第四章实数复习提纲
第四章 实数复习提纲
1、平方根
定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 性质：一个正数数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±
”。 1．25121
的平方根的数学表达式是（ ）
A 511
=± B 511=- C 511= D ．511=± 2.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a ＋b 的值为（）
A.8
B.0
C.8或0
D.4或－4
3、一个正数x 的平方根分别是12-a 与a -5，求a 和x 的值
2、算术平方根
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a （算术平方根≥0）
==a a 2 ；注意a 的双重非负性：
-a （a <0） a ≥0（被开方数≥0）
双重非负性对应练习：
1、已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数a+b=
2、2+a +1-b =0，那么()=+2015b a
3、若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是
5=。
6、若322=--+-y x x 成立，求y
x 的值；
3、立方根
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
结论总结：
________0(填>,<,,≤≥)
2
=________.（a ）
=________.
3
=________.
2
=_______,
2
=______
2
=_______.
3
125
-
-
3
=_________
算数平方根、平方根、立方根你都会求了吗，请你用规范完整的表达方式完成下列计算：1、求下列各数的算术平方根：
(1) 100 （2）
49
64
（3）0.0001 （4）
1
6
4
（56）4
-(7) 0
2、求下列各数的平方根：
(1)
2
1
7
??
- ?
??
（2）1.21 （3）0.09
-
（4）2（5）()43-
3、求下列各数的立方根：
(1) 1000 （3）0.000001 （4）
10
2
27
-
（5（6）8-
学习了平方根和立方根后，我们可以求解一些简单的一元二次方程，请你完成下列解方程：（1）x2 = 17 （2）20.090
x-=（3）x2-
121
49
= 0
（4）()2
16125
x+=（5）()()
22
316
x-=-
（5）()3264
x-=-（6）()3
31125
x-=
4．实数的概念及其分类
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：
a 按定义分
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无限不循环小数
负无理数
正无理数
无理数
数
有限小数或无限循环小
负分数
负整数
负有理数
零
正分数
正整数
正有理数
有理数
实数
b 按大小分:
实数 ??
???负实数零正实数
（3）数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大.
（4）与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
（5）实数大小的比较 （掌握前三种）
实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。
（3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 22。
（4）求差比较：设a 、b 是实数， ,0b a b a >?>-
,0b a b a =?=-
b a b a
（5）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;
1b a b
a b a b a b a b a ?> 对应练习：
1．和数轴上的点一一对应的数是（ ）
（A ）整数 （B ）有理数 （C ）无理数 （D ）实数
2．绝对值最小的实数是（ ）
（A ） 有理数中最小的数（B ）正数中最小的数
（C ）自然数中最小的数（D ）整数中最小的数
3. 比较大小：(1) 7.1与50(2) 32与23.（3）52-，-
4.5
4、a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
A 、b a -
B 、ab
C 、b a +
D 、a b -
5.实数a ，b 在数轴上的位置如图2-C-3，则有（ ）
.
A.a b b +>
B.a b >
C.a b -<
D.-b>a
在实数范围内，原来有理数中学过的运算和运算法则仍然是成立的，请你完成下列计算 1、=-13102、()234ππ-+
- 3、52=+x , 求x 4、()2
120163230+-+-π 5、()23122
--+-π 6、()()022241----- 7、()32238
27)21(2125+--+- 8、214.3312----+-ππ 8、求下列各式的值：
（1）230 （2）()28- （3）2213??- ??? （4）()25 （5）310.973-
（6）169121-(7)16163692-（8）335418128
-?? (9) 364+10.365(10)()27--719
+()2234+- 同学们本章的知识点基本就这些，在做题的时候，你是否能够胸有成竹稳操胜券呢，检验一下自己吧
1、()2
0.7-的平方根是________
9的算术平方根_______；256的平方根__________；125的立方根___________
2、算术平方根等于它本身的数是_______.平方根等于它本身的数是_______. 立方根等于它本身的数是_______.
