财政收入预测问题

财政收入预测问题

摘要

财政收入是衡量一个地区和国家经济实力的重要标准，控制着国民经济的命脉, 对财政收入进行定量分析并对其做出比较准确的预测可以为相关部门或者企业制定发展规则，实施相关措施提供可靠的理论预测参考。科学、合理地预测财政收入，对于克服年度预算收支确定的随意性和盲目性，正确处理财政与经济的相互关系具有十分重要的意义。

本文为预测未来五年的财政收入，运用灰色预测法，建立了相应的预测模型。 首先，根据已知信息可知，财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等五种因素有关，结合附表中给出的数据，对财政收入有关的因素进行回归拟合，并结合残差图进行分析，得出财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、固定资产投资等四种因素的线性相关关系较为显着，表明这四种因素对财政收入的影响较大，而总人口对其影响相对较小一些。

其次，对回归分析的得到的方程进行整合，得出财政收入与五种因素的一个关系式：

123450.34910.44310.63220.01330.2112y x x x x x =--++ 然后，运用灰色预测法，通过Matlab 软件对数据处理分析，确立了其预测模型方程，即：

(1)(0)?(1)((1))ak b b

x

k x e a a

-+=-+ 结合上面的关系式，可以预测出后五年的财政收入分别为：

最后对建立的模型进行检验，并对模型作进一步的评价与推广。

关键词：Matlab 软件 财政收入 回归分析 灰色预测法 线性相关

1 问题重述

国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关，根据附表中所给出的19782009-年的原始数据，对其进行处理分析，构造预测模型，并利用该模型对2010年至2014年的财政收入作出预测。

2 问题假设与符号说明

问题假设

1 财政收入只与本文给出的五种因素有关，其它因素不考虑；

2 未来五年内无经济危机及重大自然灾害发生；

3 本文收集的数据均真实、可靠。 符号说明

x ：年份时间 0β：回归参数

1β:财政收入与各因素的参数 2r ：判定系数 i y ：预测值（1~5i =）； a ：发展灰数 b ：内生控制灰数 B ：数据矩阵

Y ：常数矩阵 (0)()X k ：原始数据列

(1)()X k ：累加生成列 (0)?()X

k ：相应的模拟误差序列 (1)?()X k ：相应的累减生成序列 1

S ：(0)()X k 序列的均方差 2S ：残差的均方差 0S ：小残差概率 s ：残差平方和 k e ：各种因素残差概率

(0)?：绝对误差 φ：相对误差序列 )(k η：关联系数 i r ：关联度

p ：分辨率 ?：平均模拟相对误差 k ?：k 点相当对误差 C ：方差比

3 问题分析

首先，由本文给出的关系可知，财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等五种因素有关。

其次，为便于预测，附表中给出了1978-2009年的原始数据，根据这些数据，运用Matlab 软件分别绘制出财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资之间的散点图，从散点图可以看出，它们之间是否存在线性相关关系以及线性关系是否显着。

然后对存在线性相关的进行回归分析，对于不存在的需要转化为线性相关后，对其进行回归分析，得出财政收入与各种因素之间的回归方程和判定系数，判定系数越大，回归直线对所测数据的拟合程度就越好，间接反映出了每种因素对财政收入的影响程度。

最后，把五种因素作为自变量，财政收入作为因变量，整合为一个方程。运用灰色预测法，建立预测模型并由此预测出后五年的财政收入

4 模型的建立与求解

回归分析

由题目中的已知信息可知，财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资等因素有关，首先画出散点图见下图

x 10

5

国民收入（亿元）

财政收入（亿元）

5

工业总产值（亿元）

财政收入（亿元）

x 10

4

农业总产值（亿元）

x 10

5

总人口（万人）

财政收入（亿元）

x 10

5固定资产投资（亿元）财政收入（亿元）

财政收入与五大因素的散点图

由以上的散点图，财政收入与各因素大致上为线性关系。设回归模型为

01y x ββ=+

根据题目中给出的数据，利用matlab 软件对财政收入和各个因素进行回归分析，得2通过以上图中的判定系数2r 可看出财政收入和国民收入、工业总产值、农业总产值、固定资产投资线性关系较强且呈正线性相关，和总人口线性关系中等。说明得出的回归方程较可靠。

建立预测模型

由上面的计算可知，财政收入和国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、固定资产投资呈线性关系，由此建立以下模型

1122334455y a x a x a x a x a x =++++ 用matlab 编程可求解出

123450.14180.04640.71250.01510.1877y x x x x x =+-++ 观察下面财政收入和各因素的残差图

国民收入的残差图

4

工业总产值的残差图

4

农业总产值的残差

图

4

总人口的残差

图

固定资产投资的残差图

可知除2001，2002，2007，2008，2009这五年数据外其余的残差的置信区间均包含零点，这五年的数据应视为异常年，将其剔除后重新计算，可得

123450.34940.44310.63220.01330.2112y x x x x x =--++

财政收入预测

4.3.1 灰色预测法介绍

1、灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。

2、白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。而黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。

灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。

灰色预测的类型

①灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

②畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

③ 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

④拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。

在本文中建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 4.3.2 预测求解

为了减小误差，分别选用10、20、30个数据进行预测

(0)()X k ={98001 108068 119096 135174 159587 184089 213132 259259 302853

343464}

(0)()X k ={18718 21826 26937 35260 48109 59811 70143 78061 83024 88479 98001

108068 119096 135174 159587 184089 213132 259259 302853 343464}

(0)()X k ={3645 4063 4546 4890 5331 5986 7244 9041 10274 12051 15037 17001 18718

21826 26937 35260 48109 59811 70143 78061 83024 88479 98001 108068 119096 135174 159587 184089 213132 259259 302853 343464}

第1步 构造累加生成序列

(1)()X k ={98001 206069 325165 460339 619926 804015 1017147

1276406 1579259 1922723}

(1)()X k ={18718 40544 67481 102741 150850 210661 280804 358865

441889 530368 628369 736437 855533 990707 1150294 1334383 1547515 1806774 2109627 2453091}

(1)()X k ={3645 7708 12254 17144 22475 28461 35705 44746 55020

67071 82108 99109 117827 139653 166590 201850 249959

309770 379913 457974 540998 629477 727478 835546 954642 1089816 1249403 1433492 1646624 1905883 2208736 2552200}

第2步 构造数据矩阵B 和数据向量n Y

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

(1)(1)1(1)(2)1215203511(2)(3)12656171213927521(3)(4)12175099111(9)(10)12x x x x B x x x x ????-+????

??-??????-+????-????

????==-????-+????????????-????????-+??????

…………………… (0)(0)(0)

(0)108068(2)119096(3)135174(4)343464(10)n x x Y x x ????????????????==????????

????????…………

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

(1)(1)1(1)(2)122963111(2)(3)154012121851111(3)(4)12228135911(19)(20)12x x x x B x x x x ????-+????

??-??????-+????-????

????==-????-+????????????-????????-+??????…………………… (0)(0)(0)

(0)21826(2)26937(3)35260(4)343464(20)n x x Y x x ????????????????==????????

????????………… (1)(1)

(1)(1)(1)(1)

(1)(1)1(1)(2)12567611(2)(3)19981121146991(3)(4)12238046811(31)(32)12x x x x B x x x x ????-+????

??-??

????-+????-????????==-????-+????????????-????????-+??????

…………………… (0)(0)(0)

(0)4063(2)4546(3)4890(4)343464(32)n x x Y x x ????????????????==????????

????????………… 第3步 计算?α

=a b ??

????

=n T T Y B B B 1)(- ?α=n T T Y B B B 1)(-=0.15378588-??

??

?? ?α=n T T Y B B B 1)(-=0.13623126-??

??

?? ?α=n T T Y B B B 1)(-=0.1395663-??

??

??

第4步 得出预测模型

(1)(1)

(1)

0.153k (0) 0.153 =78588?(1)=611650e 513649(1)98001dx x dt x

k x ?-???+-??=???

(1)(1)

(1)

0.136k (0) 0.136 =23126?(1)=187770e 169050(1)18718dx x dt x

k x ?-???+-??=???

(1)(1)

(1)

0.139k (0) 0.139 =5663?(1)=48458e 40741(1)3645dx x dt x

k x ?-???+-??=???

第5步 残差检验

计算绝对残差和相对残差序列

绝对残差序列：(0)?=｛0, 6947, 1258, 2147, 436, 2389, 4176, 6024, 7752,

424｝

相对残差序列：φ=｛0, %, %, %, %, %, %, %, %, %｝

绝对残差序列：(0)?=｛2，5528，4403，645，6973，12682，16148，16200，

12151，7281，4974，1489，3009，4720，687，465，2758，18237，26719，27102｝

相对残差序列：φ=｛%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%｝

绝对残差序列：(0)?=｛0，7447，8681，10310，12136，14085，15820，17463，

20182，22947，25180，29213，34388，39200，43188，45323，44491，46598，52135，62451，78442，97065，115212，136941，162449，188357，212190，243129，277794，304876，345408，401468｝

相对残差序列：φ

=｛0，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%，%｝

经过以上对10，20，32个数据的对比，得出10个数据的残差最小，因此选用10个数据预测出来的模型更可靠。 第6步 进行关联度检验 第一种相关因素：国民收入

(1) 计算序列(0)x 与(0)?x

的绝对残差序列(0)?(k ) (0)?＝｛0，6932，1227，2195，508，2493，4318，5833，7500，752｝ min{(0)?(k ) } = min ｛0，6932，1227，2195，508，2493，4318，5833，7500

752｝=0

max{(0)?(k ) } = max ｛0，6932，1227，2195，508，2493，4318，5833，7500，

752｝=7500

(2) 计算关联系数

由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。

min{()}max{()}

()(1,...,10,0.5)()max{()}

k P k k k P k P k η?+?===?+?

