平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析

平■面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCES勺顶点分别为A(1,1) B(1 , -1) C(-1 , -1) D(-1 , 1) , y轴上有一点P(0, 2)。作点P关丁点A的对称点p1,作p1关丁点B的对称点p2,作点p2关丁点C 的对称点p3,作p3关丁点D的对称点p4,作点p4关丁点A的对称点p5,作p5关丁点B的对称点p6…，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？

周期均由点P1, P2, P3, P4组成。

第1 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)

第2 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)

第3 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)

第n 周期点的坐标为:P1(2,0) , P2(0,-2) , P3(-2,0) , P4(0,2)

2011 -4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为(一2, 0) 解法2:根据题意，P1 (2, 0) P2 (0, -2) P3 (-2, 0) P4 (0, 2)。

根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：

P4n (0, 2) , P4n+1 (2, 0) , P4n+2 (0, -2) , P4n+3( — 2, 0)。

2011 -4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为(一2, 0)

总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.

个y

A1 宾A5 -A6 A9 A10 ______ .

1 > c q -------- ￡q J K R

】r —I F

O A3 A4 A7 ^8 A11 %2 ‘X

(1) 填写下列各点的坐标：A4( , ) , A8( , ) , A10( , ) , A12( *

(2) 写出点A4n的坐标(n是正整数)；

(3) 按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m (n是正整数)

(4) 指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向.

(5) 指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.(6)指出A106, A201的的坐标及方向。

解法：(1)由图可知，A4, A12, A8都在x轴上，

?.?小蚂蚁每次移动1个单位，.??OA4=2 OA8=4 OA12=6

A4 (2, 0) , A8 (4, 0) , A12 (6, 0);同理可得出：A10 (5, 1)

(2) 根据(1) OA4n=4汁2=2n,二点A4n 的坐标(2n, 0);

(3) ?.?只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，

.,?点A" x轴上，用含n的代数式表示为：m=4诚m=4n-1;

(4) ..2011 + 4=502 ? 3,

???从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右.

(5) 点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100 (50, 0)

和A101 (50, 1),所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

(6) 方法1:点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1, A2, A3, A4组成。

第 1 周期点的坐标为：A1(0,1) , A2(1,1) , A3(1,0) , A4(2,0)

第 2 周期点的坐标为：A1(2,1) , A2(3,1) , A3(3,0) , A4(4,0)

第 3 周期点的坐标为：A1(4,1) , A2(5,1) , A3(5,0) , A4(6,0)

第n 周期点的坐标为:A1(2n-2,1) , A2(2n-1,1) , A3(2n-1,0) , A4(2n,0)

106-4=26…2,所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2 X27-1,1),即(53,1)方向朝下。

201 -4=50???1,所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同，(2 X 51-2,1),即(100,1) 方向朝右。

方法2:由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2即点A104再移动两个单位后到达点A106, A104的坐标为(52, 0)且移动的方向朝上，所以A106的坐标为(53, 1),方向朝下。

同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201, A200的坐标为(100, 0) 且移动的方向朝上，所以A201的坐标为(100, 1),方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0 , 1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0 , 0) T(0 , 1) T(1 , 1) t (1, 0) f],且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？, A 解法1 :到达(1, 1)点需要2秒:￡*1

到达(2, 2)点需要2+4秒*

到达(3, 3)点需要2+4+6秒

Q I 17 1到达(n, n)点需要2+4+6+...+2n 秒=n(n+1)秒' 'T

当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。

35=5X 6+5,所以第5*6=30秒在(5, 5)处，此后要指向下方，再过5秒正好到(5,0) 即第35秒在(5, 0)处，方向向右。

42=6X 7,所以第6X 7=42秒在(6, 6)处，方向向左

49=6X 7+7,所以第6X 7=42秒在(6, 6)处，再向左移动6秒，向上移动一秒到(0, 7) 即第49秒在(0, 7)处，方向向右

解法2:根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在(0, n)处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在(n, 0)处，且方向指向上。

