数列的概念-教案

6.1数列的概念

【课题】数列的概念（高等教育出版社《数学》（基础模块）下册第6章第1节第1课时）【课时】1课时（45分钟）

【设计理念】

《数列的概念》的教学设计以任务单模式为核心，以主体教育思想与人文教育思想为课堂教学主线，构建起中职数学教学的范式.“任务单模式”是将教学安排在有意义的问题情境中，而且各个任务（伴随的教学事件）都能够提供数学学习与专业结合的延伸.因此，本堂课共设计了七项任务：从新课导入环节中创设了《2048》游戏的开放式情景，在情景中穿插问题，环环相扣地引入数列概念；另外，在数列相关概念学习中，通过概念学习与合作探究相结合的方式，一一设问，层层递进，让学生在完成探究过程中，学到知识,提高解决问题的能力，并获得数学带来的成功感．

【教材分析】

数列是中职数学的重要内容之一，它的地位作用可从三方面分析：1.数列起着承前启后的作用，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列是函数知识的延伸及应用，可使学生加深对函数概念的理解.同时，学习数列概念为进一步学习等差数列、等比数列的概念、通项公式和前n项和奠定基础.2.数列是培养学生数学能力的良好题材，学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，运用前面所学的知识解决数列中的问题，这些都有利于提高学生的数学综合能力.3.数列在实际生活中应用广泛，特别是在金融结算等方面.

【学情分析】

授课对象是计算机动漫与游戏制作专业一年级学生, 他们已初步掌握函数概念及相关知识,但对抽象知识的学习还有畏难情绪，对信息技术相关的事物非常感兴趣,喜欢在课堂中较多地运用信息技术.所以,学习过程中若融入专业元素、信息化技术,能有效提高课堂教学效率,促进学习目标的达成.

【教学目标】

1．知识与技能：掌握数列的概念及理解数列的通项公式．

2．过程与方法：在信息化教学手段下,结合专业特色,通过观察与分析,培养学生分析问

题、解决问题、数学归纳的能力.同时更深层次的理解了数学知识之间地

相互渗透性思想．

3．情感态度与价值观：让学生充分感受数学知识与专业学习息息相关,从而体会学习数学的重要性.通过实例学习让学生对自己的专业更感兴趣,为以后的就业、创

业增添信心．

【教学重点】

理解数列的概念及其通项公式,并能根据通项公式写出数列中的任意一项.

【教学难点】

根据数列前几项的特点,通过多角度、多层次的观察和分析,归纳出数列的通项公式.

【教法与学法】

本课采用任务单教学模式，结合演示法、探究法、讨论法等教学方法,授课过程中运用了微课、视频、flash动画、PPT、网络机房等信息化教学手段．在整个教学过程中,采用教师启发引导,学生自主探究的学习形式.同时通过校园数字化学习平台对学生进行课堂检测,增进对学生学习情况的了解.

【教学平台与资源】

校园数字化学习平台、微课、视频、flash动画、PPT、网络机房.

【教学过程】

让学生观看游戏视频和游戏的截图，回答下面三个问题：

问题1：写出游戏截图中从小到大不重复的数字的排列．

问题2：写出游戏截图中从大到小不重复的数字的排列．

问题3：写出游戏截图中从小到大所有数字的排列．

问题1、问题2、问题3

1.数列的概念

1.找项与项数的关系；

数列的概念《学生学习任务单》

班级姓名

任务一：益智游戏——引入概念

1.课前了解微信上非常火爆益智游戏《2048》（了解 / 没了解）

2.课前学生观察游戏截图，尝试完成下面三个问题：问题1：写出游戏截图中从小到大不重复的数字的排列．问题2：写出游戏截图中从大到小不重复的数字的排列．问题3：写出游戏截图中从小到大所有数字的排列．问题1、问题2、问题3会相应得到3列数：

① ② ③ 任务二：观察归纳——形成概念

1.课前学生上网查阅相关资源，预习数列的概念．（预习 / 没预习）

2.数列的定义: .

