成都美视国际学校数学几何图形初步(基础篇)(Word版 含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求证：△ABC≌△EDC；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.

【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCE，

∴∠ACB=∠ACE.

在△ABC和△EDC中.

∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE.

∴△ABC≌△EDC（SAS）.

（2）解：①在△BCF和△DCG中

∵BC=DC, ∠BCD=∠DCE,CF=CG,

∴△BCF≌△DCG（SAS）,

∴∠CBF=∠CDG.

∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF

∴∠BCF=∠DHF=60°.

②∵EB平分∠DEC，

∴∠DEH=∠BEC.

∵∠DHF=60°,

∴∠HDE=60°-∠DEH.

∵∠BCE=60°+60°=120°,

∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.

∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.

∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG（已证）

∴∠BFC=∠DGC，

∵∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,

∴∠ABF=∠HDE,

∴∠ABF=∠CBE,

∴BE平分∠ABC.

【解析】【分析】（1）由角平分线定义得出∠ACB=∠ACE，由ASA证明△ABC≌△EDC即可.

（2）①由ASA证明△BCF≌△DCG，得出∠CBF=∠CDG；在△BCF，△DHF中，由三角形内角和定理得出∠BCF=∠DHF=60°.

②由全等三角形的性质得出∠A=∠DEG，∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,从而得出∠ABF=∠HDE,∠ABF=∠CBE,即BE平分∠ABC.

2．已知，AB//CD,（1）如图，若E 为DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE 的平分线.

（1）求证：AF//CG.

（2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.

【答案】（1）证明：∵AB//CD

∴∠BAC=∠ACE，

∵AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，

∴∠CAF= ∠BAC, ∠ACG= ∠ACE,

∴∠CAF=∠ACG

∴AF//CG.

（2）解：AF⊥CG，理由如下：

如图，AF、CG 分别为∠BAC、∠ACE的平分线，

∴∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD,

∵AB//CD,

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）=90°，

∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°，

∴AF⊥CG.

【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠BAC=∠ACE，根据角平分线的定义得出∠CAF=∠ACG ，进而根据内错角相等，二直线平行得出AF∥CG；

（2）根据题意作出图形，根据角平分线的定义得出∠1= ∠BAC,∠2= ∠ACD, 根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BAC+∠ACD=180°，从而即可得出∠1+∠2= 90°，根据三角形的内角和定理得出∠3=90°，进而根据垂直的定义得出AF⊥CG.

3．如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、B在直线b上，且于E.

（1）求证：；

（2）如图2，平分交于点F，平分交于点G，求

的度数；

（3）如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线

上一点，且，则、、之间的数量关系是________. 【答案】（1）证明：过作 ,

∴

∴

∴

∴

∴

（2）解：作，，

设，，

由（1）知：，，

，

∴，

∴，

同理：，

∴

（3）

【解析】【解答】解：（3）结论：或

，

I.∠NCD在∠BCD内部时，

过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，

∴∠BCD=3y.

∵a∥b，

∴

∴，，，

∴，，

∴，

∴

∴

II. 在外部时,如图3（2）：

过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，

∴∠BCD=y.

∵a∥b，

∴IG∥a∥

∴，，，

∴，，

∴，

∴

∴.

故答案为：.

【分析】(1) 过作EF∥a,由BC⊥AD可知,由平行可知，,从而可得 = + = ；

(2)作，，设，，由平行线性质和邻补角定义可得，，进而计算出

即可解答;

（3）分两种情况解答：I.∠NCD在∠BCD内部，II 外部，仿照（2）解答即可.

4．如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结并延长交射线于点．

（1）如图1，当时， ________ ，猜想 ________ ；（2）如图2，当点为射线上任意一点时，猜想的度数，并说明理由；

【答案】（1）30；60

（2）解：结论：，

如图：

∵，

∴

在和中，，，

∴

∴．

∴

∴；

【解析】【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，

∴∠ABE=60°，

∴∠EBF=30°；

猜想：；

理由如下：如图，

∵，

，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴；

故答案为：30；60；

【分析】（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.

5．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组的最大整数解．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数；

（3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标y D的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：-8的立方根是-2，

∴a=-2，

方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，

∴，

解得，，

不等式组的最大整数解是5，

则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）

（2）解：作MH∥AD，

∵AD∥BC，

∴MH∥BC，

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠OAD=90°，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠OAD，

∴∠ADO+∠BCA=90°，

∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，

∴∠ADM= ∠ADO，∠BCM= ∠BCA，

∴∠ADM+∠BCM=45°，

∵MH∥AD，MH∥BC，

∴∠NMD=∠ADM，∠HMC=∠BCM，

∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°；

（3）解：存在，

连AB交y轴于F，

设点D的纵坐标为y D，

∵S△ADE≤S△BCE，

∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，

∵A（-2，0），B（2，4），C（5，0），

∴S△ABC=14，点F的坐标为（0，2），

S△ABD= ×（2-y D）×2+ ×（2-y D）×2=4-2y，

由题意得，4-2y D≤14，

解得，y D≥-5，

∵D在y轴负半轴上，

∴y D＜0，

∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D＜0．

【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标；（2）作MH∥AD，根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD，得到∠ADO+∠BCA=90°，根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°，根据平行线的性质计算即可；（3）连AB交y轴于F，根据题意求出点F的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．

6．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射

线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。

小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，

下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）x的取值范围是________；

（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；

（3）在平面直角坐标系xOy中，

①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；

②描出当x＝120°时，y的值；

（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。

【答案】（1）40°

（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），

∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20,

x=60时，y= x-20= ×60-20=10，

x=70时，y= x-20= ×70-20=15，

x=80时，y= x-20= ×80-20=20，

x=90时，y= x-20= ×90-20=25，

补全表格如下：

；

（3）解：①②如图：

x=120时，y= x-20= ×120-20=40；

（4）y= （x-a）

【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，

∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°，

即40°+ x°<180°，x<140°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°），

∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于

40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°，

∴x的取值范围是40°

为y°，

∴∠DPB= °+ y°，

∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°，

∴∠CPB= °+ x°，

∵PD平分∠CPB，

∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°），

∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）.

