方数中不含的二次根式.要点诠释: ( 1 )被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; ( 2 )根号下不含分母,分母中不含根号. 两者必须同时满足. 分母有理化:把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式( a)2a(a 0) 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。一般常见的互为有理化因式有如下几种类型: ① m a 与;② a b 与;③ a b 与;④ m a n b 与. 7 、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,它们的相同, 这些二次根式就称为同类二次根式. 说明:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 22 8、互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a b)(a b) a2b2,同时它
二次根式培优习题
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性:二次根式a 中被开方数a ≥0,且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ; . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a (完整版)二次根式培优.doc
二次根式 专题一二次根式 a (a0) 非负性的综合应用 1. 已知实数 a,b 满足 a 1 2 b 0,则a b_______. 2. 若y 3 2x 4 5 4 2x 3 ,求 ( 5x)y的值. 3.已知xy y 2 x 2 0 ,求x与 y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简 4. 把 a 1 化成最简二次根式正确的结果是()b a b A. b a B. a b C.a b D. b a 5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示,则( a 3)2 (a 5)2化简后为() A .2 B.-8 C. 8 2a D. 2 2a 6. 化简:(x 2)2 (1 x)2 ( x 2) 2 . 7. 已知( a )2 1 ,化简:a2(a 1)2 . 二次根式的乘除运算 专题一二次根式的分母有理化 1.阅读下列运算过程: 2 2 3 2 3 , 2 2 5 2 5 . 3 3 3 3 5 5 5 5 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么化简2 的结果是()6 A. 2 B . 6 C . 6 . 6 D 3 2. 化简: 1 ,甲、乙两位同学的解法如下: 6 5 甲: 1 6 5 = 6 - 5 ; 6 5 ( 65)( 65)
1 6 - 5 ( 6 )( 6 - ) 乙: 5 5 6 - 5 . 6 5 6 5 6 5 下列法正确的是() A.甲、乙的解法都正确 B .甲正确,乙不正确C.甲、乙的解法都不正确D .乙正确、甲不正确3.察下列各式,通分母有理化,把不是最二次根式的化成最二次根式: 1 = 1 ( 2 1) 1) 2 1 = 2 -1, 2 1 ( 2 1)( 2 2 1 1 = ( 1 ( 3 2) 2) 3 2 = 3 - 2, 3 2 3 2)( 3 3 2 同理可得: 1 = 4 - 3 ,?.从算果中找出律,并利用一律算 4 3 ( 1 + 1 + 1 +? + 1 )(2013 1)的. 2 1 3 2 4 3 2013 2012 专题二二次根式乘除中的规律与方法 4. 算:(1)( 2 1)( 2 1) =______;(2) ( 3 2)( 3 2) =______;( 3)(2 3)(2 3) =______;(4) ( 5 2)( 5 2) =______; 根据以上律,写出用n ( n 正整数)表示上述律的式子:___________. 5. 已知 a n 3 n 1 , bn 2 n (n 0 ),比 a、b 的大小. 6.察下列各式及其程: 2 2 2 2 ,: 2 2 2 3 (23 2) 2 2(22 1) 2 2 2 . 3 3 3 3 22 1 22 1 3 (1) 按照上述两个等式及其程的基本思路,猜想 4 4 的形果并行; 15 ( 2)上述各式反映的律,写出用n ( n 自然数,且n 2 )表示的等式,并明它成立.
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算