3. 思考题：④ 0, 1, 0，1, 0, 1,…是数列吗？（是 / 否）任务三：合作探究——深化概念

1.利用网络资源或课本复习数集的概念．

2．数学兴趣小组同学以《庄子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”为主题，利用专业技能合作完成一个flash 作品，作为教学资源． 3. 探究一：数列与数集的区分

探究二：项与项数的关系

数列的分类：

探究三：数列的通项公式

任务四：示范演练——应用概念

学生课前尝试分析或完成例题和变式. 例1：设数列{}n a 的通项公式n

n a 21

=,写出数列的前5项．

变式训练1：判断1281,228

1 是否为该数列中的项,如果是,请指出是第几项．

例2：根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式．（1）5,10,15,20… ；（2）

,65,43,21 ；（3）-1,1,-1,1,… ；（4）5,5,5,5,…；

变式训练2：先填空，再根据数列前几项写出数列的一个通项公式．（1）1,4, ,10，… ；

（2） ,12

,,61,31 ；

任务五：在线评价——及时反馈

在线评价，大家集中所犯的一些错误，解决方法．

任务六：拓展提升—— 内化知识这堂课，我的收获是什么？

任务七：分层作业——学业诊断

(完整版)《数列的极限》教学设计

《高等数学》——数列极限教学设计

教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表教师活动学生活动设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟）导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减（2）递增（3）摆动学生参与，思考，感受学生参与，思考问题，在老师的引导下对数列极限知识有一个形象化的了解。通过讨论，学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。（一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以

《1.1 数列的概念》教学案2

《1.1 数列的概念》教学案2 学习目标：了解数列的概念和数列几种常见表示方法(列表、图像、通项公式)并能根据一定条件求数列的通项公式。学习重点：数列概念学习难点：根据条件求数列的通项公式学习过程：一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入： ①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为：和 ④数列通项公式：自主测评 1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。 ①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9…… 2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-，写出数列前五项，32 log 是这个数列的第几项探究：(1)是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明 (2)若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明三、巩固应用例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33…… ⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥1112,,,6323 ……

四、总结提升 1、探究新知： 2、数列通项公式n a 与函数有何联系五、知识拓展数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且 1 1(1)() n n n a n a s s n -=?=? -?≥2 六、能力拓展 1、数列 210210210 1,1,1,1223(1) g g g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤ 2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ (1)数列{}n a 中有多少项是负项？ (2)当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？ 3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1

数列极限教案

课题数列的极限一、教育目标 (一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。 (二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明． (三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点．二、教学分析 1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述． 2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明．三、活动设计 1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程 1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1) n 101 ,…,(1) 1, 21, 41, …, n 2 1 , …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．

数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图) 2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1- n 10 1｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：︱（1- 4101）-1︱=4101< 0.001，︱（1-5101）-1︱=510 1< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式︱(1- n 101)-1︱=n 101 < 0.001 恒成立。再给定ε=0.000001，情形怎样呢？学生回答:此时，存在自然数N ＝6，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n 101 < 0.000001恒成立。类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱(1- n 101)-1︱=n 101 <ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N ．这时，可以说数列(1)的极限是1. 3．数列极限的定义：

高中数学数列的概念教案北师大版

第三课时数列的概念一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递 a的关系推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 n 2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。 3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入]数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课数列的表示方法 1、通项公式法如果数列{}n a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为； 2、图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3 若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用