35=62-1 ,即点(6, 0)倒退一秒到达所得点的坐标为(5, 0),即第35秒处的坐标为

(5, 0)方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平■行.从内到外，它们的

边长依次为2, 4, 6, 8,…，顶点依次用A1, A2, A3, A4,…表示，顶点A55的坐标是( )

解法1:观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。

观察图象，点A1、A2、A3 A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1, A2, A3, A4组成。

第 1 周期点的坐标为：A1(-1,-1) , A2(-1,1) , A3(1,1) , A4(1,-1)

第 2 周期点的坐标为：A1(-2,-2) , A2(-2,2) , A3(2,2) , A4(2,-2)

第 3 周期点的坐标为：A1(-3,-3) , A2(-3,3) , A3(3,3) , A4(3,-3)

第n 周期点的坐标为：A1(-n,-n) , A2(-n,n) , A3(n,n) , A4(n,-n)

55-4=13…3, .?.A55坐标与第14周期点A3坐标相同，(14,14)，在同一象限解法2:

?.?55=4X 13+3,二A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4X 1-1 , A3的坐标为(1, 1) , 7=4X 2-1 , A7 的坐标为(2, 2),

11=4X 3-1 , A11 的坐标为(3, 3) ; 55=4X 14-1 , A55 (14, 14)

5、在平面直角坐标系中，对丁平■面内任一点(门n),规定以下两种变换：

(1) f (门n) = (m, — n),如f (2, 1) = (2, - 1);

(2) g (门n) = ( 一m — n),如g (2, 1) = ( —2, - 1).

按照以上变换有：f[g (3, 4) ]=f( - 3, - 4)=( - 3, 4),那么g[f (-3, 2)]等丁( )解：. .? f ( — 3, 2) = (- 3, — 2) , g[f (-3, 2) ]=g (- 3, -2) = (3, 2),

6、在平面直角坐标系中，对丁平■面内任一点(a, b),若规定以下三种变换：

1、f (a, b) = (-a, b).如：f (1, 3) = (- 1, 3);

2、g (a, b) = (b, a).如：g (1, 3) = (3, 1);

3、h(a, b) = (- a, - b).如：h(1, 3) = (- 1, - 3).

按照以上变换有：f(g(2, - 3))=f(-3 , 2) =(3,2)，那么f(h(5,-3)) 等丁( )(5, 3)

7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM勺中点M3i, 第二次从M3跳到OM3勺中点M2处，第三次从点M2B到OM2勺中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点。的距离为( )

Q

眺 峡

M x

解：由丁 OM=1 所有第一次跳动到 OM 勺中点M3处时，OM3=OM=,同理第二次从M3 点跳动到M2处，即在离原点的五2处，同理跳动n 次后，即跳到了离原点的211处

8、如图，在平■面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中 方向排列，如(1, 0) , (2, 0) , (2, 1) , (1, 1) , ( 1 , 2) , (2, 2)…根据这个 规律，第2012个点的横坐标为( )45 .

解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等丁 X 轴上横坐标的平方，

例如：右下角的点的横坐标为 右下角的点的横坐标为2时， 右下角的点的横坐标为3时， 右下角的点的横坐标为4时， 右下角的点的横坐标为n 时， ... 452=2025, 45 是奇数,二第

2025 个点是(45, 0),第 2012 个点是(45, 13),

9、(2007??宁)如图，在平■面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“t” 方向排列，如(1,

0) , (2, 0) , (2,

1) , (3, 2) , (3, 1) ,

(3,

0)…根据这个

规律探究可得，第88个点的坐标为 ().

解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。 坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点… 第n 列有n 个点。

...1+2+3+4+…+12=78,二第78个点在第12列上，箭头常上。

88=78+10, 从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上， 坐标为

1,共有1个，1=12, 共有4个，4=22, 共有9个，9=32, 共有16个，16=42, 共有n2个，

(13, 13-10)，即第88个点的坐标是(13, 3)

10、如图，已知 Al (1, 0) , A2 (1, 1) , A3 (— 1, 1) , A4 (— 1, - 1) , A5 (2, T),则点A2007的坐标为 ( ).