求得)(k η＝{1，，，，，，，，，}

(3) 计算关联度

1

1()n

i i k r k n η==∑=

r =是满足P=时的检验准则r >的。

第7步 后验差检验

（1）计算： (0)1

[98001108068119096135174159587184089213132259259

10

302853343464]192272.3

x =+++++++++= （2）计算(0)X 序列的均方差：

(0)(0)21/21[()]()1

x k x S n -=-∑=

（3）计算残差的均值：

?=1

()10

k ?=

（4）计算残差的均方差：

21/22[()]()1

k S n ?-?=-∑= （5）计算C ：21

S

C S ==

（6）计算小残差概率：0S =*=53304 ()k e k =?-?=｛0，

，，，，，，，，｝

所有i e 都小于0S ，故小残差概率P {0S e i <}=1，而同时C=<，故模型

(1)?(1)x

k +=0.1530997525k e -合格。 第8步、预测：

第一种相关因素

(0)(0)

(0)

(0)(0)?(12)=401165(11)?(13)=467534(12)?(14)=544884(13)?(15)=635030(14)?(16)=740090(15)

x k x k x k x k x k ?=?=??=??=??=? 据以上的方法，可预测出后五年其他各种相关因素工业总产值、农业总产值、总人

2010年的财政收入85381

y=

2011年的财政收入126242

y=

2012年的财政收入186595

y=

2013年的财政收入103831

y=

2014年的财政收入153482

y=

5 模型检验与误差分析

通过对整合得到的关系式分析求解，预测出19782009

-财政收入费用与实际费用相比较，得出相对误差如下表：

由上表可以看出，在1984、1985、1990、1992、1993、1994、2000这几年财政收入的预测误差较大，但整体误差相对较小。

在建立模型过程中，为了便于计算，对数据进行了一些近似处理，必然使数据存在一定的误差，并且为了建模方便，题目中作了很多假设，所以有一些误差存在，但也在误差允许范围内。因此，我们预测出后五年的财政收入可信度较高。

6 模型的评价与推广

模型的评价

优点

1 建立的模型联系实际，解决了各个因素之间的关系，算法简便，易于推广。

2 运用Matlab软件求解，得出的数据更加精确，具有科学性。

3 对于其它预测类的问题具有较高的参考价值。

缺点

1 模型的建立是在假定某些条件下完成的，但相差不大

2 只对本文给出的五种因素进行考虑，因此建立的模型与实际存在一定的差距，但影响不大。

模型的推广

针对本文所建立的模型，不仅适用于财政收入问题方面的预测，也适用于粮食产量、人口增长、天气预报等方面的预测，作为参考使用的价值较高。

7 参考文献

[1] 钱小军主编《数量方法》高等教育出版设

[2] 吴建国等编,《数学建摸案例精编》中国水利水电出版社，北京，2005.

[3] 孙祥徐流美吴清编着《基础教程》清华大学出版社

[4] 姜启源谢金星叶俊编着《数学模型》（第三版）高等教育出版社

8 附录

附表A

附录B

function yy=model(beta0,X)

a=beta0(1);

b=beta0(2);

c=beta0(3);

d=beta0(4);

e=beta0(5);%相关系数

x1=X(:,1);

x2=X(:,2);

x3=X(:,3);

x4=X(:,4);

x5=X(:,5);

yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5;%财政收入与五个因素的关系式

附录C

function f=huise1

a=[3645 1745 1026 96259 550 1132

4063 1914 1270 97542 564 1146

4546 2192 1372 98705 568 1160

4890 2256 1560 100072 961 1176

5331 2383 1777 101654 1200 1212

5986 2646 1978 103008 1369 1367

7244 3106 2316 104357 1833 1643

9041 3867 2564 105851 2543 2005

10274 4493 2789 107507 3121 2122

12051 5252 3233 109300 3792 2199

15037 6587 3865 111026 4754 2357

17001 7278 4266 112704 4410 2665

18718 7717 5062 114333 4517 2937

21826 9102 5342 115823 5595 3149

26937 11700 5867 117171 8080 3483

35260 16454 6964 118517 13072 4349

48109 22445 9573 119850 17042 5218

59811 28680 12136 121121 20019 6242

70143 33835 14015 122389 22914 7408

78061 37543 14442 123626 24941 8651

83024 39004 14818 124761 28406 9876

88479 41034 14770 125786 29855 11444

98001 45556 14945 126743 32918 13395

108068. 49512 15781 127627 37214 16386

119096 53897 16537 128453 43500 18904

135174 62436 17382 129227 55567 21715

159587 73904 21413 129988 70477 26396

184089 87365 22420 130756 88774 31649

213132 103162 24040 131448 109998 38760

259259 124799 28627 132129 137324 51322

302853 146183 34000 132802 172828 61330

343464 156958 35226 133474 194138 68477];

