勾股定理中的面积问题(人教版)(含答案)
勾股定理中的面积问题（人教版）
一、单选题(共7道，每道11分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN=( )
A. B. C. D.8
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一
3.如图,一块四边形菜地ABCD,已知∠B=90°,AB=9m,BC=12m,AD=8m,CD=17m,求这块菜地的面积为( )
A.114m2
B.228m2
C.122m2
D.244m2
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：割补法求面积
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：知二求二
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,M是AB的中点.若CM=
6.5,BC+CD+DA=17, 则梯形ABCD的面积为( )
A.15
B.30
C.45
D.60
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类倍长中线
6.如图所示,等边三角形ABC内一点P到三边距离分别为,,,且,其中
,,,则△ABC的边BC上的高为( )
A.6
B.3
C.4
D.5
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法
二、填空题(共2道，每道11分)
8.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为____m2．
答案：96
解题思路：
试题难度：一颗星知识点：割补法求面积
9.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若
，则△ABC的周长为____．
答案：36
解题思路：
试题难度：知识点：等面积法
阅读理解题--勾股定理的面积证法
阅读理解题 1.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一些含根号的式子的平方，如3+2错误！未找到引用源。=(1+错误！未找到引用源。)2，善于思考的小明进行了如下探索： 设a+b错误！未找到引用源。=(m+n错误！未找到引用源。)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a+b错误！未找到引用源。=m2+2mn错误！未找到引用源。+2n2. ∴a=m2+2n2，b=2mn. 这样，小明找到了把部分a+b错误！未找到引用源。的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b错误！未找到引用源。=(m+n 错误！未找到引用源。)2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a= ，b= . (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：+ 错误！未找到引用源。 =( + 错误！未找到引用源。)2. (3)若a+4错误！未找到引用源。=(m+n错误！未找到引用源。)2且a，b，m，n均为正整数，求a的值. 【解析】(1)m2+3n22mn (2)12，6，3，1等(答案不唯一) (3)由b=2mn得4=2mn，mn=2，a，m，n均为正整数， mn=1×2或mn=2×1，即m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13. 当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明. 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a， ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=错误！未找到引用源。b2+错误！未找到引用源。ab， 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。a(b-a)， ∴错误！未找到引用源。b2+错误！未找到引用源。ab=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。a(b-a)，
勾股定理与面积问题
解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5.
勾股定理之折叠问题、等面积法(北师版)(含答案)
勾股定理之折叠问题、等面积法（北师版） 试卷简介:本套试卷主要考查在折叠的背景下学生对勾股定理的应用以及利用等面积解决问题的思想。在考查学生勾股定理的同时检验学生对于折叠问题处理思路的掌握情况，另外为后期几何的模块封装做好铺垫，“看到什么想什么”，看到多个垂直存在，想到利用等面积法来解决问题。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=.则AB的长为( ) A. B. C.3 D.4 答案：C 解题思路： 由折叠，得∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=EF= ∵BC=AD=4 ∴CE= 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CF==2 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2 设AB=x，则 x2+42=(x+2)2 解之，得x=3 即AB=3 故答案选C． 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,则DE=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案：B 解题思路： 在长方形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=10 由折叠，得AF=AD=10，EF=DE 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF==6 ∴CF=4 设DE=x，则EF=x，CE=8-x 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2 即(8-x)2+42= x2 解之，得x=5 即DE=5 故答案选B． 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题 3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG 的长为( ) A. B.4
勾股定理与面积计算
勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图
勾股定理
尊敬的各位评委、老师，您们好。今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。 从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。 （二）重点与难点 为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突