解法1:观察图象，点A1、A2、A3 A4每4个点，图形为一个循环周期 设每个周期均由点A1, A2, A3, A4组成

因为2007-4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502) 解法2:由图形以可知各个点(除A1点和第四象限内的点外)都位丁象限的角平分线上， 位丁第一象限点的坐标依次为 A2 (1,1) A6 (2, 2) A10 (3, 3) ???A4n - 2 (n, n) 因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是 2, 6, 10, 14,即4n- 2 (n 是自然数,

n 是点的横坐标的绝对值)；

同理第二象限内点的下标是 4n- 1 (n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值)； 第三象限是4n (n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值)；

第四象限是1+4n (n 是自然数，n 是点的横坐标的绝对值)；

因为 2007-4=501…3,所以 A2007位丁第二象限。2007=4n- 1 WJ n=502, 故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为(-502, 502).

11、如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米 到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方 向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到 A6, A108点D 的坐标各是多少。

叫A

西东

南

解法1:观察图象，点A1、A2、A3 A4每4个点，图形为一个循环周期 设每个周期均由点A1, A2, A3, A4组成。

第 1 周期点的坐标为：A1(3,0) , A2(3,6) , A3(-6,6) ,

A4(-6,-6) 第 2 周期点的坐标为：A1(9,-6) , A2(9,12) ,

A3(-12,12)

, A4(-12,-12)

第 3 周期点的坐标为：A1(15,-12) , A2(15,18)

, A3(-18,18) , A4(-18,-18)

第 n 周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6))

, A2(6n-3,6n) , A3(-6n,6n) , A4(-6n,-6n)

因为6-4=1…2,所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)

因为108士4=27,所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-6 X27, -6 X27) 解法2:根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15当机器人走到 A6点时，A5A6=18 米，点A6的坐标是(9, 12);

第1周期点的坐标为：A1(1,0), 第2周期点的坐标为：A1(2,-1), 第3周期点的坐标为：A1(3,-2), 第n 周期

点的坐标为：A1(n,-(n-1))

A2(1,1) , A2(2,2) , A2(3,3)

,

,A2(n,n),

A3(-1,1) A3(-2,2) A3(-3,3) A3(-n,n)

,A4(-1,-1) ,A4(-2,-2) ,A4(-3,-3) ,A4(-n,-n)

12、(2013?兰州)如图，在直角坐标系中，已知点A(-3, 0)、B (0, 4),对/\ OAB 连续作旋转变换，依次得到△ 1、△ 2、△ 3、△4…，则^2013的直角顶点的坐标为().

k____ e__

解：由图可知，n=1 时，4X 1+1=5,点A5 (2, 1),

n=2 时，4X2+1=9,点A9 (4, 1),

n=3 时，4X 3+1=13,点A13 (6, 1),所以，点A4n+1 (2n, 1).

13. (2013??江)如图，所有正三角形的一边平■行丁x轴，一顶点在y轴上.从内到外, 它们的边长依次为2, 4, 6, 8,…，顶点依次用A1、A2、A3 A4??表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5 A4A5与A7A8…均相距一个单位，求点A3和A92的坐标分别是多少，.

A1A2与x 轴相距1个单位，二A3O 扼-1,二A3的坐标是(0,而-1); 92-3=30…2, A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点， 第31个等边三角形边长为2X 31=62,

.??点A92的横坐标为Zx 62=31, .?边A1A2与A4A5 A4A5与A7A8…均相距一个单位， .??点A92的纵坐标为-31,二点A92的坐标为(31, - 31).