R=[];

for i=1:5

subplot(3,2,i)

y=a(:,6);x=a(:,i);

plot(x,y,'*'); %画出散点图

hold on

[b,brint,r,rint,stats]=regress(y,[ones(32,1),x]);%对数据进行线性回归 x1=x(1):x(end);

s=b(1)+b(2)*x1;

plot(x1,s,'k') %画出进行回归后的直线

R(i)=sqrt(stats(1));%求相关系数r

end

R

附录D

function lp

x=[];s=0;yp=[];

t=[14945 15781 16537 17382 21413 22420 24040 28627 34000 35226]';

n=length(t);

for i=1:n

s=s+t(i);%对原始值进行累加

x=[x,s];

end

fprintf(' %d',x);

z(1)=x(1);

for i=2:n

z(i)=*(x(i)+x(i-1));%求紧邻均值

end

format long g

z;

z(1)=[];

B=[-z',ones(n-1,1)];

Y=[15781 16537 17382 21413 22420 24040 28627 34000 35226]'; format long g

a=inv(B'*B)*B'*Y;%求发展系数和灰色作用量

a

a=input('shuru:')

b=input('shuru:')

for k=1:(n+5)

y=(t(1)-b/a)*exp(-a*(k-1))+b/a;

yp=[yp,y];

end

yp;%通过预测模型预测

z(1)=yp(1);

for i=2:(n+5)

z(i)=yp(i)-yp(i-1);%还原值

end

z

for i=1:n

w(i)=abs(t(i)-z(i))/t(i);%误差百分比

end

format long g

w

附录E

function f=ping2()

x=[1978 3645 1745 1026 96259 550 1132

1979 4063 1914 1270 97542 564 1146

1980 4546 2192 1372 98705 568 1160

1981 4890 2256 1560 100072 961 1176

1982 5331 2383 1777 101654 1200 1212

1983 5986 2646 1978 103008 1369 1367

1984 7244 3106 2316 104357 1833 1643

1985 9041 3867 2564 105851 2543 2005

1986 10274 4493 2789 107507 3121 2122

1987 12051 5252 3233 109300 3792 2199

1988 15037 6587 3865 111026 4754 2357

1989 17001 7278 4266 112704 4410 2665

1990 18718 7717 5062 114333 4517 2937

1991 21826 9102 5342 115823 5595 3149

1992 26937 11700 5867 117171 8080 3483

1993 35260 16454 6964 118517 13072 4349

1994 48109 22445 9573 119850 17042 5218

1995 59811 28680 12136 121121 20019 6242

1996 70143 33835 14015 122389 22914 7408

1997 78061 37543 14442 123626 24941 8651

1998 83024 39004 14818 124761 28406 9876

1999 88479 41034 14770 125786 29855 11444

2000 98001 45556 14945 126743 32918 13395

2001 108068. 49512 15781 127627 37214 16386

2002 119096 53897 16537 128453 43500 18904

2003 135174 62436 17382 129227 55567 21715 2004 159587 73904 21413 129988 70477 26396 2005 184089 87365 22420 130756 88774 31649 2006 213132 103162 24040 131448 109998 38760 2007 259259 124799 28627 132129 137324 51322 2008 302853 146183 34000 132802 172828 61330 2009 343464 156958 35226 133474 194138 68477]; s=0;

c=[];

x1=x(:,2);

for i=1:32

s=s+x1(i);

c=[c,s];

end

c;

B=[];

for j=2:32

b=[*(c(j)+c(j-1)),ones(1)];

B=[B;b];

end

B;

yn=[];

for q=2:32

yn=[yn;x1(q)];

end

yn;

a1=0;

b1=0;

for m=[a1;b1];

m=inv(B'*B)*B'*yn;

end

m

vpa(m,8);

附录F

function f=ping3

a=[];

for k=0:1:20

f=187770*exp*k)-169050;

a=[a,f]

end

a=a'

c=[];

c(1)=a(1);

for i=2:20

b=a(i)-a(i-1);

c=[c,b];

end

c=c'