2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)
2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析）
例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为（ ）
A
．
2 B
．．132
D
．
例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．
4 B ．3 C ．4 D ．12
例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π
三、其他柱体、锥体的外接球问题
二、与正棱锥有关的外接球问题
一、构造正方体与长方体的外接球问题
一、选择题
1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π
2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
C ．12π
D ．
3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．
32π
3
4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值 ） A ．
169π16 B ．
289π16 C ．25π
16
D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．
D ．6π
6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）
对点增分集训
A ．21π
B ．
32π3 C ．16
π3
D ．16π
7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =AB ⊥平面ACD ，则四面体
ABCD 外接球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．88π
C ．92π
D ．128π
8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体
积的最大值为O 的体积为（ ） A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π
9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．24π
C ．
D ．48π
10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，
2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）
A ．
40π3 B ．30π3 C ．20π3 D ．10
π3
11．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，
且tan 2
APO ∠=
P ABC -的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．24π
C ．
D ．48π
12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC = 则这个四面体的体积为（ ）
A ．2
3
B ．3
C ．3
D ．3
二、填空题
13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为
PA =，则OAB △的面积为 ．
15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π
3
A =，14AA =，则直三棱柱111ABC A
B
C -的外接球的表面积 ．
16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
例1：【答案】C
【解析】∵AB AC
⊥，∴直三棱柱
111
ABC A B C
-的底面ABC为直角三角形，
把直三棱柱
111
ABC A B C
-补成长方体，
则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O的半径为
13
22
=．
例2：【答案】C
【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，∴球心是底面三角形的中心，
∵球的半径为12
1
1
344
⨯⨯=．例3：【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则2
1
2
AOB
S R
=
△
，
当OC⊥平面AOB时，三棱锥O ABC
-的体积最大，
此时2
11
36
32
V R R
=⨯⨯=，解得6
R=，
所以球O的表面积为2
4π6144π
S=⨯=．
一、选择题
1．【答案】C
【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为，球的表面积为24π．
2．【答案】A
外接球答案
【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，
2R l ==2R =
，2
3=4π4π3π4
S R =⨯=球． 3．【答案】C
【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，
则外接球的半径2
R =
=，故表面积为24π12πS R ==． 4．【答案】B
【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，
则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =
︒=．
由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．
由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．
ABC △的外接圆半径满足2sin a r A
=，即
2sin 60r =︒
，∴1r BE ==．
在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178
R =
． 据此可得这个球的表面积为2
289289
4π4ππ6416
S R ==⨯
=．
5．【答案】A
【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
即此球的半径2
R =
，故球的表面积2
4π3πS R ==．
6．【答案】D
【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =，
即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，
当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，
所以11
=332
PD ⨯，解得=3PD ，
设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，
在OCD Rt △中，12
CD AC =
=222
(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为2
4π216πS =⨯=．
7．【答案】B
【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD =， 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，
又AB ⊥平面ACD ，故2R ==
则24π88πV =⨯=． 8．【答案】D
【解析】由题意可知221111
(sin 60)(sin 60)3232
C OAB V R h R R -=
︒≤︒=6R =，34
=π288π3
V R =球．
9．【答案】C
【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，
26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==
AO ==
所以球的体积为
34π
3
⨯=．
10．【答案】A
【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，
∴222
1
2cos604922372
BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=，即BC =
∴2sin 603BC r =
=︒，解得3
r =，
∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ，
则将三棱锥补成三棱柱可得，2
222110(
)1293
PA R r =+=+=， 即球O 的表面积为2
1040π4π4π33
S R ==⨯
=． 11．【答案】A
【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，
点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2
APO ∠=
．
∴sin 3APO ∠=
，cos 3APO ∠=，∴3AO =，3
PO =． 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，
