第1讲 实数的有关概念和计算(讲练)(解析版)

备战2021年中考数学总复习一轮讲练测

第一单元数与式

第1讲实数的有关概念和计算

1、了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数、有效数字的概念；二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则.

2、理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律.

3、会：比较有理数大小；求有理数的相反数；会求有理数的绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行实数的简单四则运算.

4、掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方；简单的混合运算.

5、能：灵活处理较大数字的信息；能用有理数估计无理数的大致范围.

1．（2020?顺义区二模）5-的倒数是()

A．5-B．1

5

C．

1

5

-D．5

【解答】解：5

-的倒数是

1

5 -；

故选：C．

2．（2020?东城区一模）2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为()

A．5

1.5212510

?B．4

1.5212510

?C．5

0.15212510

?D．6

0.15212510

?

【解答】解：15212.5用科学记数法表示应为4

1.5212510

?，

故选：B．

3．（2020?石景山区一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是()

A．||3

a>B．0

b c

-

ab

>-

【解答】解：由数轴可得，

a b c

<<<，43

a

-<<-，10

b

-<<，45

c

<<，

||3

a

∴>，故选项A正确；

b c

-<，故选项B正确；

0ab >，故选项C 不正确； a c >-，故选项D 正确；

故选：C ．

4．（2020?北京一模）在数轴上，点A ，B 分别表示实数a ，b ，将点A 向左平移1个单位长度得到点C ，若点C ，B 关于原点O 对称，则下列结论正确的是( ) A ．1a b +=

B ．1a b +=-

C ．1a b -=

D ．1a b -=-

【解答】解：由题意知1c a =-， 因为点C ，B 关于原点O 对称， (1)b a ∴=--，

则1a b +=， 故选：A ．

5．（2020春?西城区校级期中）如图，3，11在数轴上的对应点分别为C ，B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是( )

A ．11-

B ．311

C 113

D ．611

【解答】解：设点A 表示的数是x ，

数轴上表示311C 、B ，点C 是AB 的中点，

∴

113x

+=， 解得611x =- 故选：D ．

6．（2020秋?通州区期末）下列说法正确的是( ) A ．16的算术平方根是4±

B ．任何数都有两个平方根

C ．因为3的平方是9，所以9的平方根是3

D ．1-是1的平方根

【解答】解：A 、16的算术平方根是4，故原题说法错误；

B 、正数有两个平方根，故原题说法错误；

C 、因为3的平方是9，所以9的算术平方根是3，故原题说法错误；

D 、1-是1的平方根，故原题说法正确；

故选：D ．

7．若21(2)0x y -++=，则2021()x y +等于( ) A ．1- B ．1

C ．20203

D ．20203-

【解答】解：

21(2)0x y -++=，

10x ∴-=，20y +=，

1x ∴=，2y =-，

20212021()(12)1x y ∴+=-=-， 故选：A ．

8．（2020秋?海淀区校级月考）写出一个比3大且比13小的整数是 ． 【解答】解：132<<，3134<<，

∴比3大且比13小的整数是：2，3．

故答案为：2，3．

9．（2020?平谷区一模）计算：0113tan30(4)()|32|2

π-?--++-．

【解答】解：原式3

31223=?-++- 31223=-++-

3=．

10．（2020?北京一模）计算：11

4sin30|2|8()2-?+---．

【解答】解：原式1

422222=?+--

222=--

2=-．

1．实数的有关概念

（1） 整数 和 分数 统称为有理数. （2） 有理数 和 无理数 统称实数.

（3）数轴的三要素为 原点 、 正方向 和 单位长度 . 数轴上的点与 实数 一一对应. （4）实数a 的相反数为a - .若a ，b 互为相反数，则b a += 0 . （5）非零实数a 的倒数为

1

a

. 若a ，b 互为倒数，则ab = 1 . （6）绝对值(0)0(0)(0)a a a a a a >??

==??-

．若=a a ，则a 为 非负数 ；若a a =-，则a 为 非正数 .

（7）科学记数法：把一个数表示成10n a ?的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数. 2.实数的计算

（1）n

a 表示n 个a 相乘，n

a 称为幂，其中a 叫做 底数 ，n 叫做 指数 .

=0a 1 （其中a ≠ 0）；0的任何非零次幂都等于0； =

-p a 1

p

a （其中a ≠ 0，p 为整数） （2）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根，

记为．

一个正数有 两个 平方根，它们互为 相反数 ；负数没有平方根；0的平方根是 0 ． （3）算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，则这个正数x 为a

的算术平方根，记为．

一个正数有 一个 算术平方根，0的算术平方根是 0 ．

（4）立方根：一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个 负 的立方根；0的立方根是 0 ． 3. 实数运算顺序及运算律

（1）先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；如果有括号，先算 括号 里面的，同一级运算按照从 左 到 右 的顺序依次进行． （2）运算律：交换律、结合律、乘法分配律． 4. 实数大小的比较

（1） 数轴上两个点表示的数， 右边 的点表示的数总比 左边 的点表示的数大. （2）正数 大于 0，负数 小于 0，正数 大于 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 小于 绝对值小的．

考点一实数分类

例1．（2020秋?顺义区期末）实数2

-，0.3，22

7

，2，π

-中，无理数的个数是()

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：在实数2

-，0.3，22

7

，2，π

-中，无理数有2，π

-，共有2个．

故选：A．

【变式训练】

1．（2020春?东城区校级期末）下列各数中属于无理数的是()

A．0.333B．22

7

C．5D．327

【解答】解：A、0.333是有理数，故本选项错误；

B、22

7

是有理数，故本选项错误；

C、5是无理数，故本选项正确；

D、3273

=，是有理数，故本选项错误．

故选：C．

考点二实数与数轴

例2．（2020?海淀区一模）若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是()