14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从 O 点第一跳落到A1 (1, 0),第二 跳落到A2( 1, 2),第三跳落到A3(4, 2),第四跳落到A4(4, 6),第五跳落到A5 .至U 达A2n 后，要向 向跳 单位落到A2n+1.

o &(侦)

解：.??蓝精灵从O 点第一跳落到A1 (1, 0),第二跳落到A2 (1, 2),第三跳落到

根据计算A3的坐标是(0,旧-1)

设每个周期均由点A1, A2, A3,组成。 第 1 周期点的坐标为：A1(-1,-1) , A2(1,-1) , A3(0, 满-1) 第2周期点的坐标为：A1(-2,-2) , A2(2,-2) , A3(0, 满) 第 3 周期点的坐标为：A1(-3,-3) , A2(3,-3) , A3(0, 皿+1) 第 n 周期点的坐标为：A1(-n,-n) , A2(n,-n)

,

A3(0, 满+n-2),

解法 3-3=1,所以A3的坐标与第

92-3=30???2,所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31) 2: : ZXA1A2A3勺边长为 2,

A1A2A3勺高线为 2X NK,

1周期的点A3的坐标相同，即(0,宓-1)

因为 因为 图形为一个循环周

A3 （4, 2）,第四跳落到A4 （4, 6）,

蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1,即可得出：

第五跳落到A5 （9, 6）,到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1.

17. （2012?莱芜）将正方形ABCB勺各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3…，按此规律，点A2012在那条射线上.

?%

点名称射线名称

AB A1A3A10A12A17A19A26A28

CD A2A4A9A11A18A20A25A27

BC A5A7A14A16A21A23A30A32

DA A6A8A13A15A22A24A29A31

根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2012=16X 125+12,所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样.

因为点A2012所在的射线是射线AB,所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB.

18 、（2011?钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2, 0）,第3次接着运动到点（3, 2）,…, 按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是 .

解法1:观察图象，每4个点，图形为一个循环周期设每个周期均由点P1, P2, P3, P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(1,1),P2(2,0),P3(3, 2),P4(4,0)

第2周期点的坐标为：P1(5,1),P2(6,0),P3(7, 2),P4(8,0)

第3周期点的坐标为：P1(9,1),P2(10,0),P3(11,2),P4(12,0)

第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1),P2(4n-2,0),P3(4n-1,2),P4(4n,0)因为2011 -4=502…3,所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同（503 X4-1, 2）, 即（2011, 2）

解法2、根据动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动 到点

（1, 1）,第2次接着运动到点（2, 0）,第3次接着运动到点（3, 2）,

...第4次运动到点（

4, 0）,第5次接着运动到点（

5, 1）,…，

横坐标为运动次数，经过第 2011次运动后，动点P 的横坐标为2011,纵坐标为1,0, 2, 0,每4次一轮， ???经过第2011次运动后，动点P 的纵坐标为：2011 -4=502余3,故纵坐标为四个数中 第三个，即为2, .??经过第2011次运动后，动点P 的坐标是：（2011, 2） 19、将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对（ n, 表示第n 排，从左 到右第m

个数，如（

4, 3）表示实数 9,则(7, 2) 表小的实数是 1 2 3 - 5 6 S 9 10

-第一排

--第二排 -第三排 …第四排

解：第1排的第一个数为 第2排的第一个数为 第3排的第一个数为 第4排的第一个数为 第n 排的第一个数为 将7带入上式得1+n 表小的实数是23. 20、（

2011TW 州）如图，在平面直角坐标系上有点 A （1, 0）,点A 第一次跳动至点A1 （-1,1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3, 2）,…，

依此规律跳动下去，点A 第100 次跳动至点A100的坐标是 （ ）。点A 第103次跳动至点A103的坐标是 （ ）

6 5

------ i

冬一—M

一5 Y T -2 -1 百

1, 2,

4, 7,

2=1+1 4=1+1+2 7=1+1+2+3 1+1+2+3+- +n-1=1+n (n-1) /2=1+7 X 3=22, 解法1:观察图象，点 设每个周期均由点A1,