出重点，合作交流突破难点。 二、教法与学法分析 教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。 学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。 三、教学过程 我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。 首先，情境导入 给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容
完整word版,勾股定理——折叠问题与等面积法.docx
折叠问题与等面积法（讲义） 一、知识点睛 1.折叠问题处理思路： （1 ）找 __________________； （2 ）____________________； （3 ）利用 _______________列方程． 2.等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑 ______________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程． 二、精讲精练 1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC =6cm ， BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，则线段 CD =__________． C A M D F D N B E A B E C 第 1题图第 2 题图 2.如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN ，则线段 CN 的长是 __________． 3.如图，在长方形 ABCD 中， AB =3 ，AD =9 ，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕 为 EF ，则△ ABE 的面积为 ________． A E D B F C C' 4.如图，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB =8cm ，BC =10cm ， 则 EF =________． A D E B F C
5. 如图，在矩形 ABCD 中， BC =4 ，DC =3 ，将该矩形沿对角线BD 折叠，使点 C 落在点 F 处， BF 交 AD 于点 E，求 EF 的长． F A D E B C 6.如图，在△ ABC 中，AB =20 ，AC=12 ，BC =16 ，点 E 为线段 BC 上一点，把△ ABC 沿 AE 折叠，使 AB 落在直线 AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积． A B E C B'
勾股定理与面积计算
图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图
5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。
专题：勾股定理与面积问题 含答案
专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
勾股定理的不同证法
勾股定理的不同证法 证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c， 如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对 应的角为直角，则已证明勾股定理：a2+b2=c2 证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b， c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方 形（c边长），则a2+b2=c2，已证明勾股定理。 证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形， 则每个直角三角三角形的面积等于?ab，把这两个直角三 角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。 ∵Rt△EAD≌RT△CBE， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠AED＋∠ADE＝90° ∴∠AED＋∠BEC＝90° ∴∠DEC＝180°—90°＝90° ∴△DEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于?c2 又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°， ∴AD∥BC ∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于?（a＋b）2 ∴?（a＋b）2＝2·?ab＋?c2 ∴a2+b2=c2 证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直 角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b， c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从 左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所 以面积相等，即： a2+b2＋4·?ab等于c2＋4·?ab，整理便得a2+b2=c2 证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四 个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?ab，把这 四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵RtDAH≌Rt△ABE, ∴∠HDA＝∠EAB ∵∠HAD＋∠HAD＝90° ∴∠EAB＋∠HAD＝90° ∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2 ∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a ∠HEF＝90° ∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）2 4·?ab＋（b—a）2等于c2 ∴a2+b2=c2 证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
面积法与勾股定理
面积法与勾股定理 例.如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D,求： （1），AC 的长；（2）⊿ABC 的面积；（3）CD 的长。 （7分） 解：在Rt △ABC 中，4352222=-=-=BC AB AC 6342 121=??=?=?BC AC S ABC 面积法： 652121=??=?= ?CD CD AB S ABC ∴512=CD 练习1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，若AC=12，BC=5，则CD= . 解：在Rt △ABC 中，135122222=+=+=BC AC AB CD AB BC AC S ABC ?=?=?2 121 面积法：∴CD 13512=? ∴1360= CD 练习2、如图，长方形长AB=24，宽AD=10。（1）求BD 的长；（2）求点C 到BD 的距离。 解：在Rt △DAB 中，2624102222=+=+= AB AD BD 根据△DCB 中，CE DB CD BC ?=?2121,CE ?=?262410,13 120=CE 练习3.等腰三角形底边长为８cm,腰长为５ cm,则腰上的高为 .
