最新数学建模—投资的收益和风险问题

数学建模二

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投资的收益和风险问题

摘要：某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的

r，风险市场投资，假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为

i

q。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金损失率分别为

i

购买若干种资产时，总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。另外，

r =5%。具体数据如下表：

假定同期银行存款利率是

对于第一问，我建立了一个优化的线性规划模型，得到了不错的结果。假设5年的投资时间，我认为五年末所得利润最大可为：37.94亿。具体如何安排未来一段时间内的投资，请看下面的详细解答。

如果可供选择的资产有如下15种，可任意选定投资组合方式，就一般情况对以上问题进行讨论，结果又如何？

对于第二问，考虑独立投资各个项目的到期利润率，通过分析，发现数据中

存在着相互的联系。由此，我建立了一个统计回归模型: x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2

通过这个模型，我预测了今后5年各个项目的到期利润率。如第一个项目今后五

年的到期利润率为：第一年：0.1431 第二年：0.1601 第三年：0.0605 第四年：0.1816 第五年： 0.1572。（其他几个项目的预测祥见下面的解答）

考虑风险损失率时，定义计算式为：f=d*p;d为该项目5年内的到期利润率的标

准差，p为到期利润率；

考虑相互影响各个项目的到期利润率时，我们在第一个模型的基础上建立一新的

模型：

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5

y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5

(两个项目互相影响的模型)

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5

y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5

z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5

(三个项目互相影响的模型)

通过解方程组，我们可以预测出今后五年的到期利润率。而且得到的结果也较为满意。

关键词：线性规划，统计自回归模型，风险损失率，0-1变量法，数据拟合。

模型的建立和求解

符号假设：

Z: 利润

: 第i 年对第j 项目的投资额

X

i j

s.t. subject to，引出目标约束条件。

max z=1.8x27+1.45x35+1.5x36+1.55x38+1.25x43+1.27x44+1.1x51+1.11x52

st

2)x11+x12+x13+x14+x15+x16<=200000

3)-0.1x11-0.11x12+x13+x14+x15+x16+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27<=200000

4)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14+x15+x16+0.1x21+0.11x22+x23+x24+x25+ x26+x27+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38<=200000

5)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x 23-0.27x24+x25+x26+x27-0.1x31-0.11x32+x33+x34+x35+x36+x38+x41+x42+x43 +x44<=200000

6)-0.1x11-0.11x12-0.25x13-0.27x14-0.45x15-0.5x16+0.1x21+0.11x22-0.25x 23-0.27x24-0.45x25-0.5x26+x27-0.1x31-0.11x32-0.25x33-0.27x34+x35+x36+ x38-0.1x41-0.11x42+x51+x52<=200000

7)x17=0

8)x18=0

9)x28=0

10)x37=0

11)x45=0

12)x46=0

13)x47=0

14)x48=0

15)x53=0

16)x54=0

17)x55=0

18)x56=0

19)x57=0

20)x58=0

21)x11<=60000

22)x21<=60000

23)x31<=60000

24)x41<=60000

25)x51<=60000

26)x12<=30000

27)x22<=30000

28)x32<=30000

29)x42<=30000

30)x52<=30000

31)x13<=40000

32)x23<=40000

33)x33<=40000

34)x43<=40000

35)x14<=30000

36)x24<=30000

37)x34<=30000

38)x44<=30000

39)x15<=30000

40)x25<=30000

41)x35<=30000

42)x16<=20000

43)x26<=20000

44)x36<=20000

45)x27<=40000

46)x38<=30000

利用lindo软件可以解得

模型的分析

由于各项目的模型原理一样，所以只分析项目一的模型。

（1）独立投资的到期利润率

画出数据的散点图：

我认为，数据之间存在着一定的相互关系（制约或促进），由此我提出一个线性自回归模型：

x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2

数据模拟的matlab程序为：

x5=p(5:20);

x1=p(4:19);

x2=p(3:18);

x3=p(2:17);

x4=p(1:16);

x=[x1' x2' x3' x4'];

rstool(x,x5','purequadratic')

在随后出现的图形界面中选择export->parameters，就可以得到各参数值。

模型检验：

我们将实验数据代如模型中检验，并历史数据与模型数据的散点图，从图中可以很直观得看到，二者吻合程度很好。

数据预测：

通过这个模型，我们可以预测今后五年的项目一的到期利润率。预测方法如下，

先将5年数据分成五组数据，但为了减少误差，可以采用隔点取点法。

然后代入模型中就可以得到五年后各年的到期利润率。

Matlab程序如下：

function A=yuce(beta,p)

for i=1:16

u(i,:)=[1,p(i+3:-1:i),p(i+3:-1:i).^2];