3、169=____________,225的平方根等于________________ 256±=____________,-289=____________,3343-=____________,
4、81的算术平方根是___，16的平方根是_____，64的立方根是___
5、一个数的算术平方根等于17，则这个数=_____________
一个数的其中一个平方根等于—5，则这个数=_____________
6、若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；
苏科版-数学-八年级上册-第四章 实数 复习教案
实数(复习) 教学目标 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 教学重点 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 教学难点 感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣 教学过程（教师） 二次备课 一、板书课题、出示目标 师：同学们，今天我们来学习实数复习（板书课题），本节课的学习目标 是（投影）： 1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。 2、感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学 的兴趣。 二、自学指导 师：要达到本节课的学习目标不是靠老师讲，而是靠大家自学。为了方便 使大家顺利达到本节课的学习目标，请同学们认真看屏幕（投影）： 自学指导 认真书P100-108页。 1、会背平方根、立方根、实数、近似数的概念， 2、能求出一个数平方根、立方根及实际应用。 3、能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数或有几个有效数字。 三、先学 学生看书，教师巡视，督促学生认真看书。 1、学生独立看书，记会背平方根、立方根、实数、近似数的概念。矫正学生 的坐姿。 2、检测：学生互查背会背平方根、立方根、实数、近似数的概念，教师抽查 部分差生。 3、板演： 例1.把下列各数填入相应的集合内。 -3.14、6、38-、2π、3 1、4、-34、0.15、0 无理数集合｛ …｝， 正实数集合｛ …｝
例2.判断下列各题是否正确。 （1）2-3的相反数是3-2（） （2）2-3的绝对值是2-3（） （3）81的算术平方根是9 （） （4）0.06018精确到0.001是0.060 ( ) 例3.在数轴上作出与3对应的点。 例4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）． ⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； ⑵在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 四、后教 （一）更正 师：请同学们认真看堂上板演板演的内容，如发现错误或有不同解法的同学请举手。（教师组织学生更正） 1、更正：①学生互相检查，记背什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？出现什么错误？订证有误的说法。 ②板演的例1、2是否正确，出现什么问题？ 2、讨论：同桌或小组解疑，讨论 a．说一说有理数和无理数有什么区别？实数家庭中有哪些成员？ b．什么是数的平方根、算术平方根、立方根？平方根和立方根有什么区别？c．开方运算和乘方运算有什么联系？任何实数都可以开方运算吗？ d．关于本章内容你还有什么收获？你还有什么困惑？ 五、当堂训练 师：同学们，通过上面的检测，说明同学们会自学，自学的很好。还有
苏科版八年级数学上册八年级上册第四章《实数》提优测试卷 (无答案)
第四章《实数》提优测试卷 一、选择题 1．下列四个数中，是负数的是（） A．|﹣2| B．（﹣2）2C．﹣D． 2．下列实数中是无理数的是（） A．B． C．π0D． 3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（） A．②B．①②C．①③D．②③ 4．已知|a﹣1|+=0，则a+b=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 5．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（） A．±2 B．C．2 D．4 6．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（） A．﹣B．2﹣C．D． 7．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（）条． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6 二、填空题 9．计算：± = ；（﹣）2= ． 10．计算： = ； = ． 11．的倒数是，（）3的相反数是． 12．写出一个介于4和5之间的无理数：． 13．π=3.1415926…精确到千分位的近似数是；0.43万精确到千位表示为． 14．﹣的相反数的绝对值是． 15．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b= ． 16．已知实数x，y满足+|x﹣2y+2|=0，则2x﹣y的平方根为．17．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为． 18．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过m． 三、解答题 19．设，其中2≤x≤8，求y的最大值和最小值． 20.已知，且，，其中m、n均为有理数，求m2＋n2的值．
(完整word版)七年级实数讲义
