初一数学立体图形与平面图形基础含答案

立体图形与平面图形基础

中考要求

例题精讲

正方形展开图的知识要点：

第一类：有6种。特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.

简称“141型”

第二类：有3种。特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”

第三类：仅有一种。特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”

第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”

正方形展开图的识别方法：

1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图 （2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图

2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；

从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。

直线、射线、线段的概念：

① 在直线的基础上定义射线、线段：

直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点． ② 在线段的基础上定义直线、射线：

把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线． 点与直线的关系：点在直线上；点在直线外． 两个重要公理：

① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 两点之间的距离：两点确定的线段的长度．

⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A ，B ，C ，D ，…… ⑵ 直线的表示方法：

① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB ，如下图⑴ 也可以写作直线BA ．

(1) (2)

l

A B

② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如上图⑵．

注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序． ⑶ 射线的表示方法：

① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ．

② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．

(3) (4)

l

A

O

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的

端点在前．

⑷ 线段的表示方法：

① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．

② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．

(5) (6)

A

B

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．

中点：

模块一 立体图形

【例1】如图，正方体的下半部分漆上了黑色，在如图的正方体表面展开图上把漆油漆的部分涂黑（图中涂黑部分是正方体的下底面）．

【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．如图所示．

【答案】同解析

【巩固】将一正方体纸盒沿下如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．按照题意动手剪一剪，可知A正确．

【答案】A．

【巩固】如图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】正方体的四个空白面应该相邻，含有阴影的面相对．由展开图的知识可知四个小方块与阴影面是对面，故A错误；由于在一个方向能看到三个面必定能看到有阴影的一面，故C错误；由于左右两块阴影部分为四分之一正方形面积，所以两个阴影部分不可能并排在一起，故B错误；只有D 正确．故选D．

【答案】D

【例2】下列图形中，恰好能与右图拼成一个矩形的是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．因为矩形的两对边相等，ABD都不能与与右图拼成一个矩形，只有C，可与右图拼成一个长宽都为4个小格的矩形．故选C．

【答案】C

【巩固】一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有（）

Ａ.10 Ｂ．8 Ｃ．6 Ｄ．4

【例3】如图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【巩固】三菱柱的侧面展开图是三个长方形，底面是三角形，各选项的展开图外形一样，故本题关键是确定描黑部分的分布．把三棱柱纸盒往上打开为上底面，同时展开侧面，利用空间想象能力，可以确定，第四选项符合该展开图．故选D．

【答案】D

【巩固】如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】由立方体中各图形的位置可知，结合各选项是否符合原图的特征．A、两个圆所在的面是相对的，不相邻，故A错误；B、C中空白的圆圈不与白色的三角形相邻，故B、C错误；D、正确．故选D．【答案】D

【例4】小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】本题考查了正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．只有相对面的图案相同．故选A．

【答案】A

【巩固】芳芳制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】本题考查了正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．根据题意及图示只有A经过折叠后符合．故选A．

【答案】A

【例5】在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试噢！）（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．

【答案】A

【巩固】如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）

Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．

【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A、D经过折叠后，标有字母“M”的面不是下底面，而选项C折叠后，不是沿沿图中粗线将其剪开的，故只有B正确．

【答案】B．

【例6】如图是一个多面体的展开图，每个面上都标注了字母，请你根据回答问题：

（1）这个多面体是一个什么物体？

（2）如果D是多面体的底部，那么哪一面会在上面？

（3）如果B在前面，C在左面，那么哪一面在上面？

（4）如果E在右面，F在后面，那么哪一面会在上面？

【解析】用长方体及其表面展开图的特点解题．这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”

与面“E”相对，面“B”与面“D”相对，“C”与面“F”相对．

【答案】（1）这个多面体是一个长方体；

（2）面“B”与面“D”相对，如果D是多面体的底部，那么B在上面；

（3）由图可知，如果B在前面，C在左面，那么A在下面，

由于面“A”与面“E”相对，所以E面会在上面；

（4）由图可知，如果E在右面，F在后面，那么分两种情况：

①如果EF向前折，D在下，B在上；②如果EF向后折，B在下，D在上．

【巩固】如图六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来．

【解析】结合圆柱、圆锥、三棱柱展开图的特点进行连线．注意圆柱是上下两个圆形的底面和一个长方形侧面组成，圆锥是一个扇形和一个底面圆组成，三棱柱是两个三角形和三个长方形组成．

【答案】同解析．

模块二 直线、射线、线段

【例7】 平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线? 【解析】解决本题时需要注意分类：

如图⑴，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线．

如图⑵，第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线．

如图⑶，第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线．

【答案】解决本题时需要注意分类：

如图⑴，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线．

如图⑵，第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线．

如图⑶，第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线．

【巩固】已知平面上任意四点A 、B 、C 、D 过其中每两点画一条直线，最多可以画（ ）

A ．6条

B ．4条

C ．1条

D ．6条，4条或1条

【解析】略 【答案】A

【例8】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？

【解析】从中发现规律，平面内n 条直线两两相交最多有：(1)

12(1)2

n n n ⨯-+++-=

个交点那么平面内两两相交的6条直线最多有15个交点．

【答案】最少有1个，最多有15个。

【巩固】如图，图中有 条直线，有 条射线，有 条线段，

E D

F C

B

A

【解析】略

【例9】 如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中

点，Q 为MA 的中点，求:MN PQ 的值.