1周期点的坐标为： 2周期点的坐标为： 3周期点的坐标为： n 周期点的坐标为： 弟 弟 弟

弟 （n-1 ） /2 所以第七排的第二个数是23,即（

7, 2） 1234 5%

A1、A2每2个点，图形为一个循环周

期。

A2组成。

A1(-1,1),

A1(-2,2),

A1(-3,3), A1(-n,n),

A2(2,1) A2(3,2) A2(4,3) A2(n+1,n),

因为103士2=51???1,所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52 ,

52）

解法2: (1)观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上 1,纵坐

n n 1,- 标是次数的一半，即第n 次跳至点的坐标为 2 2

.第2次跳动至点的坐标是A2 (2, 1), 第4次跳动至点的坐标是 A4 (3, 2), 第6次跳动至点的坐标是 A6 (4, 3), 第8次跳动至点的坐标是 A8(5, 4), n n -1,—

第n 次跳动至点的坐标是 An 2 2 , 第100次跳动至点的坐标是(51, 50).

第n 次跳动至点的坐标是

.?.第103次跳动至点的坐标是(-52 , 52).

21、(2008TS 安)如图，将边长为1的正三角形OAPB x 轴正方向连续翻转2008次， 点P 依次落在点P1, P2, P3…P2008的位置，则点P2008, P2007的横坐标分别为为()(

)

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解法1:观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期 设每个周期均由点P1、P2、P3组成。

第1周期点的坐标为： P1(1,0), P2(1,0), P3(2.5,y) 第2周期点的坐标为： P1(4,0),

P2(4,0),

P3(5.5,y)

第3周期点的坐标为： P1(7,0), P2(7,0), P3(8.5,y)

第n 周期点的坐标为： P1(3n-2,0) ,P2(3n-2,0) i , P3(3n-1+0.5,y)

因为2008-3=669…1,所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同,

(3 X 670-2 , 0),即( 2008, 0)所以横坐标为 2008

因为2007-3=669,所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同， (3 X 669-1+0.5 , y),即( 2006.5 , y)所以横坐标为 2006.5 解法2:观察图形结合翻转的方法可以得出 P1、P2的横坐标是1, P3的横坐标是2.5, P4、P5的横坐标是4, P6的横坐标是5.5

…依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。 P2005 P2006的横坐标是2005, P2007的横坐标是2006.5, P200& P2009的横坐标就是2008.故答案为2008. 2007-3=667,能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5

(2)观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上 1的一半，纵坐标是横坐

n 1 n 1

厂，

标的相反数，即第n 次跳动至点 1次跳动至点的坐标是 5次跳动至点的坐标是 An 的坐标为

A1 (-1 , 1)

A5 (-3 , 3) ,第3次跳动至点的坐标是 A3 (-2 , 2), ,第7次跳动至点的坐标是 A7 (-4 , 4),

其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3 P6、P9的可以发现3个一循环。由2008士3=669—1即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4,所以点P2008对应的横坐标是2008

22、(2006Z召兴)如图，将边长为1的正方形OAPEI甘z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1, P2, P3, P4,…，P2006的位置，WJ P2006的横坐标x2006是多少？ P2012的横坐标乂是多少

解法1:观察图象，点P1、P2、P3 P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。

第 1 周期点的坐标为：P1(1,1) , P2(2,0), P3(2,0), P4(3,1)

第 2 周期点的坐标为：P1(5,1) , P2(6,0), P3(6,0), P4(7,1)

第 3 周期点的坐标为：P1(9,1) , P2(10,0), P3(10,0), P4(11,1)

第n 周期点的坐标为：P1(4n-3,0) , P2(4n-2,0) , P3(4n-2,0), P4(4n-1,1)

因为2006-4=501--2,所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同，

(4 X 502-2 , 0),即( 2006, 0)所以横坐标为2006.

因为2012-4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，

(4 X 503-1 , 1),即(2011, 1)所以横坐标为2011

解法2:从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4,

2006+ 4=501--2,

501X 4- 1=2003,(之所以减1,是因为p点的起始点的横坐标为-1 )

由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似

从P到P2的过程，横坐标加3,即2003+3=2006

则P2006的横坐标x2006=2006.故答案为：2006

2012士4=503，即正方形刚好完成了503次翻转

因为每4个一循环，可以判断P2012在503次循环后与P4的一致，坐标应该是2012-1=2011 P2012 的横坐标x2012=2011.