1月17日复华七年级数学实数 12.1 实数的概念 一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。 分类： 有理数??? ? ?????????? ???负分数正分数 分数负整数零正整数整数 如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数： )0,(≠q q p q p 都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？ 分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数 )0,(≠q q p q p 都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。 问题4：无限不循环小数还有吗？ Π是有理数码？ 二、 归纳 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数包括正无理数和负无理数。 （3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数 （1）有理数和无理数统称为实数。(2)实数可以这样分类： 正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 ——无限不循环小数 负无理数 三、 练习 1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、 7 22、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式) 2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。 3．是非题 (1) 无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数； (2)正实数包括正有理数和正无理数； (3)实数可以分为正实数和负实数两类； (4)带根号的数都是无理数； (5)不含根号的数不一定是有理数； (6)实数不是有理数就是无理数； (7)无限小数不能化为分数； 4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： (1)2 分数。(2) 0 有理数。(3) 无限不循环小数 无理数。 (4) 实数 有理数和无理数。(5) 正整数、0和负整数 整数。 (6) 有理数 有限小数和无限循环小数。 一 知识回顾： 1、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么， （ ） 叫做（ ） 的平方根. 2、正数有 个平方根，它们 。用a 表示其中正的平方根，读作“根号a ”另一个 负的平方根记为a - ，其中a 叫做 。 3、0有（ ）个平方根，是（ ）。负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做（ ）。 { { {
八年级数学上册第四章 实数
第四章 《实数》复习课 班级________姓名__________学号 一、知识要点 1、如果x 2=a （x ≥0），那么x 叫做 的平方根。 2、一个正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平 方根。 3、正数a 的 的平方根叫做算术平方根，0的算术平方根是 。 4、如果x 3=a ，那么x 叫做 的立方根。 5、正数的立方根是 ；负数的立方根是 ；0的立方根是 。 6、数轴上的点与 一一对应。 7、实数的分类： 。 二、基础练习 1、比较大小： 5.2． 2、计算：（﹣）2= ； = ； = ； 的倒数是 ；（）3的相反数是 ；的平方根为 。 3、若3+x 是4的平方根，则=x ＿＿＿，若－8的立方根为1-y ，则y=________. 4、计算：2)4(3-+-ππ的结果是＿＿＿＿＿＿。 5、0.02634（精确到0.01）是 。 6、5.089×106精确到 位。 7、在实数70107.08 1 221.03、、、、－ 。。π中，其中无理数的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8、下列语句中，正确的是（ ） A.无理数都是无限小数 B.无限小数都是无理数 C.带根号的数都是无理数 D.不带根号的数都是无理数 9、若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A.2a - B.2 )1(+-a C.2a - D.)1(+--a 10、下列说法中正确的是（ ） A.若a 为实数，则0≥a B.若a 为实数，则a 的倒数为a 1 2)9(-
64 )24(3-=-x 0144252=-x 333)5(027.025 425---++-C.若y x 、为实数，且y x =，则y x = D.若a 为实数，则02≥a 11、若10< 1.实数的分类 ???????????? ??? ? ?????????????????? ? ????????? 正整数自然数 整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法． 实数 实数的运算 数的开方 运算性质 分数指数幂 有理数指数幂 有理数 用数轴上的点表示实数 无理数 实数的分类 运算法则及运算性质 近似数及近似计算 实数的复习 知识结构 模块一 实数的分类与表示 知识精讲 - 2 - ★数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0； 4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数 即：ab =0； 6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数.有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________. 【例1】 填空： 这些数中：5 431610240.3313 1.532533253332 95 ---。、、、、、、 有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________； 实数有_______________________________________________； 小数有______________________________________________． 【例2】 请你辨别： 如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形 图1 边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个． 【例3】 下列语句正确的是（ ） A ．3.78788788878888是无理数 B ．无理数分正无理数、零、负无理数 C ．无限小数不能化成分数 D ．无限不循环小数是无理数 【例4】 填空： （1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________； （2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________； （3）设实数a ≠0，则a 与它的倒数、相反数三个数的和等于____________， 例题解析 第四章实数本章测试（一）回顾总结 思维导图 方法点津 1.方程思想 在与正数的平方根有关的计算中经常用到方程思想，根据一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为零，列方程解决问题． 2.分类讨论思想 本章所学的实数分类以及绝对值的化简，研究平方根、立方根、算术平方根、二次根式的性质等都体现了分类讨论思想． 