∴222O O AO AO ''+=，∴22
2(
)(33
R R -+=，解得R =
∴四面体P ABC -的外接球的体积为．
12．【答案】B
【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222
AB BC AC +=．
∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点． ∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，
又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．
即BC ⊥面ABC ，DC =
则四面体的体积为111332ABC S DC ⋅=⨯=△． 二、填空题 13．【答案】29π
【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R ，
∴2R ==，∴R =
． ∴外接球的表面积为2
4π29πS R ==．
14．
【答案】【解析】∵ABCD
是边长为PA ⊥平面ABCD
，PA =
∴222242448PC AP AC =+=+=
，∴2R =
R OP ==
∴1sin 602
AOB S =⨯︒=△ 15．【答案】
160π3 【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面
外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．
在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos 283
BC =+-⨯⨯⨯=
，∴BC =
由正弦定理得2πsin 3
r =
=
r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =
，1O A r ==
∴24
28404214933
R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯
=．
16．【答案】12π
【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角
线的长，所以2r =，r =
所以球的表面积为24π12πS R ==．
高考必考题—几何体中与球有关的切、接问题(含解析)
几何体中与球有关的切、接问题 球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲 题型一 、几何体的外接球 解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置． 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若 ⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2 BDC π ∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ?是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（ ） A ． B C D ．
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
【知识点分析】： 一、 球的性质回顾 如右图所示：O为球心，O’ 为球O的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。 求外接球半径的原理是：在Rt△OAO’中，OA2=OO’2+O’A2 二、常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法 1、三角形： （1）等边三角形： 等边三角形(正三角形)，五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。 内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点； 重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。 从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解： a a r 3 3 2 3 3 2 = ? =（其中a为等边三角形的边长） （2）直角三角形： 结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，r= 2 c 。 （3）等腰三角形： 结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位 于底边的高线(即中线)上。 由图可得：2 2) 2 ( ) ( a r h r+ - = （4）非特殊三角形：非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2 sin sin sin a b c R C === A B 。 r r AD=h，BD= 1 2 a B C O
2、四边形 常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。 外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。 结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，(也即球心落在过底面外心的垂线上，)简单称之为：球心落在底面外心的正上方。 【相似题练习】 2．半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，则三棱锥的高为（）A．3B．C．2D．3 【知识点分析】：
2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)
2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析） 例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥， 112AA =，则球O 的半径为（ ） A ． 2 B ．．132 D ． 例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ） A ． 4 B ．3 C ．4 D ．12 例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 三、其他柱体、锥体的外接球问题 二、与正棱锥有关的外接球问题 一、构造正方体与长方体的外接球问题
一、选择题 1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ． C ．12π D ． 3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ． 32π 3 4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值 ） A ． 169π16 B ． 289π16 C ．25π 16 D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ． D ．6π 6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） 对点增分集训
2020届福建省三明市高三毕业班质量检查测试数学(文)试题(解析版)
2020届福建省三明市高三毕业班质量检查测试数学（文）试 题 一、单选题 1．已知复数5 2z i = -，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ） A ． 10533i + B ．2i + C ． 10533 i - D ．2i - 【答案】B 【解析】直接利用复数的除法法则计算得解. 【详解】 由题得55(2)5(2)22(2)(2)5 i i z i i i i ++====+--+. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．设集合{}3A x x =≤，{} 2log 1B x x =≥，则A B =（ ） A ．[]0,2 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[ )3,+∞ 【答案】C 【解析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】 {}{}2log 12B x x x x =≥=≥，{}3A x x =≤，因此，[]2,3A B =. 故选：C. 【点睛】 本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 3．要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π? ?=+ ?? ?的图象（ ） A ．向左平移 4 π 个单位 B ．向右平移 4π个单位 C ．向上平移4 π 个