A．点M B．点N C．点P D．点Q

【解答】解：由数轴可得，

p n m q

<<<，

n与q互为相反数，

∴原点在线段NQ的中点处，

∴绝对值最大的数对应的点是点P，

故选：C．

【变式训练】

1．（2020?昌平区二模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )

A ．||||a b <

B ．0ad >

C ．0a c +>

D ．0d a ->

【解答】解：由实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置可知，0a b c d <<<<， ||||a b ∴>，0ad <，0a c +<，0d a ->，

因此选项D 正确， 故选：D ．

2．（2020?丰台区二模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )

A ．a b c >>

B ．||||b a >

C ．0b c +<

D ．

0ab >

【解答】解：由数轴上的点所表示的数可知，43a -<<-，10b -<<，23c <<， 因此有a b c <<，||||a b >，0b c +>，0ab >， 故选：D ．

3．（2020?平谷区一模）若已知实数a ，b 满足0ab <，且0a b +>，则a ，b 在数轴上的位置符合题意的是

( ) A ． B ． C ．

D ．

【解答】解：0ab <，

∴实数a ，b 异号，

A ∴、C 不符合题意，

又0a b +>，

D ∴不符合题意， B ∴符合题意；

故选：B ．

4．（2020?西城区一模）在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB =则点A ，点B 表示的数分别是( )

A ．

B C ．0，D ．-

【解答】解：由A 、B 表示的数互为相反数，且AB =，点A 在点B 的左边，得

点A 、B 表示的数是 故选：A ．

考点三 科学记数法

例3．（2020?海淀区一模）北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为( ) A ．80.1910?

B ．70.1910?

C ．71.910?

D ．61910?

【解答】解：将19000000用科学记数法表示为：71.910?． 故选：C ．

【变式训练】

1．电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为( ) A ．49.510?亿千米 B ．49510?亿千米 C ．53.810?亿千米

D ．43.810?亿千米

【解答】解：950004380000?= 380000亿千米53.810=?亿千米． 故选：C ．

2．（2020?丰台区二模）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为( ) A ．30.15610-?

B ．31.5610-?

C ．41.5610-?

D ．415.610-?

【解答】解：40.000156 1.5610-=?． 故选：C ．

3．（2020?丰台区一模）据报道，位于丰台区的北京排水集团槐房再生水厂，是亚洲规模最大的一座全地下

再生水厂，日处理污水能力600000立方米，服务面积137平方公里．将600000用科学记数法表示为( ) A ．50.610?

B ．60.610?

C ．5610?

D ．6610?

【解答】解：将600000用科学记数法表示为5610?， 故选：C ．

考点四 实数的非负性

例4．（2020秋?石景山区期末）如果2|3|(2)0m n -++=，那么mn 的值为( ) A ．6-

B ．6

C ．1

D ．9

【解答】解：因为2|3|(2)0m n -++=， 所以30m -=，20n +=， 解得3m =，2n =-， 所以3(2)6mn =?-=-， 故选：A ．

【变式训练】

1．如果2(21)|5|0x y x y -+++-=，那么y x = ． 【解答】解：2(21)|5|0x y x y -+++-=， ∴215x y x y -=-??+=?

①②，

②-①得：36y =， 解得：2y =，

把2y =代入①得：3x =， 则原式9=， 故答案为：9

2．（20202(2)0b -=，那么a b +的值为 ． 【解答】解：根据题意得，30a +=，20b -=， 解得3a =-，2b =， 所以，321a b +=-+=-．

故答案为：1-．

考点五 实数的估算

例5．（2020秋?顺义区期末）如果101m =-，那么m 的取值范围是( ) A ．01m <<

B ．12m <<

C ．23m <<

D ．34m <<

【解答】解：3104<<，

∴3110141-<-<-，

即21013<-<，

m ∴的取值范围是23m <<．

故选：C ． 【变式训练】

1．（2020春?丰台区期末）如图，数轴上与40对应的点是( )

A ．点A

B ．点B

C ．点C

D ．点D

【解答】解：

364049，即6407<<，

∴40C ．

故选：C ．

273a ，小数部分是b ，则2a b -= ． 【解答】解：8739<， 8a ∴=，738b ，

228(738)2473a b ∴-=?-=-．

故答案为：2473

考点六 实数比较大小

例6．（202010小的整数： ． 【解答】解：

103>，

∴103，

故答案为：答案不唯一，如：3． 【变式训练】

1．（2020秋?延庆区期中）比较大小：

（1）

（2．

【解答】解：（1）根据正数大于一切负数可得， 故答案为：<；

（2）

3.162， 3.142π≈，

∴π，

故答案为：>．

考点七 实数中的规律

例7．（2020秋?通州区期末）给出表格：

,0.15a b =，则a b += ．（用含的代数式表示）

,0.15a b ==，则10.1a b +=， 故答案为：10.1．

【变式训练】

1．（2020 1.2639≈ 2.7629≈ ．

【解答】解：

1.2639≈，

∴

=

110

=-

0.12639≈-．

故答案为：0.12639-．

考点八 实数的运算

例8．（2020?海淀区一模）计算：0(2)2sin 30|-+?+．

【解答】解：原式1

122=+?

11=++

=

【变式训练】

1．计算1)-的结果为 ．

【解答】解：原式24=-

2=，

故答案为：2

2．（2020?石景山区一模）计算：101

()(2020)1|3tan305

π---+-?．

【解答】解：原式511)3=-+- 3=．

3．（2020?海淀区二模）计算：101

()(2020)1|2cos302

π-+-+-?．

【解答】解：原式2112=++-

211=++

2=．