3.数形结合思想 把数学问题中的数量关系与图形直观地结合起来进行分析，寻找解决问题的思路，从而使问题得到解决，这种处理问题的方法就是数形结合的思想方法．数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是把问题的数学关系和空间形式结合起来，使抽象问题直观化、复杂的问题简单化，这样往往能收到事半功倍的效果． 本章在无理数的探索过程中采用了数形结合思想，实数和数轴上的点一一对应也是通过数形结合的思想方法进行说明的． 4.转化思想 在解某些含一个未知数的二次或三次方程时，常把它转化为平方根或立方根的知识求解． 一、选择题（每小题4分，共32分） 的平方根为（ ） A. 3 B. -3 C. ±3 D. 已知下列各数：17 ，-π，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），0.3，其中无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 下列说法中，不正确的有（ ） ①任何数都有算术平方根； ①一个数的算术平方根一定是正数； ①a 2的算术平方根是a ； ①算术平方根不可能是负数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 1.732≈ 5.477≈≈（ ） A. 173.2 B. ±173.2 C. 547.7 D. ±547.7 第四章实数复习提纲1、平方根 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方 跟）性质：一个正数数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是 零； 正数a的平方根记做“± j a ” O 25 1.上5的平方根的数学表达式是（ 121 2 2. 若a是（—4）的平方根，b的一个平方根是 A.8 B.0 C.8 3、一个正数x的平方根分别是2a-1与5-a，求a和x的值 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“j a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 伍>0（算术平方根> 0） J - a （a <0） 双重非负性对应练习： 1、已知I a+3|+{b+i = 0,则实数a+b= 2、J尹2+b-1= 0,那么(a+ b f015 3、若实数x, y满足等式（X+ 3）2+| 4—y |= 0,则x + y的值是5、若有意义，则J x+1 =o 负数没有平方根。 11 C?戶」D V121 11 5 =±一 11 2，则代数式a+ b的值为（） 或0 D.4 或—4 厂a ( a >0) J a2 = a ；注意j a的双重非负性： a >0 （被开方数3 0） 6、若J2 —X + U x—2 —y =3成立，求x y的值; 3、立方根 如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：3匚了 =-幼a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 结论总结: T a 中，a 算数平方根、平方根、立方根你都会求了吗，请你用规范完整的表达方式完成下列计算: 1、求下列各数的算术平方根： 49 （2）— 64 2、求下列各数的平方根: （75）2 （5）（-3）4 3、求下列各数的立方根: 我们可以求解一些简单的一元二次方程，请你完成下列解方程: (5 )^/36 (6) -4 0(填>< x/a 2 = (苗)= .(a ) v a 3= . (需j = . 练习J 32 = , J (-7)2 = J(-3)"=一 (硏=, (皿= (J( -3 )2 -V-125 = 仏13)3 = ）= (3) 0.0001 (1) 100 1.21 (1) 1000 (3) 0.000001 ( 4) -210 27 (5) V64 ( 6) -8 学习了平方根和立方根后, 2 以上两个被称为j a 的双重非负性 第一课时 实数知识梳理 1.立方根等于本身的数是; 2.如果,113a a -=-则=a . 3.64-的立方根是, 3)4(-的立方根是. 4.已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根. 5.已知43=+x ，求33)10(-x 的值. 6.比较大小： （1）32.13 1.2， （2）3 32-34 3-， （3）337。 课前检测 1.实数的分类 ???????????????? ????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 无理数有三类：（1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如π等； （3）特定结构的数如0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根，n 次方根 （1）.若一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。 要点：①正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用a ±来表示。其中a 表示a 的正平方根 （又叫算术平方根），读作“根号a ”， a -表示a 的负正平方根，读作“负根号a ”；负数没有平方根；零的平方根是零。 ②开平方与平方互为逆运算： 一个数的平方根的平方等于这个数：即220()()a a a a a >=-=当时，，； 2222 ;?0;0? a a a a a a a a a a ??=??>? ?-=-??? ???=-? 第二章：实数 济宁学院附中李涛 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1））定义型（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （2）圆周率π以及含有π的一些数：如：2-π，3π等； （3）开方开不尽的数，如:39,5,2等； 注：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π （4）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 注：无理数和无理数的和差结果不一定是无理数。+（- ）=0 ；- =0 无理数与有理数的积或商的结果不一定是无理数。 （5）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32 =9，那么9的算术平方根是3，即39=。 表示法：a 的算术平方根，记为：“a ”， 反过来，a 表示a 的算术平方根，只有一个结果。 