第11讲数列的极限与数学归纳法教案

第十一讲数列的极限与数学归纳法教案【考点简介】 1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。【知识拓展】 1．特殊数列的极限（1）1 lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数）（2） lim 0(0)!n n a a n →∞=> （3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数）（4） 111 lim 1,lim 1n n n n e n n e →∞→∞ ????+=-= ? ????? 公式（4）证明：令11n M n ?? =+ ??? ，取自然对数得到1ln ln 1M n n ??=+ ???，令1x n = ，得ln(1) ln x M x +=，由洛比达法则得00ln(1)1 lim lim()11x x x x x →→+==+，即0limln 1x M →=，所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? 。另外，数列11n n ???? ??+?? ?????? ?是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤ 它们的算术平均数）有111 11111111n n n n n n n ?? ++ ?++??=+?<==+? ? +++? ?? ，所以1 11111n n n n +??? ?+<+ ? ? +???? 。 2．洛比达法则若lim ()0x f x →∞ =（或∞），lim ()0x g x →∞ =（或∞），则()'() lim lim ()'() x x f x f x g x g x →∞ →∞=。 3．夹逼定理如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）；（2）lim n n x a →∞ =且lim n n z a →∞ =；

《数列的概念与简单表示法》优质课比赛教学设计

数列的概念与简单表示法一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系．二、教学方法与学习方法自主学习与合作探究相结合．三、教学情境设计问题设计设计意图师生活动问题一：根据实际例子，归纳数列的概念．（1）棋盘中的数学（2）一尺之棰，日取其半，万世不竭．——《庄子》（3）三角形数；（4）正方形数；（5）观察树枝数目；（6）餐馆一周的营业额．从生活实例引入，让学生认识数列是一种重要的数学模型．认识数列具有顺序性．并总结数列的定义．师：引导学生分析每一列数的规律，并利用所发现的规律求出下一个数．生：分析每一个数的规律并利用规律求出下一个数．师：让学生体会从实际生活中提炼出一列数据，分析这些数据的规律，利用这些规律解决一些实际生活问题，引出数列是一种重要的数学模型．（板书课题——§2-1-1 数列的概念）师：请分析六组数的共同特征，总结数列的概念．生：分析并找出规律，总结数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．问题二：思考下面两个问认识数列是有师：肯定学生的回答，并引导学生分析

高中数学新课极限教案

课题：2.2数列的极限教学目的： 1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限教学难点：数列极限的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1 )n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是

(完整版)数列的概念教案

数列的概念与简单表示法（第一课时）教学目标：1、理解数列的概念，了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律，找出数列可能的通项公式。教学过程：一、引入新课有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。二、新课学生阅读课本、小组互动完成学案上第一、二部分小组内推选同学回答问题（一）、考考你寻找规律，在空格出填写数字 1．1、21、31、（）、51、61、（）、8 1 2. 2、-4、（）、-8、10、（）14 3. （）、22、32、42、52、（）、72 思考1：以上几组数有什么特征？观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。（二）、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念数列是一列数；数列中的数是按一定次序排列的。引领学生由感性认识上升到理性认识，进而明确数列的定义思考2 数列1、2、3、4……与4、3、2、1……是同一数列吗？不是，数列的有序性；深化定义，加深对数列概念的理解。试试看：根据思考2归纳出数列的特点________ 2、数列的项如何表示数列的一般表示：n a a a ,,,21 ，表示法 n a 练习：请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类（课本28页观察） ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列：各项均为常数的数列为等差、等比数列进一步学习作铺垫 5、数列的通项公式项数：1 2 3 4 5 …… n 1 2 3 4 5 …… n 项： 1 4 9 16 25…… （n 2 ） 2 4 6 8 10…… （2n ）仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间

数列的极限、函数的极限与连续性教案

看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点42 数列的极限、函数的极限与连续性一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3 →∞??+-+===??-??所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且 {}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2) f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）

《数列极限的运算法则》教案(优质课)

《数列极限的运算法则》教案【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限【教学难点】：数列极限法则的运用【教学过程】：一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠）二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题：例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →

例2.求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限：（1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。例4.求下列极限：（1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n

[教学设计]《数列的极限》精品教案

《数列的极限》教学设计 (一)教材分析数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。 (二)教学对象学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长P n不断增大，并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。 (三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标 ⑴掌握数列极限的定义。 ⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。 ⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。 (五)重点、难点理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。 (六)教学方法：启发分析，讲练结合。 (七)教学过程一、定义的引进 1.复习提问

