初中数学竞赛第二轮专题复习2几何

CB' AC '

CB' AC '

sin ∠ACC ' sin ∠CBB '

初中数学竞赛第二轮专题复习（2）

几何证明的基本方法（1）

一、常用定理

梅涅劳斯定理 设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 A', B', C '

三点共线，则

BA' CB' AC '

? ? = 1.

A' C B' A C ' B

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若 BA' ? ? = 1. 则 A', B', C ' 三点共线。

A' C B' A C ' B

塞瓦定理 设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 AA', BB ', CC '

三线平行或共点，则 BA' ? ? = 1.

A' C B' A C ' B

塞瓦定理的逆定理

设 A', B', C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若

BA' CB' AC '

? ? = 1. 则 AA', BB ', CC ' 三线共点或互相平行。

A' C B' A C ' B

角元形式的塞瓦定理

A', B', C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则

AA', BB ', CC ' 平行或共点的充要条件是 sin ∠BAA' ? ? = 1.

sin ∠A' AC sin ∠C ' C B sin ∠B' BA

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形，则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当 A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点，P 不同于 B ，C ，则有

PC BP AP 2=AB 2?

+AC 2?

-BP?PC.

BC

BC

欧拉定理 Δ ABC 的外心 O ，垂心 H ，重心 G 三点共线，且 O G =

二、基本方法

1

2

GH .

（一）线段相等

证明两线段相等常可从如下角度去考虑： （ 1）从角考虑：在同一三角形中等角对

等边，在同圆或等圆中等圆周角对等弦、等圆心角对等弦；

（ 2）从线考虑：线段中垂

线上的点到线段两端点的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，平行 的两直线间的距离相等，关于某直线（或某点）对称的两点到直线（或某点）的距离 相等，圆的垂径平分弦相等，两圆的内（或外）公切线长相等，从一点向圆引的两条 切线长度相等；（ 3）从形考虑：全等形的对应边相等，特殊多边形中的边与边、边与 对角线、对角线与对角线之间相等，和差、倍分（例如，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，含 30 0 的直角三角形的斜边是

30 0 角所对边的两倍），三角形、梯形的

中位线与底边的关系，平行四边形的对边相等，对角线互相平分等等；

（ 4）从计算考

虑：可直接计算两线段相等，可通过等量代换转算，可利用比

例式、等积式转算，还可利用一系列定理、公式，例如边比定

理、张角公式等等.

1.1利用三角形中等角对等边：

例题1：如图，设I为△ABC内切圆圆心，而与点A不同的

点D是直线AI与△ABC外接圆的交点，求证：DB=DC=DI.

1.2利用平行四边形对边相等：

例题2：求证：如果圆的内接四边形的两条对角线互相垂直，

则从对角线交点至一边中点的线段等于圆心到这一边的对边

的距离.

1.3利用圆中几类角间关系：

例题3：如图，在△ABC中，AB

点E在BA的延长线上，且

BD=BE=AC，△B DE的外接圆与△

ABC的外接圆交于F，求证：BF=AF

十CF.

（二）角度相等

证明两角度相等常从如下几个方面考虑：（1）从角考虑：直接计算，等量代换，在同一三角形中，等边对等角等；（2）从线考虑：角的平分线的定义及判定，平行线

中的同位角，内错角等；（3）从形考虑：全等形的对应角，相

似形的对应角。圆中圆周角、圆心角、弦切角及相互关系。特

殊多边形中的有关角等；（4）从计算考虑：利用三角函数式计

算等间接计算

平面几何中的线段和角度问题，宛如郁郁葱葱，茫无际涯

的森林，构成了枝繁叶茂，生机勃勃的几何度量问题林海，这

两类问题总是相互联系，相互作用，相互依存，相互制约着的，

因而这两类间题的求解思路，也是相互利用，相互关联的.

1.1利用相似三角形对应角相等：

例题1：如图，设圆内接锐角△ABC，过从B、C为切点的切线相交于点N，取BC 的中点M，试证：∠BAM=∠C AN.

d ，且 1 （ （ （ .