注：特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 算术平方根是本身的是0或1；算术平方根是本身相反数的数是0 2.算术平方根性质：具有双重非负性： （1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（即a 有意义，则被开方数整体a ≥0） 此时，x 只能等于2.从而y=-1 （2）算术平方根本身是非负数。a ≥0（此外，还有绝对值非负，偶次方非负） 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 第四章实数复习提纲 1、平方根 定义：如果一个数的平方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。 性质：一个正数数有两个平方根， 他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“ _ a ”。 25 i. 的平方根的数学表达式是（ ） 121 3、一个正数x 的平方根分别是 2a -1与5-a ，求a 和x 的值 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ,a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 厂 a （ a >0） R i z 0（算术平方根 >0） 、；a 2 =|a = Y ;注意Ja 的双重非负性：-< --a （ a <0） - a _0 （被开方数—0） 双重非负性对应练习： 1、 已知 | a+3|+ b+1 = 0,则实数 a+b= __________ 2、 Ja+2 + b —1 =0,那么（a +b f 15 = 3、 若实数x , y 满足等式（x + 3） 2 +| 4— y 丨=0,则x + y 的值是 _________ 5、若x 二x 有意义，则.x 1 = ________ 。 6、若2 - x ■ . x - 2 - y = 3成立，求 x y 的值; 11 2 2.若a 是（—4）的平方 根， b 的一个平方根是 2，则代数式a + b 的值为（） 或0 D.4 或—4 C 3、立方根 如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根（或a 的三次方根） 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： 3 _a ，二-3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 结论总结： 髭中，a _______ 0 罷 ________ 0（填>,<,兰,色） 以上两个被称为,3的双重非负性 x/a 2 = . ■a = .（a ） 需3 = 3 a 3= 练习府= , 、市= ______ 、.42 =, 吊2 = -V-125 = 仏 13)3 = (05 j = 算数平方根、平方根、立方根你都会求了吗，请你用规范完整的表达方式完成下列计算: 1求下列各数的算术平方根： 49 c1 (1) 100 （2） (3) 0.0001 （4）6- 64 4 (5) ,36 （6）-4 ⑺0 2、求下列各数的平方根: 3、求下列各数的立方根: 学习了平方根和立方根后，我们可以求解一些简单的一元二次方程，请你完成下列解方程: (2) 1.21 (3) -0.09 ( 4) 5 2 (5) -3 4 (1) 1000 (3) 0.000001 J 。 （4 ） -务 (5) 64 ( 6) 「8 第四章《实数》基础训练一 一．选择题 1．设a 是9的平方根，B=（）2，则a 与B 的关系是（ ） A ．a=± B B ．a=B C ．a=﹣B D ．以上结论都不对 2．下列说法正确的是（ ） A ．近似数3.6与3.60精确度相同 B ．数2.9954精确到百分位为3.00 C ．近似数1.3x104精确到十分位 D ．近似数3.61万精确到百分位 3．﹣27的立方根与4的平方根的和是（ ） A ．﹣1 B ．﹣5 C ．﹣1或﹣5 D ．±5或±1 4． ﹣2的绝对值是（ ） A ．2 B ． C ． D ．1 5．在3，0，﹣2，﹣四个数中，最小的数是（ ） A ．3 B ．0 C ．﹣2 D ．﹣ 二、填空题 6.一正方形的边长变为原来的m 倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍. 7.若()03212 =-+-+-z y x ，则x +y +z = . 8. 若1.1001.102=，则 1.0201=_______ . 9. 13的小数部分是 . 10. 16 的负的平方根是 ，2)5(-的平方根是 . 三、解答题 11．将下列各数分别填在各集合的大括号里： ， ，0.3， ，3.414， ， ，﹣ ，﹣ ， ，0． 自然数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 实数集合：{ …}．12．计算： （1）+﹣（）2；（2）+|1﹣|﹣； （3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0． 13．求下列各式中x的值： ①（x﹣2）2=25；②﹣8（1﹣x）3=27． 14．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等） 实数培优讲义 考点·方法·破译 1．平方根与立方根： 若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根． 若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a． 2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对 应．任何有理数都可以表示为分数p q （p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2n a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ． 经典·考题·赏析 【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值． 【变式题组】 01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152 的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____． 04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____． 