23、(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为 1 的方格纸上，△ MA, △ MR,左 ASM, ......, 都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2, 4, 6,……的等

第 n 周期点的坐标为：A1(2n,0) , A2(1,-(2n-1)), A3(-(2n-2),0),

A4(2,2n)

因为2012-4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，(2,2x503) 即(2, 1006)

解法2:画出图像可找到规律，下标为 4n(n 为非负整数)的A 点横坐标为2,纵坐标为 2n,则 A 2012

的

坐标为(2, 1006).

24、如图，在平面直角坐标系上有个点 P (1, 0),点P 第1次向上跳动1个单位至点 P1(1, 1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1, 1),第3次向上跳动1个单位,

第4次向右跳动3个单位，第5次乂向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依 此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P99, P100, P2009的坐标分别是多少.

解法1:观察图象，点P1、P2、P3 P4每4个点，图形为一个循环周期 设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。 第 1 周期点的坐标为：P1(1,1) , P2(-1,1), P3(-1,2), P4(2,2) 第 2 周期点的坐标为：P1(2,3) , P2(-2,3), P3(-2,4), P4(3,4) 第 3 周期点的坐标为：P1(3,5) ,

P2(-3,5),

P3(-3,6), P4(4,6)

第 n 周期点的坐标为：P1(n,2n-1) , P2(-n,2n-1) , P3(-n,2n), P4(n+1,2n)

因为99-4=24…3,所以P99坐标与第25周期点P3的坐标相同(-25,2 X 25)即(-25 , 50) 100- 4=25,所以P100的坐标与第25周期的点P4的坐标相同(25+1,2 X 25)即(26, 50)

A 4 腰直角三角形.若△丹缶气 的顶点坐标分别为A

(2 , A 7

A 1

A 5

0), A 2

(1 , -1) , A 3

(0,0),则依图中所示规律，A 2012

的坐标为(

解法1:观察图象，点A1、A2、A3 A4每4个点, 图形为一个循环周期

设每个周期均由点A1、A2、A3、A4组成 第 1 周期点的坐标为：A1(2,0) , A2(1,-1), A3(0,0), A4(2,2) A 2 A&

2周期点的坐标为: A1(4,0), A2(1,-3), A3(-2,0), A4(2,4) 3周期点的坐标为: A1(6,0),

A2(1,-5),

A3(-4,0),

A4(2,6)

2009-4=502…1,所以P2009坐标与第503周期点P1的坐标相同(503,2 X 503-1)即(503, 1005) 解法2:经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100 士2=50;

其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧.P1 横坐标为1, P4横坐标为2, P8横坐标为3,依次类推可得到：Pn的横坐标为n士4+1.

故点P100的横坐标为：100士4+1=26,纵坐标为：100士2=50,点P第100次跳动至点P100的坐标是(26, 50).

25. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(-2,5 ) , B( - 3, - 1) , C(1, - 1), 在第一象限内找一点D,使四边形ABC配平行四边形，那么点D的坐标是多少。

A

解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5;

乂由C点相对丁B点横坐标移动了1- ( -3) =4,故可得点D横坐标为-2+4=2, 即顶点C的坐标(2, 5).

26. (2005辩宁)如图，在直角坐标系中，第一次将^ OAE^换成△ OA1B1第二次将△

OA1B1变换成△ OA2B2第三次将^ OA2B段换成△ OA3B3，

已知：A (1, 3) , A1 (2, 3) , A2 (4, 3) , A3 (8, 3) ; B (2, 0) , B1 (4, 0), B2 (8, 0) , B3 (16, 0).观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5, B5的坐标分别是多少.

解：A、A1、A2…An都在平■行丁X轴的直线上，纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3;

这些点的横坐标有一定的规律：An=2\因而点A5的横坐标是2‘=32;

B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0;

这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2" 1,因而点B5的横坐标是B5=25 1=6^.

.??点A5的坐标是(32, 3),点B5的坐标是(64, 0).

