2020全国新高考培优高考仿真模拟(一)文科数学(解析版)

2020高考仿真模拟(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U 为实数集R ，已知集合M ＝{x |x 2－4>0}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A ．{x |x <－2}

B ．{x |x >3}

C ．{x |1≤x ≤2}

D ．{x |x ≥3或x <－2}

答案 D

解析由题可得M ＝{x |x 2－4>0}＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1

2．若复数z 满足z 2＝－4，则|1＋z |＝( ) A ．3 B. 3 C ．5 D. 5 答案 D

解析设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R)，则(x ＋y i)2＝－4，

即x 2－y 2

＋2xy i ＝－4，所以⎩

⎨⎧

x 2－y 2＝－4，2xy ＝0，解得

⎩⎨⎧

x ＝0，

y ＝±

2，所以z ＝±2i ，|1＋z |＝|1±2i|＝5，故选D.

3．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

根据表中数据，得到K 2

＝50×(13×20－10×7)2

23×27×20×30

≈4.844，若已知

P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为( )

A ．25%

B ．5%

C ．1%

D ．10% 答案 B

解析由K 2≈4.844，对照临界值得4.844＞3.841，由于P (K 2≥3.841)≈0.05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%.故选B.

4．以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n 2＝(n ＋1)(n ＋2)，则输出的i 为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 B

解析执行程序框图，i ＝1，S ＝12＝1，N ＝(1＋1)(1＋2)＝6，S ≠N ；i ＝2，S ＝1＋22＝5，N ＝(2＋1)(2＋2)＝12，S ≠N ；i ＝3，S ＝5＋32＝14，N ＝(3＋1)(3＋2)＝20，S ≠N ；i ＝4，S ＝14＋42＝30，N ＝(4＋1)(4＋2)＝30，S ＝N .输出的i 为4，结束，故选B.

5．已知f (x )＝ln x

x ，其中e 为自然对数的底数，则( ) A ．f (2)>f (e)>f (3) B ．f (3)>f (e)>f (2) C ．f (e)>f (2)>f (3) D ．f (e)>f (3)>f (2)

答案 D

解析 f (x )＝ln x

x ，f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)，f (2)－f (3)＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 9

6<0，∴f (2)f (3)>f (2)，

故选D.

6．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为1，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是(

)

A.1

3π B.

12π＋1 C.1π＋1

D.2π 答案 B

解析阴影部分的面积等于π16－⎝ ⎛⎭

⎪⎫π16－12×12×12＝1

8，所以根据几何概型得阴影所示月牙

形区域的概率P ＝1818＋π4

＝1

1＋2π.故选B.

7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1

2，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2020＝( ) A ．22019－1

2 B ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫

122019

C ．22020－1

2 D ．1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

122020

答案 A

解析由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4

＝12q 3

，故q ＝2，所以S 2020＝1

2(1－22020)1－2

＝22019－12，故选A. 8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函

数恰为奇函数，则φ的最小值为( )

A.π12

B.π6

C.π4

D.π

3 答案 B

解析根据题意可得y ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ>0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π

6，故选B.

9．设a ＝log 20182019，b ＝log 20192018，c ＝20181

2019，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a 答案 C

解析因为1＝log 20182018>a ＝log 20182019>log 20182018＝1

2，b ＝ log 20192018

2019>20180＝1，故c >a >b ，故选C.

10．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1＋e x －1

e x ，其中e 是自然对数的底数．若

f (a －1)＋f (2a 2)≤2，则实数a 的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－32，1

C.⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，1

答案 C

解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3－2x ＋e x －1e x ，x ∈R.则g (－x )＝－x 3＋2x ＋1

e x －e x ＝－g (x )，∴g (x )在R 上为奇函数．∵g ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1

e x ≥0－2＋2＝0，∴函数g (x )在R 上单调递增．

∵f (a －1)＋f (2a 2)≤2可化为f (a －1)－1＋f (2a 2)－1≤0，即g (a －1)＋g (2a 2)≤0，即g (2a 2)≤－g (a －1)＝g (1－a )，∴2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，

解得－1≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤－1，12.故选C.

11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )

A.23

B.49

C.269

D.8

27 答案 B

解析设圆锥底面圆的半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r ＝3

3R ，S 球＝4πr 2＝

4π·⎝ ⎛⎭

⎪⎫33R 2＝4π3R 2，S 圆锥＝πR ·2R ＋πR 2＝3πR 2，所以球与圆锥的表面积之比为S 球

S 圆锥＝4π3R 23πR 2＝49，

故选B.

12．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 3，则函数f (x )在区间[2018,2021]上( )

A ．无最大值

B ．最大值为0

C ．最大值为1

D ．最大值为－1

答案 C

解析因为函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，所以f (4－x )＝－f (x )．又函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (－x )．令t ＝－x ，得f (4＋t )＝f (t )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，f (－2)＝－f (2)，由函数f (x )的周期为4，得f (－2)＝f (2)，所以－f (2)＝f (2)，解得f (2)＝0.所以f (－2)＝0.依此类推，可以求得f (2n )＝0(n ∈Z)．作出函数f (x )的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f (x )在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样. 观察图象可知，函数f (x )在区间(－2,1]上单调递增，且f (1)＝13＝1，又f (－2)＝0，所以函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值是1，故函数f (x )在区间[2018,2021]上的最大值也是1.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝π

3，若向量a ＝e 1－2e 2，则|a |＝ ________.

答案 3

解析因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π

3，所以|a |2＝|e 1－2e 2|2＝1－ 4|e 1||e 2|cos π3＋4|e 2|2＝1－4×1×1×1

2＋4＝3，即|a |＝ 3.

14．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧

x －y ＋1≥0，

3x －y －3≤0，