输入x 取算术平方根输出y 是无理数 是有理数 【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于 ( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【变式题组】 0l 3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()2 30b -=，则 a b 的平方根是____． 03．若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 04．已知x 1 x π -的值是( ) A ．1 1π - B ．1 1π + C ． 1 1π - D ．无法确定 【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【变式题组】 01．已知m 、n ＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ． 02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123 π +）x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____． 【例4】若a ?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值． 【变式题组】 01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为b a ）·b ＝____． 试卷第1页，共4页 第四章 实数（B 卷） （分值100分，考试时间40分钟） 学校______班级______姓名______ 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在答题纸的相应位置上）． 1．下列几个数中，属于无理数的数是（ ） A. 0.1 B. C. π D. 2． 的平方根为（ ） A. B. ± C. ±2 D. 2 3．若 ＝1.02，＝10.2，则y 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 4．在，-82， ，四个数中，最大的是（ ） A. B. -82 C. D. 5．估计a ＝ ×-1的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6．下列计算正确的是（ ） A. B. ＝±5 C. ＝-3 D. -＝-3 7．已知（1-x ）2+ ，则x +y 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8．实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，化简|n -m |-m 的结果为（ ） A. n -2m B. -n -2m C. n D. -n 9．若x ，y 为实数，且，则 的值为（ ） A. 1 B. 2011 C. -1 D. -2011 10．规定：一个数的平方等于-1，记作i 2＝-1，于是可知i 3＝i 2×i ＝（-1）×i ，i 4＝（i 2）2＝（-1）2＝1……，按照这样的规律，i 2019等于（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 二、填空题（本题共6小题，请将结果填在答题纸上） 11．下列实数：12，-，|-1|，，0.1010010001…， ，（）0中，有理数 ______ 2.实数及其运算 一、基础知识和方法要点 实数及其运算的主要内容是实数的运算，以及有理数、无理数、数轴和绝对值的概念和性质。 思考题1 何为实数？数学分类应该满足怎样的准则？ 思考题2 叙述引入数轴的必要性 ； 思考题 3 什么是零点分段法？零点分段法体现的思想在其他方面有什么应用？ 思考题4 非负数有哪些性质？举例说明； 思考题5 你是怎样理解实数与数轴的一一对应关系的？ 思考题6 数轴上有理数和无理数哪个更多？为什么？ 思考题7怎样定义无理数的概念？ 数学上一般不用否定的形式给一个概念下定义，按照这样的约定，又该如何定义？ 思考题8 实数是稠密的，你怎样理解实数的稠密性？ 二、典型问题分析 1. 实数的运算 1.计算.1009998143213211??++??+?? 2.设A=??? ? ??+++?4-14-14-14810043222 ，求与A 最接近的正整数. 3.计算： 4. 比较 与2的大小. 5. 已知,其中n为正整数.证明： 2.数轴与绝对值 1.已知<-3,化简：. 2.化简:|3x+1|+|2x-1| . 3.若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的 值. 4.求代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值. 5. 将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a,另一个数记为b,代人代数式(|a-b|+a+b)中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值. 6. 设n个有理数,,…，满足||<1(i=1,2,…,n),且 ||+||+….+|19+|++…+.求n的最小值. 3.关于无理数、有理数的判断、证明及计算 1.证明循环小数 2.615454 54=2.61是有理数. 2.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数，在上述假定下,下面四个结 论： (1)是有理数; (2)(x-1)(x-3)是无理数; (3)(x+1)2是有理数; (4)(x-1)2是无理数. 哪些是正确的?哪些是错误的? 3.设a、b及+都是整数,证明及都是整数. 八年级数学复习第4章《实数》 【知识梳理】 【考点解析】 考点1 开方运算与方根的综合运用 【考点解读】求实数的方根的运算叫开方运算，开方运算的结果叫作方根，我们常见的方根有平方根和立方根，两者有许多相同的地方，也有很多不同，现将二者比较如下: 例1 已知某正数的两个不同的平方根分别是1a +和317a -，b 的立方根是2，试求b a -的平方根. 分析:由1a +与317a -互为相反数，可以求出a 的值，由b 的立方根是2，可以求出b 的值，然后求b a -的平方根. 解答:因为1a +与317a -是某正数的两个不同的平方根，故13170a a ++-=，所以4a =.又8的立方根是2，所以8b =，所以844b a -=-=，所以b a -的平方根是2±. 例2 已知21a -是81的算术平方根，b 是169. 分析:先由算术平方根和平方根的定义求出,a b 的值，. 解答:因为21a -是81的算术平方根，所以219a -=，解得5a =. 又b 是169的平方根，所以13b =±. 当5a =，13b =时，2 314a b -=-， =; 当5a =，13b =-时，2 364a b -=4==. 4. 