End

A=u*beta;

程序解释：beta为模型各系数，p为各年到期利润率。

预测结果如下：（包含其他项目的预测结果，但每个项目的模型具体不一样。由于原理一样，就不赘述）

（2）独立投资的风险损失率：

我们定义风险损失率的表达式为：f=d*p;

其中f为风险损失率，d为标准差,当当年到期利润率>=0时，p=0,当到期利润率<0 时，p=当年到期利润率的绝对值。

相互影响下到期利润率：

在独立投资到期利润率模型的基础上，我们考虑两个项目相互影响的模型。（先考虑项目三四的模型，五六的模型相似，五六八的模型另做考虑）

由题意理解可知，项目三数据既与以前的数据有关，也与项目四有关，项目四也是如此，所以我们提出一个自相关与相关回归模型。

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5

y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5

模型解释：

xi 对项目三的投资额

Yi 对项目四的投资额

Aij 项目三（四）的自相关系数

A15 a25 项目三与项目四之间的相关系数

模型求解

x5=p(5:20);

x1=p(4:19);

x2=p(3:18);

x3=p(2:17);

x4=p(1:16)

xt=[x1',x2',x3',x4',y5'];

rstool(xt,x5','linear')

y5=y(5:18);

y1=y(4:17);

y2=y(3:16);

y3=y(2:15);

y4=y(1:14);

x5=x(5:18);

yt=[y1',y2',y3',y4',z5'];

rstool(zt,z5','linear')

在随后出现的图形界面中选择export->parameters，就可以得到各参数值。

各参数如下：

利用这个模型，当我们预测数据时，我们可以构造一二元一次方程组，解这个方

程组即可得到该年的到期利润率。

Matlab程序如下：

function C=jie(beta1,beta2,x,y,c,d)

A=[1,-c;-d,1];

a=x*beta1(1:5);

b=y*beta2(1:5);

B=[a;b];

C=inv(A)*B;

程序解释： betai 是各项目的相关系数

X,Y, x=[x1,x2,x3,x4,x5],xi同上

Y=[y1,y2,y3,y4,y5],yi 同上

C c=a15(a15解释如上)

D d=a25(a15解释如上)

得到相互影响下三四的到期利润率为：

同理得到五六的到期利润率为：

相互影响下项目五六八的模型：

x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5 z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5 模型求解：

得到相互影响下五六八的到期利润率为：

模型改进和评价

本文建立了投资收益与风险的双目标的优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险最小，以及引入收益——风险偏好系数，将两目标模型化为单目标模型，并使用matlab求解，所得结果具有一定的指导意义。

但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中海存在资产相关的情形，此时，用最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下最优投资组合进行比较研究是进一步的改进方向。

致谢

通过这次课题的研究，我学到了很多。其中遇到看不少的问题，在通过图书馆及网站收集资料后，终于解决了难题。在问题的分析的过程中，是难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够透彻，经常顾及了这个方面却忽略了其它方面，在经过一段时间的专研的之后，终于完成了问题的分析并且建立的模型。在完成了这一环节之后，我还学会了使用MATLAB来对数据进行处理和分析，很好的完成了对模型的模拟。通过这次课题的研究，使我更加明白了分析问题的方法，实在是受益匪浅。

参考文献

[1] MATLAB程序设计与实例应用.张静.北京：中国铁道出版社.2003.10

[2] 运筹学—方法与应用.吴风平.南京:河南大学出版社.2000.12

[3]《数学模型及方法》.李火林主编.江西高校出版社.1997.10

附录

模型一的MATLAB程序：

1.独立投资的到期利润率：

数据模拟的matlab程序为：

x5=p(5:20);

x1=p(4:19);

x2=p(3:18);

x3=p(2:17);

x4=p(1:16);

x=[x1' x2' x3' x4'];

rstool(x,x5','purequadratic')

2.五年后各年的到期利润率：

function A=yuce(beta,p)

for i=1:16

u(i,:)=[1,p(i+3:-1:i),p(i+3:-1:i).^2];

End

A=u*beta; //beta为模型各系数，p为各年到期利润率。

3.独立投资的风险损失率：

function C=jie(beta1,beta2,x,y,c,d)

A=[1,-c;-d,1];

a=x*beta1(1:5);

b=y*beta2(1:5);

B=[a;b];

C=inv(A)*B;

程序解释： betai 是各项目的相关系数

X,Y, x=[x1,x2,x3,x4,x5],xi同上

Y=[y1,y2,y3,y4,y5],yi 同上

C c=a15(a15解释如上)

D d=a25(a15解释如上)