解:求得底边上的高为3，面积法h 52 13821?=??，8.4=h 例2．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 面积法 10862222=+=+=BC AC AB OD BC OF AB OE AC BC AC ?+?+?=?2 1212121 x x x 810686++=?，2=x 练习2、如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ） （A ）1 (B)3 (C)4 (D)5 C O A B D E F 第18题图 A B P C
勾股定理与面积中考试题荟萃
勾股定理典型练习题 1、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由 边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ） A 、90 B 、100 C 、110 D 、 121 2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94 3、如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E ，F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、34 B 、33 C 、32 D 、3 4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A 、 4 B 、6 C 、16 D 、55 5、如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S1=S2 B ．S1＜S2 C ．S1＞S2 D ．无法确定 6.已知：如图，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为_____。 7.如图，以AB 为直径画一个大半圆，BC=2AC ，分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 ______。 8.如图，直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，以AB 为直径画半圆，若阴影部分的面积S1-S2= 2 π ，则BC= _____。 9、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2． （1）求证：S1+S2=S△ABC； （2）若Rt△ABC 的周长是 62+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和． 10、（1）如图4，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD ，分别以AB 、CD 、AD 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为 ________。请说明理由。 （2）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB ，分别以DA 、BC 、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间数量的关系是（ ） A ．S 1+S 2=S 3 B 、S 1+S 2= 2 1S 3 C 、S 1+S 2= 31S 3 D 、S 1 +S 2 =4 1S 3 11、（a ）如图（1）分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S1、S2、S3则它们有 _________ 2题 3题 4题
勾股定理与面积法
17 16 C A B D 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 3 4 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法 BC AC ?2 1 和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 5 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21 ，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。
C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4 A C B
勾股定理与面积法
16C B 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法BC AC ?21和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。
C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看 来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4A C B
{word试卷}北师大版八年级数学上册勾股定理与面积问题(仅供参考)
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：
勾股定理与面积问题 一、知识回顾 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2+ b2= c2。 公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2。 二、典型试题 类型一：求出相应边长度，利用公式求面积 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 类型二：巧妙分割，构造直角三角形求面积 2、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。 类型三：求“勾股树”形图形的面积
3、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ ABC 的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是 . 小结: 勾股定理与三角形面积 ?求出相应边长度，利用公式求面积 ?巧妙分割，构造直角三角形求面积 ?求“勾股树”形图形的面积 勾股定理与折叠问题 一、解题步骤归纳： 1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。 二、典型试题 类型一：折叠直角三角形
类型二：折叠长方形 如图所示，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，点D 落在BC 边的F 处。已知AB=CD=8cm ，BC=AD=10cm ，求EC 的长。 E F D C B A 勾股定理与分类讨论 一、 典型试题 类型一：直角边、斜边不明求长度 1、如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于__________. 2、已知一个直角三角形的两边长为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的周长为__________________. 类型二：动点位置不明求长度 1、在Rt △ABC 中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P 在直线AC 上（不与A 、C 重合），且∠ABP=30°，则CP 的长为_________________. 类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度 1、在等腰三角形ABC 中，已知其中两边长为6cm 和8cm ，则等腰三角形ABC 中高的
勾股定理之折叠问题、等面积法(讲义)(含答案)
勾股定理之折叠问题、等面积法（讲义） 一、 知识点睛 1. 折叠问题处理思路 （1）找折痕（对称轴）； （2）转移、表达； （3）利用勾股定理建等式． 2. 等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑等面积法解决问题，即利用图形面积的不同表达方式建等式． 二、精讲精练 1. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则线段CD =__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处， 点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 C' A D E B C F 4. 如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ， BC =10cm ，则EF =________．
A' A D M F C B E D A 5. 如图，在矩形ABCD 中，BC =4，DC =3，将该矩形沿对角线 BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E ，求EF 的长． 6. 如图，在△ABC 中，AB =20，AC =12，BC =16，把△ABC 折 叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积． 7. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'，且B'C =3，则CN =______，AM =______. 8. 若直角三角形两直角边长分别为6cm ，8cm ，则斜边上的高 A B C D E F
勾股定理解题方法