27、（2013?湖州一模）如图，在平■面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数 的点叫做整点.已知点 A （0, 3）,点B 是x 轴正半轴上的整点，记△ AOB 内部（不包括边 界）的整点个数为m.当点B 的横坐标为3n （n 为正整数）时，m= （用含n 的代数式表 示）.

F J

3# 2

1

123456789 10 1112 JC

根据题意，分别找出n=1、2、3、4时的整点的个数，不难发现 n 增加1,整点的个数 增加3,然后写出横坐标为3n 时的表达式即可.

解：如图，

n=2,

n=3,

n=4,

所以，

28、

为P4,点P4关丁点B 的对称点为P5，点P5关丁点C 的对称点为P6,点P6关丁点A 的

P2013的坐标是

分析：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点 P6与点P 重合，也就是每6次对称 为一个循环组循环，用2013除以6,根据商和余数的情况确定点 P2013的位置，然后写出 坐标即可.

解：如图所示，点 P6与点P 重合， ：2013士6=335??3 ,

.??点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合， .??点P2013的坐标为（2,-4）.

n=1，即点B 的横坐标为3时，整点个数为1 ,

B 的横坐标为6时，整点个数为4,

B 的横坐标为9时，整点个数为7, B 的横坐标为12时，整点个数为10, 即点 即点 即点

点B 的坐标为3n 时，整点个数为3n-2 . （2013?抚顺）如

图，在平面直角坐标系中，点 A 、B 、C （0, 2）、（2, 0）,点P 在y 轴上，且坐标为（0, -2） .点P 点P1关丁点B 的对称点为P2,点P2关丁点C 的对称点为P3,

的坐标分别是（-1 , -1）、 关丁点A 的对称点为P1 ,

点P3关丁点A 的对称点

29、如图，在平面直角坐标系中，A (1, 1) , B (-1 , 1) , C (-1 , -2) , D (1, -2) .把 一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点 A 处， 并按A-B-C-D-A-…的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是

C D

解：.A (1 , 1) , B (-1 , 1) , C (-1 , -2) , D (1, -2),

??? AB=1- (-1) =2 , BC=1- (-2) =3 , CD=1- (-1) =2, DA=1- (-2) =3, ..?绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3=10 , 2013 士 10=201-3,

细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，

14. (2013?东营)如图，已知直线l : y= 3x,过点A (0, 1)作y 轴的垂线交直线l 丁点B,过点B 作直线l 的垂线交y 轴丁点A1;过点A1作y 轴的垂线交直线l 丁点B1,过 点B1作直线l 的垂线交y 轴丁点A2;…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为 (0,42013) 或(0, 24026)(注：以上两答案任选一个都对)

根据所给直线解析式可得 l 与x 轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点 A1, A2的坐标，通过

相应规律得到 A2013坐标即可.

. . OA=1, ... AB=

解：..?直线l 的解析式为；y= . . AB// x 轴，Z ABO=30 ,

3 x, l 与x 轴的夹角为30° ,

. . A1BL l , Z ABA1=60 , . .AA1=3, . .A1O (0, 4), 同理可得A2 (0, 16),

??? A2013 纵坐标为：42013,

A2013 （0, 42013）.

故答案为：（0, 42013）.

点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3??的点的坐标是解决本题的关键.

16. （2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1, OA1与x轴的夹角为30°,线段A1A2=1,

A2A1X OA1,垂足为A1;线段A2A3=1, A3AM A1A2,垂足为A2;线段A3A4=1, A4A3L A2A3,垂足为A3;… 按此规律，点A2012的坐标为（503寸3 503, 503龙+503）.

分析：过点A1作A1BL x轴，作A1C// x轴A2C// y轴，相交于点C,然后求出点A1的坐标，以及

A1G A2C的长度，并出A2、A& A4、A3 A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，

再把2012代入规律进行计算即可得解.