【规律·技法】根据平方根、立方根的定义以及性质，就能解决问题一个正数的两个平方根互为相反数. 【反馈练习】 1.下列说法中，正确的有( ) ①64-的立方根是4-;②49的算术平方根是7±;③ 127的立方根是13;④116 的平方根是1 4 . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，求2a b +的算术平方根. 点拨:理解平方根，算术平方根的定义，解题时不能混淆. 考点2 二次根式与绝对值的化简 (0 (0)a a a a a ≥?==?-，c a >，所以0,0a c c a +<-<. 所以a a a c c a b =--++-- a a c a c b =-+++-- a b =-. 例4 化简: 1x +分析:由于1x +，2x -与0的大小关系和x 的取值有关，故要分情况讨论. 解答:分别令10x +=，20x -=，故121,2x x =-=，所以分成1x ≤-，12x <<，2x ≥这三种情况进行讨论. ①当1x ≤-时，10x +≤，20x -<， 第四章测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．9的算术平方根是() A．±3 B．3 C．－3 D. 3 2．下列4个数：9，22 7，π，(3) 0，其中无理数是() A.9 B.22 7C．π D．(3) 3．下列各式中正确的是() A.49 144＝± 7 12B．－ 3 － 27 8＝－ 3 2 C.－9＝－3 D.3 （－8）2＝4 4．已知a＋2＋|b－1|＝0，那么(a＋b)2 018的值为() A．1 B．－1 C．32 018D．－32 018 5．若平行四边形的一边长为2，面积为45，则此边上的高介于() A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间 6．设边长为a的正方形的面积为2.下列关于a的四种结论：①a是2的算术平方根；②a是无理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④0＜a＜1.其中正确的是() A．①②B．①③ C．①②③D．②③④ 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简a2－|a＋b|的结果为() A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b 8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 为64时，输出y 的值是( ) A ．4 B.34 C. 3 D.32 9．一个正方体木块的体积是343 cm 3，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块， 则每个小正方体木块的表面积是( ) A.72 cm 2 B.494 cm 2 C.498 cm 2 D.1472 cm 2 10．如图，数轴上A ，B 两点表示的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对 称点为点C ，则点C 所表示的实数为( ) A ．2 3－1 B ．1＋ 3 C ．2＋ 3 D ．2 2＋1 二、填空题(每题3分，共24分) 11.6的相反数是________；绝对值等于2的数是________． 12．一个数的平方根与这个数的立方根相等，那么这个数是________． 13．估算比较大小：(1)－10________－3.2；(2)3130________5. 14．若2x ＋7＝3，(4x ＋3y )3＝－8，则3x ＋y ＝________． 15．点A 在数轴上和表示1的点相距6个单位长度，则点A 表示的数为________． 16．若两个连续整数x ，y 满足x ＜5＋1＜y ，则x ＋y 的值是________． 17．若x ，y 为实数，且|x －2|＋y ＋3＝0，则(x ＋y )2 017的值为________． 18．任何实数a ，可用[a ]表示不超过a 的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1.现对72 进行如下操作：72――→第一次[72]＝8――→第二次[8]＝2――→第三次[2]＝1，这样对72 只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行________次操作后变为1；只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 重点考点例析 考点一：无理数的识别。 例1 （2012?六盘水）实数312,,,8,cos 45,0.323 o &&中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。 对应训练 1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ ） A ．0 B ．3 C ．﹣2 D ．27 考点二、实数的有关概念。 例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 例5 （2012?黄石）13 -的倒数是（ ） A ．1 3 B ． 3 C ． ﹣3 D ．13 - 点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 例6 （2012?怀化）64的立方根是（ ） A ．4 B ． ±4 C ． 8 D ． ±8 点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 例7 （2012?荆门）若29x y -+与|3|x y --互为相反数，则x+y 的值为（ ） A ．3 B ． 9 C ． 12 D ． 27 点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 对应训练 2．（2012?丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A ．﹣3℃ B ． ﹣2℃ C ． +3℃ D ． +2℃ 3．（2012?张家界）﹣2012的相反数是（ ） A ．﹣2012 B ． 2012 C ．12012- D ．12012 4．（2012?铜仁地区）|﹣2012|= ． 5．（2012?常德）若a 与5互为倒数，则a=（ ） A ．1 5 B ． 5 C ． ﹣5 D ．1 5 6．（2011?株洲）8的立方根是（ ） A ．2 B ． ﹣2 C ． 3 D ． 4 7．（2012?广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 ．【七年级寒假班讲义】第4讲 实数复习(学生版)
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