单位 D ．向下平移 4 π 个单位 【答案】B 【解析】由题意利用函数sin()y A x ω?=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：只需将函数)4y x π = +的图象向右平移4 π个单位， 即可得到函数y x =的图象， 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查函数sin()y A x ω?=+的图象变换规律，属于基础题． 4．已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数m =（ ） A ．2- B ．3 C ．5 D ．2-或3 【答案】A 【解析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】 当1m =时，显然不符合题意，所以1m ≠， 由230mx y ++=得3 22 m y x =- -，由3(1)0x m y m +-+=得311 m y x m m =- ---， 所以321321m m m m ?-=-??-??-≠-?-? ，解得2m =-. 故选：A. 【点睛】 本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题. 5．将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．283 B ．286 C ．287 D ．288 【答案】D
2021版高三数学解题万能解题模板34 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略(解析版)
专题34 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现． 类型一球的内切问题 万能模板内容 使用场景有关球的内切问题 解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步得出结论. 例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小． 【答案】（1）；（2）当时，体积之和有最小值．
【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可． 【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 【答案】球取出后，圆锥内水平面高为． 【解析】
又，则，解得． 答：球取出后，圆锥内水平面高为． 【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解． 考点：空间几何体的体积； 【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． 【答案】，
2020届高考数学专题十三三视图与体积表面积精准培优专练文
三视图与体积表面积培优点十三一、三视图与体积的结合 1 1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为，则该几何体的体积是（））例 8624 C． D．BA．． B 【答案】【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示）， 2212其中底面直角梯形的上、下底边分别为，，，高为，直四棱柱的高为2?(12)?6??2．，故选所以该几何体的体积为B2 二、三视图与表面积的结合 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和例2：如图，网格纸上小正方形的边长为两个线段组成，则该几何体的表面积为（） 12π?20π?1216?12π17π?1212 D．． CBA．．C 【答案】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，【解析】331，高均为，两个半圆柱的底面半径分别为和11112212π?202)?2??3?1π?(231?π?33π ?2???2???π3??所以该几何体的表面积为．2222 对点增分集训
一、选择题．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）1． ππ4π4π2)8?16(116??16? B． A．D． C．3333C 【答案】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，【解析】画出直观图如图所示， VV设四棱柱的体积为，结合图中数据，，圆锥的体积为21π1422??16π?12?V?VV??4??4 C 得该几何体的体积．，故选21331 2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（） 32252．D ．C ．B ．A． 【答案】D A?BCD即为所求几何体，【解析】如图，三棱锥 2?2BD1CD?3?AC?2AB5?5BC?AD2，，，，，，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为，3AB，长度为则最长棱为．．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木3 头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一
外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球 解决外接球的三种处理方法：总的原则是找到几何体特征元素之间的关系。1、找截面。通过截面找到球心，得出特征元素间的关系。如：正方体中的三种球。2、放到特殊几何体中即补形法，熟悉几种常见的补形。3、找球心，建立关系。找球心的基本方法是过某个面的外心作其垂线。常见的有线面垂直和面面垂直两类。 一、由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）． 二、球体公式 1.球表面积S=4π2 R 2.球体积公式V=3 3 4 R π 三、球体几个结论： （1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直 四、外接球几个常见模型 O
1.长方体（正方体）模型 例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（） 答案：14
练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） 答案：12π 2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形） 球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上 半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径， r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理 r A a 2sin = （一边一对角) 例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 ，体积为，则这个球的表面积是____ . 【解析】
立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)
圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球 一、球与棱柱的组合体问题 1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是 π3 32 ，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B. 332 C.324 D.3 3 4 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23 3，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π3 8 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为形 .若,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 F
高三数学理科综合内切球和外接球问题附习题
高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点; 一、直接法公式法 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ . 解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的 43π__________. 体积为____ 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 2007年天津高考题一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长 1,2,3,则此球的表面积为. 分别为 解析：体对角线正好为球的直径;长方体体对角线长为14,故球的表面积为14π. 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为 C . A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：长、宽、高分别为2,2,4 3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一 个球面上,且该六棱柱的体积为9 8,底面周长为３,则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为h , 则有263,1, 296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨ =⨯⎪⎪=⎩⎩ 43V π = 球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法补形法 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,, 则其外接球的表面积是_______9π________. 解 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. 则有 () 2 2 2 2 29 R = ++=.∴ 29 4R = .故表面积249S R ππ==. 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体 ,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体; 例 6 .,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 A