⑴ |a| 的几何意义：表示数a 的点与原点的距离。 ⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A 的点之间的距离。 ⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解集。 2. 满不等式 |x-A|<ε的点x 全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x 与点A 的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出ε是一个任意小的正数。 3. 定义的引进本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来： ① 0 从图形容易看出，不论项数n 怎样大，永不为0，只是0 的近似值，但当n 无限增大时，数列的项就无限趋近于0。即当n →∞时， →0。再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……，，…… 0 0.9 0.99 1 当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n →∞时， →1。 “无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？如图由,||εεε+<<-?<-A x A A x )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n 321161814121n 21{}n 21n 21 n 1011-n 1011-n 21

极限定义教案

§2.1 数列极限的概念教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念.会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点：数列极限的概念. 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：一、组织教学二、复习引入新课三、新课讲授数列极限对于这个问题，先看两个个例子： 1.割圆术：求圆面积 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” -----------刘徽 2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话： “一尺之棰，日 A

取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第1天截下 12 ，第2天截下2111 222 ?=，第3天截下23111 222?=，第n 天截下1111 222n n -?=，得到一个数列： 231111 ,,,,,2222 n 不难看出，数列12n ?? ???? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零. 普通定义：一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列. 据此可以说，数列12n ?? ???? 是收敛数列，0是它的极限. 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以11n ?? +???? 为例，可观察出该数列具以下特性：随着n 的无限增大，1 1n a n =+ 无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与 1的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1 |11|n +-会任意小，只要n 充分大. 如：要使1 |11|0.1n + -<，只要10n >即可；

数列第一课时数列的概念教案人教版

高考数学第一轮复习第三章数列第一课时数列的概念教案第三章数列一、知识图谱：二、高考考纲要求： (1)理解函数的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． (2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题． (3)有些应用问题可以转化为数列问题来解决，应掌握解决数列应用问题的方法．数列与函数、数列与不等式在应用题和综合题中常常出现，通过综合题的训练，提高等价转化能力及思维的灵活性，深刻领会化归及函数和方程的思想．三、20XX年高考命题展望：在试验教材中，近10年高考试题内容，数列部分约占8％．命题总的趋势是“稳中有变”．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点．这方面的考题多以选择题、填空题出现，突出“小、巧、活”的特点．解答题中以中等难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等

式等重要内容．试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本的数学方法．可以预测在今后的高考中，仍将以等差数列、等比数列的基本问题为主，突出重要思想方法的考查．为了考查学生的创新能力，主观题应是以考查数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列(点列)与解析几何等知识的综合，通过类似题目，更有效地测试考生对数学思想方法和理解深度，尤其是通过探索性的问题，测试考生的潜能和创新意识．测试考生应用数学知识和方法去解决实际问题的能力．第三章：数列第一课时：数列的概念教学目的：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；知道递推公式是给出数列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．教学重点：数列的概念及数列的通项公式。教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。考点分析及学法指导：数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力。有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识

高三数学教案：数列极限的运算法则

数列极限的运算法则（5月3日）教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：数列极限法则的运用教学过程：一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→) ()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠）二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 二.例题：例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞ →n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ → 例2.求下列极限：（1）)45(lim n n + ∞ →；（2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限：（1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

数列的概念(第一课时)教学设计案例.1

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计案例福州八中欧阳师章一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析 (1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系二、教学方法与学习方法启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。三、教学情境设计

四、教学评价与反思 1、通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。目前，课时不足是数学新课程教学的突出问题，这会使概念教学受到严重冲击。我认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。 2、让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学定义的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、教学通过丰富的实例展开的，这一方面可以使学生体会数列与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。

高中数学高二第一学期7.7数列的极限_教案1-沪教版

数列的极限【教学目标】 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限。 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力。 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣。【教学重难点】重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解。难点：数列极限的定义的理解。【教学过程】一、情景引入 1．创设情境，引出课题。 1．观察。教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，……，如此继续下去，永远也无法取完。思考：教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？学生： , 2 1 , , 81 , 41 , 21n 。 3．讨论。教师：随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生：慢慢靠近0。教师：这就是我们今天要学习的数列的极限——引出课题。二、学习新课 1．观察归纳，形成概念。（1）直观认识。教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势。