1.2 利用角平分线及内心性质：

例题 2：如图，设 OC 是圆 S 1 的一条弦，今知以 O

为圆心的圆 S 2 与 OC 相交于点 D ，点 D 不与点 C 重 合，且圆 S 2 与圆 S 1 相交于点 A 和 B ，证明： DC 平 分∠ ACB .

1.3 利用内角平分线逆定理：

例题 3： 如图， PA 、PB 、 P C 、PD 的长分别为 a 、 b 、 c 、

1 1 1

+ = + ，又 AB 、 C D 相交于 Q ，求证： PQ

a b c d

平分∠ CPD .

（三）证明平行

论证两直线平行，常从如下几方面着手，从角考虑： 1）通过证被第三条直线截得的同

位角相等、内错角相等、同旁内角互补等来确定两直线平行； 2）从线考虑：通过证两直线

同垂直(或同平行)于第三条直线来确定两直线平行； 3）从形考虑:通过证两直线上的线段是 某些特殊图形，如平行四边形的一组对边，三角形或梯形的中位线和底边等来确定两直线平 行；（4）从比例式考虑:通过证对应线段成比例来确定过对应分点的直线平行；（5）从有关 结论来考虑，在有关图形中，有一些美妙的结论，如同圆中夹等弧的两弦（或一弦与一切线） 平行，过相交（或相切）两圆交点的割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行； 6） 还可从运用其他方法方面考虑：诸如面积法、几何变换法、向量法等

1.1 利用角相等：

例题 1： 如图，自圆 O 外一点 A 引切线，切点为 B ，过

AB 的中点 M 作割线交圆于 C 、D ，连 AC 、AD 又交圆于 E 、 F ，求证： AB// EF .

1.2 利用与第三条直线平行（垂直）：

例题 2： 如图，在△ ABC 中， BD 、 C E 为高， F 、 G 分别为

ED 、 B C 的中点， O 为外心，求证： AO // FG .

1.3 利用平行四边形对边平行：

例题 3： 如图，在正方形 ABCD 内任取一点 E ，连 AE ，

BE ，在△ ABE 外分别以 AE 、 B E 为边作正方形 AEMN 和

EBFG ，连 NC 、 A F ，求证： NC// AF .

1.4利用三角形中位线与底边平行：

例题4：如图，设BP，C Q是△ABC的内角平分线，

AH、A K分别为A至BP，C Q的垂线，证明：KH//BC.

1.5利用三角形线段相似比：

例题5△：如图，在ABC的边AB、BC、CA上分别取点M、

K、L，使MK//AC、M L//BC，令BL与MK交于P，AK与

ML交于Q，求证：PQ//AB.

1.6利用过相交（或相切）两圆交点分别作割线交两圆于

四点，同一圆上的两点的弦互相平行：

例题6：如图，已知在凸四边形ABCD中，直线CD

与以AB为直径的圆相切，直线AB与以CD为直径的

圆相切，求证：BC//RD.

（四）证明垂直

论证两直线相交垂直常从如下几方面考虑，（1）从角考虑：相交成直角的两直线垂直，相交得邻补角相等的两直线垂直，直径所张圆周角的两边垂直；（2）从线考虑：分别与两互垂线平行的两直线垂直，一条直线和两平行线中的一条垂直也和另一条垂直、同圆中夹弧和为半圆的两相交弦垂直，等腰三角形的顶角平分线（或底边中线）

和底边垂直，菱形的两条对角线垂直，过三角形顶点和垂心的直线与顶点所对的边垂

直，两相交圆的连心线与公共弦垂直等；（3）从形考虑：与直角三角形相似对应于直

角的角的两边垂直，圆内接四边形对角相等时角的两边垂直.分别为两边对应垂直的两个相似三角形的第三边的两直线垂直等；（4）从有关结论考虑：满足勾股定理逆定理条件的三角形两短边垂直一线段的两端到另一线段两端距离的平方差相等时此两

线段垂直；（5）还可从其他方法方面考虑:诸如同一法、反证法等.