【解析】设AB x =，AC y =，则22y x M N A N A M =-=-，44

y x

P Q A P A Q =-=-，故:2M

N P Q = 【答案】2

【例10】 如图，A ，B ，C ，D 为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物

中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．

D

C

B

A

【解析】略

【答案】应该建在A C ，B D 的交点P 上，如图所示．首先我们使购物中心到A 和C 的距离之和最小，那

么购物中心就应该建在线段A C 的某点处．这是因为如果点P 不在A C 上，根据两点之间，线段

最短，可以知道P A P CA C

''+>．同时我们也能看出，购物中心建在线段A C 上的任意一点，都可以保证购物中心到A ，C 距离之和最小．同理，购物中心若到B ，D 之和距离最小，也必须建在线段BD 上，这样购物中心就必须建在AC ，BD 的交点P 上．

A

C

D

【巩固】线段A B 上有两点P 、Q ，26A B =，14A P =，11PQ =，求B Q 的长． 【解析】情况1，如图⑴，26141123

B Q B P P Q =+=-+=； 情况2，如图⑵，2614111

B Q B P P Q =-=--=． (1) (2)

A

A

B

B

P

Q

P

【例11】 已知A B C ，，三点在同一条直线上，若2B

C A B =，点

D 平分线段A C ，21B D c m =，求B C 的长.

【解析】情况1：如图（1）23217428CD x DA x AB x BD x x BC x ========，，，，，

情况2：如图（2），设20.52142284AB y BC y BD y x BC y =======，，，，

（1）

D

B

A

【巩固】已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD 长. 【解析】关于线段长度和角大小计算的几何题目，如果原题没有图，一定要小心——它的情况可能不唯一.

对于这种题目，我们要找到一个方法，把所有情况不重不漏的找出来. 在解答此类题目时要根据具体题目条件分析，找到一个分类的标准(分类讨论的基本思想)，以下题为例讲解分析.

根据A ，B ，C ，D 四点共线，3cm AB =，2cm BC =，(先取前两个重要条件画图分析)可得下面两种情况(画图)：

B C A B

情况1

情况2

再参看条件4cm CD =，

对于第一种情况可以得到下面两种可能：

D

C

⑴

⑵

对于第二种情况可以得到下面两种可能：

D

B C A C

⑴ ⑵

所以共有四种可能！ 如图⑴3249A D =++=； 如图⑵3241A D =+-=； 如图⑶4(32)3A D =--=； 如图⑷(32)45

A D =-+=. 【答案】如图⑴3249A D =++=； 如图⑵3241A D =+-=

； 如图⑶4(32)3A D =--=； 如图⑷(32)45

A D =-+=. C

B D D C

D

B

C

A

C

【例12】 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知59AD DB =

，9

5

AC C B =且4C

D c m =，求A B 的长. 【解析】方便分析学生不妨把条件适当转化：5

:5:9

9

A D D

B A D D B =⇒=， 9

:9:5

5

A C C

B A

C C B =⇒= 先来看第一个条件5

:5:9

9

A D D

B A D D B =⇒=，由此我们可画得两种情况： （1）

D

B

A

（2）

然后来看条件9

:9:5

5

A C C

B A

C C B =⇒= 由（1）可以得到两种情况

D

C

，此时A B 的长是14c m ；

，此时A B 的长是

112

53

c m ； 由（2）可以得到两种情况：

D

B

A

，A B 的长是

112

53c m . D

A

，A B 的长是

c m . 【答案】（1）

D

C

，此时A B 的长是14c m ； （2）

，此时A B 的长是

112

53

c m ； （3）

D

B

A

，A B 的长是

112

53c m . （4）

D

A

，A B 的长是

c m .

课后作业

１． 指出下列平面图形是什么几何体的展开图．

【解析】结合各平面展开图的构成，联想常见立体图形的展开图特征，可以直接进行判断． 【答案】从左向右依次为：长方体；圆锥；圆柱．

２. 如图，已知B C ，是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN a =，BC b =，求线段A D 的长.

C

【解析】AM ND MB NC MN BC a b +=+=-=-，2AD AM MN ND a b =++=-. 【答案】2a b -

３.如图，在河里有A B

，两岛，一次划船比赛从A岛出发划向B岛，赛程规定必须先划到北岸，然后再划到南岸，最后再划向B岛，问应该怎样选择路线，才能使路程最短？

B

南岸

【解析】略

【答案】路线如图所示

初中数学.图形初步B级.第01讲.教师版Page 11 of 11