【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围；

（2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可；

（3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可；

（4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解.

7．已知：如图所示，直线，另一直线交于，交于，且，点为直线上一动点，过点的直线交于点，且 .

（1）如图1，当点在点右边且点在点左边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；

（2）如图2，当点在点右边且点在点右边时，的平分线与的平分线交于点，求的度数；

（3）当点在点左边且点在点左边时，的平分线与的平分线所在直线交于点，请直接写出的度数，不说明理由.

【答案】（1）解：过点作 .

∵平分 .

∴ .

∴（两直线平行，内错角相等）.

同理可证.

.

∴ .

（2）解：过点作 .

∵ .

∴ .

∵平分 .

∴ .

∴（两直线平行，同旁内角互补）.∵平分 .

∴（两直线平行，内错角相等）.∴ .

（3）解：过点作 .

∵平分 .

∴（两直线平行等，内错角相等）.

∴平分 .

.

∴ .

∴（两直线平行，同旁内角互补）.

.

【解析】【分析】（1）过点作，由角平分线定义可

得，利用两直线平行内错角相等，可

得，同理可得∠CPE=∠PCA= ∠DCA=25°，从而求出∠BPC的度数.

（2）过点作 . 利用邻补角定义可得∠DBA=100°，由角平分线定义可得∠DBP= ∠DBA=50°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BPE=130°.根据角平分线定义

及两直线平行，内错角相等角可得∠PCA=∠CPE= ∠DCA=25°，从而求∠BPC的度数.（3）过点作 . 根据两直线平行，内错角相等角可得∠DBP=∠DPE=40°，根

据邻补角可求出∠CPE的度数，由角平分线的定义可得∠PCA= ∠DCA=65°，根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠CPE的度数，继而求出∠BPC的度数.

8．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，则∠APB=________．

（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．

（3）利用(2)的结论解答：

①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．

②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代数式表示)．

【答案】（1）

（2）由（1）可知

∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .

（3）解：①∠P=2∠P1；

由（2）得：，

即∠P=2∠P1；

②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，

∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，

∴

∴

【解析】【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，

∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），

∵CD∥EF（已知），

∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），

∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质），

即

【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠APM=∠DAP，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠MPB=∠FBP，根据角的和差及等量代换即可得出

；

（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之间的关系为： .（3）①∠P=2∠P1；根据（2）的结论，得，由角平分线的定义及等量代换得，

②由(2)得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，根据角平分线的定义及角的

和差，等量代换即可得出结论：∴=180°-.

9．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）

（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；

（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？

【答案】（1）30

（2）解：∵OE平分∠AOC，

∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，

∵∠EOD＝90°，

∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，

∴∠COD＝∠DOB，

∴OD所在射线是∠BOC的平分线

（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．

∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，

∴5x+90°+x+60°＝180°，

解得x＝5°，

即∠COD＝5°．

∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°

∴∠BOD的度数为65°

【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，

又∵∠COB＝60°，

∴∠COE＝30°，

故答案为：30；

【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；

（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝∠AOE＝∠COA，根据角的和差及平角的定义得出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出5x+90°+x+60°＝180°，求解算出x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

10．如图 1，直线分别交于点 (点在点的右侧)，若

（1）求证: ；

（2）如图2所示，点在之间，且位于的异侧，连，若，则三个角之间存在何种数量关系，并说明理由.

（3）如图 3 所示,点在线段上，点在直线的下方，点是直线上一点（在的左侧），连接 ,若 ,则请直接写出

与之间的数量

【答案】（1）证明：∵∠1=∠BEF，

∴∠BEF+∠2=180°

∴AB∥CD.

（2）解：

设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD= 过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB

∵，MP∥AB，NQ∥AB

∴MP∥NQ∥AB∥CD

∴∠EMP= ，∠FNQ=

∴∠PMN= - ，∠QNM= -

∴ - = -

即 = -

∴

故答案为

（3）解：∠N+∠PMH=180°

过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R.

∵，MI∥AB，NQ∥CD

∴AB∥MI∥NQ∥CD

∴∠BPM=∠PMI

∵∠MPN=2∠MPB

∴∠MPN=2∠PMI

∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI

∵∠NFH=2∠HFD

∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD

∵∠RFN=∠HFD

∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM

∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF

即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH

∵3∠PMI+∠PNH=180°

∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°

∵3∠RFM+∠FNH=180°

∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°

即∠RFM-∠PMI= ∠FNP

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH ∠FNP-2× ∠FNP=180°-∠PMH

∠FNP=180°-∠PMH

即∠N+∠PMH=180°

故答案为∠N+∠PMH=180°

【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AB∥CD；（2）设∠N= ，∠M= ，∠AEM= ，∠NFD= ，过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB可得∠PMN= - ，∠QNM= - ，根据平行线性质得到 - = - ，化简即可得到

；（3）过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN

于R，根据平行线的性质可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD，根据对顶角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化简得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根据平行线的性质得到3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，两个等式相减

即可得到∠RFM-∠PMI= ∠FNP，将该等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到∠FNP=180°-∠PMH，即∠N+∠PMH=180°.

11．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：

（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在

内部作射线．

①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；

②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且

，求的度数.

（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°

②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，