1.1利用相交两直线所成角为900角：

例题1：如图，已知P、Q分别是正方形ABCD的边AB、B C上的

点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，求证：DH⊥H Q.

（

1.2 利用相交得邻补角相等的两直线垂直：

例题 2：如图，圆 O 经过△ ABC 的顶点 A 、C ，分别与 AB ，BC 交于 K 和 N ，△ABC

和△ KBN 的两个外接圆相交于点 B 、 M ， .求证： OM ⊥ M B .

1.3 利用直径所张圆周角两边垂直（同例题 2）：

1.4 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也和另 一条垂直（同例题 2）：

1.5 利用等腰三角形四线合一：

例题 5： 如图，圆 O 1 与圆 O 2 相交于 A 、 B 两点， O 1 在圆

O2 的圆周上，圆 O 1 的弦 AC 交圆 O 2 于 D 点，求证： O 1D ⊥ B C .

1.6 利用三角形的垂心性质：

例题 6：在矩形 ABCD 的两边 AB 和 BC 上向外作等边△ ABE

和△ BCF ， E A 和 FC 的延长线交于 M ，求证： BM ⊥ E F .

1.7 利用相似直角三角形性质：

例题 7：从等腰三角形 ABC 的底边 AC 的中点 M 作 BC 边的

垂线 MH ，点 P 是 MH 的中点，证明： AH ⊥ B P .

1.8 利用勾股定理的逆定理：

例题 8： 如图，在△ ABC 中，边 BC 等于其余两边之和的一

半，求证：∠ B AC 的平分线垂直于连结内心、 外心的线段 .

（五）点共线问题

同在一条直线上的许多点叫做共线点，或者说这些点共直线。点共直线是一类有趣而引

人入胜的间题，所以长期以来，点共直线的问题，受到人们的关注，历史上众多的数学家也

获得了许多美妙的结果：诸如欧拉线、牛顿线、西姆松线，卡诺定理、戴沙格定理、奥倍尔 定理、帕普斯定理、清宫定理等，点共直线问题仍是数学爱好者青睐的题型之一。

求解点共直线问题涉及的概念较多，覆盖知识面较广，综合性也较强，因此，在求解时

可能陷人困境，为了尽快找到一种切实有效的思路可从如下几个方面去考虑：1）从角考虑： 证得以中间一点为顶点，两侧两点所在射线所成的角为平角，证得以中间一点为顶点且作一

直线，其余两点所在射线构成对顶角，证得以一点为顶点且作一射线，其余两点所在射线与

（ （ （ F F

前一条射线所成的两个角相等； 2

）从线考虑：证第三点在过另两点的直线上，证得三点两 两连结的直线各与同一直线垂直（或平行），证得三点两两连结的线段有和或差关系；（3） 从形考虑：证三点所成的三角形面积为零，证得以一点为位似中心，其余两点为位似变换的 一双对应点； 4）从有关结论考虑：注意到梅涅劳斯定理、张角公式等； 5）从方法上考虑： 可考虑反证法、同一法、面积法等。

论证四点（或四点以上）在一直线上，可先设一条过两点的直线，再让其余各点在此直

线上，或多次运用三点共直线，再证这些直线重合.

1.1 欲证 X 、Y 、Z 三点共线，连结 XY 和 YZ ，证明∠XYZ=1800：

例题 1： 如图，在线段 AB 上任取一点 M ，以线段 AM , BM

为一边，在 AB 的同旁作正方形 AMCD , BEHM ，这两个正方 形的外接圆相交于 M 、 N 两点，求证： B 、 N 、 C 三点共线 .

1.2 欲证 X 、Y 、Z 三点共线，适当地选一条过 Y 的直线 PQ ，证明∠XYQ=∠PYZ： 例题 2：如图，在直角三角形 ABC 中 ,CH 为斜边 AB 上的高，

以 A 为圆心， AC 为半径作圆 A ，过 B 作圆 A 的任一割线交 圆 A 于 D ，交 CH 于 （ D 在 B 、 之间），又作∠ ABG= ∠ A BD ， G 在圆周上， G 与 D 在 AB 两侧，求证： E 、H 、 G 三点共线 .