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第7章 §7.2 球的切、接问题 培优课
§7.2球的切、接问题 题型一定义法 例1(1)已知∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，若P A＝AB＝BC＝1，则四面体P ABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为() A．π B.3πC．2π D.3π2 答案 D 解析如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得P A⊥BC， 又因为AB⊥BC，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB， 所以BC⊥平面P AB， 所以BC⊥PB， 在Rt△PBC中，OB＝1 2PC， 同理OA＝1 2PC， 所以OA＝OB＝OC＝1 2PC， 因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上， 在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝ 2. 在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝3， 球O的半径R＝1 2PC＝ 3 2， 所以球的体积为4 3 π⎝⎛⎭⎫323＝3π2. 延伸探究本例(1)条件不变，则四面体P－ABC的内切球的半径为________．
答案 2－1 2 解析 设四面体P －ABC 的内切球半径为r . 由本例(1)知， S △P AC ＝12P A ·AC ＝12×1×2＝2 2， S △P AB ＝12P A ·AB ＝12×1×1＝1 2， S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×1×1＝1 2， S △PBC ＝12PB ·BC ＝12×2×1＝2 2， V P －ABC ＝13×1 2AB ·BC ·P A ＝13×12×1×1×1＝16 ， V P －ABC ＝1 3(S △P AC ＋S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC )·r ＝13⎝⎛⎭⎫22＋12＋12＋22·r ＝16， ∴r ＝2－12 . (2)在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与点C 重合于点P ，若∠APD ＝150°，则三棱锥M －P AD 的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．34π C ．68π D ．126π 答案 C 解析 如图，由题意可知，MP ⊥P A ，MP ⊥PD . 且P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以MP ⊥平面P AD . 设△ADP 的外接圆的半径为r ， 则由正弦定理可得AD sin ∠APD ＝2r ，
2020届高三文科数学精准培优专练十三：三视图体积与表面积(解析版)
2020届高三文科数学精准培优专练十三：三视图体积与表面积（解析版） 1．由三视图求面积 例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________． 【答案】33π 【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182 S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π． 2．由三视图求体积 例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．4 B ． C ． D ．8 【答案】D
【解析】由于长方体被平面所截， ∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=， ∴22416V =⋅=长方体，∴182 V V ==长方体，故选D ． 对点增分集训 一、单选题 1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径 为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）
专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径. 二．解题策略 类型一 构造法（补形法） 【例1】已知,,,S A B C 是球O 上的点SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥, 1SA AB ==， 2BC =,则球O 的 表面积等于________________． 【答案】4π 【解析】 由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以OA OB OC OS === ，又SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为 1SA AB ==， 2BC =,所以2222=2,1R SA AB BC R ++==，所以球O 的表面积244S R ππ==. 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球. 【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
2020届高三数学(理)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (27)
2020届高三数学（理）小题每日一练 13. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1．函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B ⋂= A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫ +∞⎪⎢⎣⎭ 2．已知复数z 满足(3425z i i i ⋅-=+为虚数单位) ，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．2,15⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ 3．设角α是第二象限角,且αcos 2=-cos α2,则角α 2 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4．命题“[]2 1,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤ 5．已知数列3 21121,,,,n n a a a a a a a -L 是首项为8，公比为12 的等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．32 C ．64 D ．128 6．“执行如题图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A ．12 s > B ．35 s > C ．710 s > D ．45 s > 7．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==uu r uu u r uuu r ，2AB =uu u r ，1AC =uuu r ， AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r (),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则 BC =uu u r （ ） A ． 7 3 B C ．7 D 9．已知函数2()log f x x =，()2g x x a =+，若存在121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，使得()()12f x g x =， 则a 的取值范围是（ ） A ．[5,0]- B ．(,5][0,)-∞-+∞U C ．(5,0)- D ． (,5)(0,)-∞-⋃+∞ 8π6π4 π3
专题6 立体几何与空间向量(三)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义