（1） ,10 1 ,,101,101,10132n ； ①“项”随n 的增大而减小； ②但都大于0； ③当n 无限增大时，相应的项 n 101 可以“无限趋近于”常数0。（2） ,)1(,,31,21,1n n ---； ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小； ②当n 无限增大时，相应的项n n ) 1(-可以“无限趋近于”常数0。（3） ,1 , ,43,32,21+n n ； ①“项”随n 的增大而增大； ②但都小于1； ③当n 无限增大时，相应的项 1 +n n 可以“无限趋近于”常数1。教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近；（c ）从左趋近；（b ）从左右。两方趋近，使学生明白不同的趋近方式。教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用。刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。” 概念辨析：教师：归纳数列极限的描述性定义。学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限。教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是。如n a n =。学生2：2n a n =；n n a )1(-=。

高中数学第一章数列的概念教案北师大版必修5

数列的概念教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学过程一．揭示课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第一章数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一列数:2π - 2 5π- 29π- 213π- 217π- ……

⑤正整数的倒数排成一列数：41,31,21,1…… ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100 ⑦函数21x y =当依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．对概念的理解数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？教师提出问题： 1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？ 2： -1，1，-1，1是否为一个数列？遇到数学概念不但要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）2．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法

高数教案数列极限

数学MATH

课题: 数列的极限目的要求：教学重点：教学难点：教学课时：教学方法：教学内容与步骤：数列的极限设x n =f (n )是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x 1, x 2,…x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{x n }或x n =f (x n )）例：看数列1. n x n 11+ = 从直观上看,这个数列当n 越来越大时, 对应的项xn 会越来越接近于1,或者说“当n 趋向

于无穷大时, 数列xn 趋近于1''.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实? 注意到,实数a , b 的接近程度由| a -b |确定. | a -b |越小, 则a , b 越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, x n 越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, |x n -1 |会越来越接近于0”.而要说明“|x n -1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n 充分大时,| x n -1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数ε” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε, 当n 充分大时, | x n -1 | 比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|x n -1| 会越来越接近于0. 事实上，n x n 1|1|=-，给10001= ε很小, 要1000 11|1|< =-n x n 只须 n >1000 即可, 也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有1000 1|1|< -n x 又给：100001= ε则从第10001项开始,以后各项都有10000 1|1|<-n x ，一般, 任给ε >0, 不论多么小, 要使ε<=-n x n 1|1|，只须ε 1>n ，因此, 从第11+? ? ????ε项开始, 以后各项都有ε<-|1|n x ，因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时, x n 会越来越接近于1. 定义: 设{x n }是一个数列, a 是一个常数, 若?ε >0, ?正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,则称a 是数列{x n }当n 无限增大时的极限, 或称{x n }收敛于a , 记作：这时, 也称{x n }的极限存在, 否则, 称{x n }的极限不存在, 或称{x n }是发散的. 比如, 对于刚才的数列 1. 有1)11(lim =+∞→n n ，,0)1(lim =-∞→n n n .lim 2 1 )1(lim 2不存在和而n n n n ∞→∞→+- 注1. 定义中的ε是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了x n 可无限接近于a ,另外, ε又是确定的, 它不是变量. 注2. 一般说来, N 随给定的ε变化而变化, 给不同的ε 确定的N 也不同,另外, 对同一个ε来说, N 不是唯一的(若存在一个N , 则N +1, N +2, …, 均可作为定义中的N .) 注3.定义中“ 当n >N 时, 有| x n -a |<ε”的意思是说, 从第N +1项开始,以后各项都有|x n -a |<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 几何意义: 由于| x n -a |<ε ? a-ε 0. 由于|x n –1|=|c – c |= 0，取N =1, 当n >N 时, 有|xn –c |=0<ε，故c c n =∞ →lim 即