1.3 欲证 X ，Y ，Z 三点共线，适当地选一条过 X 的射线 XP ，证明∠PXY=∠PXZ： 例题 3：如图，已知 O 是锐角△ ABC 的外心，BE 、CF 为 AC 、

AB 边上的高，自垂足 E 、 F 分别作 AB 、 A C 的垂线，垂足为 G 、 H ， E G 、 F H 相交于 K 。求证： A 、 K 、 O 三点共线 .

1.4 欲证 X ，Y ，Z 三点共线，连接 XY ，YZ （或 XZ ），证其垂直（或平行）某直

线：

例题 4△： ABC 的外接圆 I 上， M 、N 、L 分别为弧 BC 、CA 、AB 中点，连接 NL 与

AB 交于 D ，连接 MN 与 BC 交于 E ，证明： D 、 E 、 I 三点共线 .

1.5欲证三点共线，证其中一点在连结另两点的直线上：

例题5：设在正方形ABCD的边BC上任取一点P，过A、B、P

三点作一圆与对角线BD相交于点Q，过C、P、Q三点再作一圆

与BD又交于一点R，证明：A、R、P三点共线.

1.6运用面积方法证三点共线：

例题6：设四边形ABCD外切于圆O，对角线AC和BD的中点

分别为M、N，试证：M、N、O三点共线.

1.7运用梅涅劳斯定理之逆定理证三点共线：

例题7：设AC、C E是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、

N分别内分AC、CE，使:

AM CN3

==

AC CE3

求证：B、M、N三点共线.

（六）线共点问题

某一点在一平面内的若干条直线上，或一平面内若干条直线过同一点称直线共点。三角

形的三中线、三高线、三边中垂线、三内角平分线分别共点于其重心、垂心、外心、内心是众所周知的。直线共点问题是常见的题型之一，也是平面几何中的典

型问题之一。求解直线共点问题与求解点共直线问题一样，也常从角、

线、形、有关结论等几个方面去考虑.

1.1转化为点共线问题：

例题1△：如图，在正ABC中，D、E、F、M、N、P分别为BC、

CA、AB、FD、FB及DC的中点，证明：AM、EN、FP共点.

1.2注意到交点恰好是三角形的巧合点（内心、外心、垂心、

重心等）：

例题 2：如图，圆 O 内切于△ ABC ， A 1、 B 1、 C 1 分别为 BC 、 CA 、 AB 边上的切点，

AO ，BO ，CO 分别交圆于 A 2、B 2、C 2，求证：A 1A 2、B 1B 2、C 1C 2 共点 .

例题 3：如图，凸四边形 ABCD 的对角线互相垂直，过 AB 、AD

的中点 K 、M 分别引对边 CD ，CB 的垂线 KP ，MT ，求证： KP 、 MT 、 A C 共点 .

例题 4： 如图，设△ ABC 为锐角三角形， H 为自 A 向边 BC 所引高的垂足，以 AH

为直径的圆， 分别交边 AB 、AC 于 M 、N （且与 A 不同），过 A 作直线 L 1 垂直于 MN ， 类似地作出直线 L 2、 L 3，求证： L 1、 L 2、 L 3 共点 .

1.3 注意到交点恰好是三角形的特殊点（顶点、中点、分

点等）：

例题 5： 四边形 ABCD 内接于圆 O ，对角线 AC 与 BD 相交

于 P ，设△ ABP 、△ BCP 、

△ CDP 和△ DAP 的外心分别是 O 1、 O 2、 O 3、 O 4，求证： OP 、 O 1O 3、 O 2O 4 三直线共 点 .

1.4 运用塞瓦定理之逆定理证直线共点：

例题 5： 以△ ABC 各边为底边向外作相似的锐角△

AC 1B 、△ BA 1C 、△ CB 1A ，若∠ AB 1C= ∠ ABC 1=∠ A 1BC ，∠ BA 1C= ∠ BAC 1=∠ B 1AC ，

求证 : AA 1、 BB 1、 CC 1 共点 .