立体几何与空间向量（三） 与球有关的切、接问题 知识梳理 1．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 2．记住几个常用的结论： (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R . ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 热点一 构造长方体或柱体 例1(1)在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面 积分别为22，32，6 2，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________． (2)在三棱锥P －ABC 中，P A ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，则三棱锥P ABC 的外 接球的表面积为________． (3)已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝ 2.若球O 的表面积为4π，则SA ＝( ) A.2 2 B ．1 C. 2 D.3 2 例2 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( ) A ．36π B ．112 3π C ．32π D ．28π 及时归纳 构造法在定几何体外接球球心中的应用 常见的构造条件及构造方法有： (1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将
高考数学最新真题专题解析—外接球(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—外接球（新高考卷） 【母题来源】2022年新高考I 卷 【母题题文】已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A. [18,81 4] B. [274,81 4] C. [274,64 3] D. [18,27] 【答案】C 【分析】 本题考查了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属较难题． 【解答】 解：方法 (1) ： 设正四棱锥 P −ABCD 的高为 PO 1=ℎ ，底面边长为 a ，球心为 O ，由已知易得球半径为 R =3 ， 所以 {(√22a)2+(ℎ−3)2=9(√22a)2+ℎ2=l 2⇒{6ℎ=l 2 a 2 =2(6ℎ−ℎ2) ，因为 3≤l ≤3√3⇒9≤6ℎ≤27⇒3 2≤ℎ≤9 2 ， 故所以 V =1 3a 2ℎ=2 3(6ℎ−ℎ2)ℎ=1 3(12−2ℎ)ℎ×ℎ≤1 3×[(12−2ℎ)+ℎ+ℎ3 ]3 = 643 ( 当且仅当 ℎ=4 取到 ) ， 当 ℎ=3 2 时，得 a = √3 √2 ，则 V min =1 3a 2ℎ=13 ( √3√2 2 ×32= 274 ; 当 l =3√3 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ℎ=3 2+3=9 2 ，
√2 2a=3√3 2 ⇒a=√3 √2 ，正四棱锥体积V1=1 3 a2ℎ=1 3 (√3 √2 )2×9 2 =81 4 <64 3 ，故该 正四棱锥体积的取值范围是[27 4,64 3 ]. 方法(2): 由方法(1)中知V=2 3(6−ℎ)ℎ2，3 2 ≤ℎ≤9 2 ，求导V′=2(4−ℎ)ℎ，所以 V=2 3(6−ℎ)ℎ2在[3 2 ,4]上单调递增，在[4,9 2 ]上单调递减，所以V m ax= V(4)=64 3，V min=min{V(3 2 ),V(9 2 )}=V(3 2 )=27 4 ，故该正四棱锥体积的取值范 围是[27 4,64 3 ]. 【母题来源】2022年新高考II卷 【母题题文】已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 【答案】A 【分析】 本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用． 【解答】 解：由题意如图所示，上底面所在平面截球所得圆的半径是O1A1=3， 下底面所在平面截球所得圆的半径是O2A2=4， 则轴截面中由几何知识可得√R2−32+√R2−42=1，解得R2=25， 因此球的表面积是S=4πR2=4π⋅25=100π．
2020年高考文科数学全国卷3(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页） 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}|315B x x =＜＜，则A B 中元素的个数为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 2.若()1i 1i z +=-，则z = A .1i - B .1i + C .i - D .i 3.设一组样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，…，10n x 的方差为 ( ) A .0.01 B .0.1 C .1 D .10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型： ()() 0.23531t K I t e --= +，其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K * =时，标志着已初步遏 制疫情，则t * 约为（ln193≈） ( ) A .60 B .63 C .66 D .69 5.已知πsin sin 13θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛ ⎫+= ⎪⎝⎭ ( ) A . 1 2 B C . 23 D .2 6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为( ) A .圆 B .椭圆 C .抛物线 D .直线 7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线()2 :20C y px p =＞交于D ，E 两点，若 OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， C .()10， D .()20， 8.点()01-， 到直线()1y k x =+距离的最大值为 ( ) A .1 B C D .2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( ) A . B .C . D .10.设3log 2a =，5log 3b =，2 3 c =，则 ( ) A .a c b ＜＜ B .a b c ＜＜ C .b c a ＜＜ D .c a b ＜＜ 11.在ABC △中，2 cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B = ( ) A B . C . D .12.已知函数()1 sin sin f x x x =+ ，则 ( ) A .()f x 的最小值为2 B .()f x 的图像关于y 轴对称 C .()f x 的图像关于直线πx =对称 D .()f x 的图像关于直线π 2 x = 对称 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点4：几何体的“内切”“外接”球问题综合专练(教师版)
考点4：几何体的“内切”“外接”球问题综合专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD -（如图），PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ， F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P AEF -外接球的 表面积为（ ） A ．72 π B ．3π C ．92 π D ．7π 【正确答案】A 【思路点拨】 如图所示，把AP ，PB 剪开，使得PAB △与矩形ABCD 在同一个平面内．延长DC 到M ，使得CM DC =，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，PE EF FD ++取得最小值，即空间四边形PEFD 的周长取得最小值．再利用三角形相似和勾股定理，即可求出 ,,BE EF AF ．设AEF 的外心为1O ，外接圆的半径为r ，则2sin sin AF AF r AEF BEF = =∠∠．再 由2 2 2 2h R r ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ 即可得出结论． 【步步为营】 解：如图所示，把AP ，PB 剪开，使得PAB △与矩形ABCD 在同一个平面内． 延长DC 到M ，使得CM DC =，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，PE EF FD ++取得最小值，即空间四边形PEFD 的周长取得最小值． 如图所示，可得1 22 CF PD ==， 1BF ∴=．2CF CM FM BF BE FE ∴ === ∴12BE = ,EF =sin BEF ∴∠AF 设AEF 的外心为1O ，外接圆的半径为r ，