解答：解：如图，过点A1作A1BLx轴，作A1C//x轴A2C// y轴，相交于点C,

OA1=1, OA1与x轴的夹角为30° ,

. .OB=OA1?cos30=1X :-=:,,

11

A1B=OA1?sin30 =1X 2=2,

V3 1

.,?点A1的坐标为(】，Z),

A2A1X OA1, OA1 与x 轴的夹角为30° ,

?.?ZOA1C=30, Z A2A1C=90 - 30° =60° , . .ZA1A2C=90 - 60° =30° ,

网1

同理可求：A2C=OB=a , A1C=A1B=,

Vs 1 亟1

所以，点A2的坐标力（2-2,仕+'）,

史【史V31A

点A3的坐标为（2 -兰+ 2 , 2 +Z+2）,即（

1 1西必

点A4的坐标为（M3一'一”, 2 +1+ 2），即（

1史

-2, 2 +1),

-1，'任+1),

13

-1，皿+2),

史2 逆

点A5的坐标为（M 3- 1+ 2 ,7 J+1+7）,即（2

2/3 1 业亟2/3 3 M 3

点A6 的坐标为(N -1 - 2, +2+2)，即(2 - 2, 3 +W),

…，

n4j 口-1 n- 1| n+L

当n为奇数时，点An的坐标为(4 V3 - 4 ,4 J2+ 4 ),

□n I] J]

当n为偶数时，点An的坐标为(4寸5-4, 4寸与+4), n n n _n

所以，当n=2012 时，4\/3 - 4=503寸5 - 503, W3+4 =50近+503,

点A2012 的坐标为(503而-503, 50^3+503).

故答案为：（503窘-503, 50^3+503）

21. （2011?鞍山）如图，从内到外，边长依次为2, 4, 6, 8,…的所有正六边形的中心均在坐

标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4 A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、

A12??表示，那么顶点A62的坐标是（—11, T1盘）

分析：1 --

6=10余2,顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1） X2=22,顶点A62在第三象限，继而即可得出答案. 解答：[■:

解：6=10 余2,

顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1） X 2=22,

且顶点A62在第三象限，

22 丝X广

其横坐标为-2 = - 11,纵坐标为-2 七一1,

故顶点A62的坐标是（-11, - 11明）.

故答案为：(-11, - 11?据)

22. (2009?惠州)正方形 A1B1C1Q A2B2C2C1 A3B3C3C2…按如图所示的方式放置. 点A1, A2, A3, ??- 和点C1, C2, C3,…分别在直线 y=kx+b (k> 0)和x 轴上，已知点 B1 (1, 1) , B2 (3, 2),贝U Bn 的坐 标是 (2n - 1, 2n - 1) .分析： 先求出直线解析式，再寻找规律求解.

解答：

解：把A1 (0, 1) , A2 (1, 2)代入y=kx+b 可得y=x+1 .可知An 的纵坐标总比横坐标多 1.

由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，所以 B1 (1, 1) , B2 (1+2, 2) , B3 (1+2+4, 4),

Bn 纵坐标为2n - 1 .

观察图可知Bn 的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标.

Bn+1纵坐标为2n,则An+1的纵坐标为2n , An+1的横坐标为2n- 1,贝U Bn 的横坐标为2n- 1. 贝U Bn 的坐标是(2n — 1, 2n - 1).

24. (2008?内江)如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= 4 .

设直线AB'的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得

a 的值.

解答：

解：将N 点向左平移2单位与P 重合，点B 向左平移2单位到B' (2, - 1),

作B'关于x 轴的对称点B”,根据作法知点 B” (2, 1), 设直线AB'的解析式为y=kx+b, |l=2k+b

则I 一 3二k+b ，解得 k=4, b=- 7.

』 四 回

y=4x — 7.当 y=0 时，x='，即 P(% 0) , a=々. 故答案填：土

分析：

因为AB, PN 的长度都是固定的，所以求出 把B 点向左平移2个单位到B'点；作B' 定N 点位置，此时 PA+NBt 短.

PA+NB 勺长度就行了.问题就是 PA+NB 十么时候最短. 关于x 轴的对称点B”,连接AB'，交x 轴于P,从而确