17.1 勾股定理 技巧1利用勾股定理计算线段的长 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3． (1)求DE 的长； (2)求AB 的长及△ADB 的面积． 解析：(1)根据角平分线的性质得出CD ＝DE ，从而DE ＝3； (2)首先利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积． 解：(1)∵ AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴ CD ＝DE ． ∵ CD ＝3，∴ DE ＝3． (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB ＝22＋AC BC ＝2268＋＝10， ∴ △ADB 的面积为 S △ADB ＝12AB DE ＝1103152 ××＝． 技巧2利用勾股定理解决折叠问题 如图所示，将长方形ABCD 沿着BD 折叠，使点C 落在 C'处，BC'交AD 于点E ，若AD ＝8．AB ＝4． (1)求△BDE 的周长； (2)求△BDE 的面积． 解析：(1)由将长方形ABCD 沿BD 折叠，知C'D ＝CD ， ∠C ＝∠C'，∠1＝∠2，可证BE ＝DE ，即AE ＋BE ＝AD ．在Rt △ABE 和Rt △BCD 中，利用勾股定理求出BE ，BD 的长，进而求出△BDE 的周长； (2)由题意，知C'＝90°，即DC'⊥BC'，则S △BDE ＝ 12 BD ·C'D ． 解：(l )∵ 将长方形ABCD 沿着BD 折叠， ∴ CD ＝C'D ，∠C ＝∠C'，∠1＝∠2． 又∵ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ BE ＝DE ． 设BE ＝DE ＝x ，则AE ＝8－x ． 在Rt △ABE 中，BE 2－AE 2＝AB 2， 即x 2一(8一x )2＝42， 解得x ＝5，即BE ＝DE ＝5． 在Rt △BCD 中， BD ＝22228445＋＝＋＝BC CD ， ∴ △BDE 的周长为BE ＋DE ＋BD ＝10＋45． (2)∵ ∠C'＝90°，∴ DC'⊥BC'．
怎么用面积证明勾股定理
用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。
练习题 （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 49、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。 50 如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。 求证：DE 2=AD 2+BE 2。 E C A B D F E C A B D A B C D 51 如图，在△A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC 边上的高A D= 。 52 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。 E F D B C A 53 在△ABC 中，AB=15 ,AC=20,BC 边上的高A D=12，试求BC 边的长. 54 在△ A BC 中，D 是BC 所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC 的面积。 B C A D B C A D
勾股定理综合难题附答案(超好打印版)
C B A D E F 练习题 1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为 2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 2 如图，长方体的高为 3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方 体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 A C B 3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B ’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当 小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？? 5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠， 使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5 6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长． B C A F E D C B A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′ D
C D 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为 8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。 9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________． 10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ′的位置，若BC ＝2，则BC ′＝_________． E F C ′ B A A
勾股定理中的面积问题(人教版)(含答案)
勾股定理中的面积问题（人教版） 一、单选题(共7道，每道11分) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等面积法 2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN=( )
A. B. C. D.8 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一 3.如图,一块四边形菜地ABCD,已知∠B=90°,AB=9m,BC=12m,AD=8m,CD=17m,求这块菜地的面积为( ) A.114m2 B.228m2 C.122m2 D.244m2 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：割补法求面积 4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=16cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：知二求二 5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,M是AB的中点.若CM= 6.5,BC+CD+DA=17, 则梯形ABCD的面积为( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：类倍长中线 6.如图所示,等边三角形ABC内一点P到三边距离分别为,,,且,其中 ,,,则△ABC的边BC上的高为( ) A.6 B.3 C.4 D.5 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：等面积法 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=5,BC=12,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定 答案：B
北师大版八年级数学上解题技巧专题：勾股定理与面积问题.docx
初中数学试卷 桑水出品 解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上的高 1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为( ) A. 1013 B.15 13 C.6013 D.7513 2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长为________． ◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝7cm ，c ＝5cm ，则Rt △ABC 的面积是( ) A ．6cm 2 B ．9cm 2 C ．12cm 2 D ．15cm 2 4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，P 是BC 边上除B ，C 点外的任意一点，则代数式AP 2＋PB ·PC 等于(提示：过点A 作AD ⊥BC )( ) A ．25 B ．15 C ．20 D ．30 ◆类型三 巧妙割补求面积 5．如图所示是一块地，已知AD ＝8米，CD ＝6米，∠D ＝90°，AB ＝26米，BC ＝24米，求这块地的面积．【方法5②】 6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积． ◆类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积 7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝( ) A ．25 B ．31 C ．32 D ．40 8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( ) A ．9 B ．36 C ．27 D ．34 9．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________．