解三角形题型的解法
解三角形题型的解法
一、直角三角形中各元素间的关系：
在ABC ?中，0
90,,,.C AB c AC b BC a ==== （1）三边之间的关系：222a b c +=(勾股定理） （2）锐角之间的关系：090A B +=； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sin cos a A B c ==
，cos sin b A B c ==，tan a
A b
=. 二、斜三角形中各元素间的关系：
在ABC ?中，A B C 、、为其内角，a b c 、、分别表示A B C 、、的对边. （1）三角形内角和：A B C π=++.
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.
2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.
222
222
222
cosA cosB cosC 222b c a a c b a b c bc ac ab
+-+-+-=
=
=
2222cos a b c ab C +-= 2222cosA c b a bc +-= 2222cosB a c b ac +-=
三、三角形的面积公式：
（1）111
222a b c S ah bh ch ?=
==（a b c h h h 、、分别表示a b c 、、的高）
； （2）111sin bcsinA acsin 222S ab C B ?===＝2
1
四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验. 五、三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. （1）角的变换
因为在ABC ?中，A B C π=++，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；
tan()tan A B C +=-；2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+. （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 六、求解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义. 七、解应用题中的几个角的概念 （1）仰角、俯角的概念：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角.如图：
（2）方向角：相
对于某正方向的水平角.如南偏西
045等.
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角.
【方法讲评】
题型一 求三角形的角和边
使用情景 解三角形
解题步骤
一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变形来解答.
【例1】在ABC ?中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求c B C 、、．
【点评】（1）利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数学情景，知道两边和其中一边的对角一般利用正弦定理解答；（2）已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系定理检验. 学科@网
【反馈检测1】在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C sin cos sin cos a b -B B
=
B A
． （1）求角A 的大小；
（2）若3a =，sinC 2sin =B ，求b ，c 的值．
题型二 求三角形的面积
使用情景
解三角形
解题步骤
利用公式11
sin 22
a S ah a
b C =
=解答. 【例2】 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23cos cos 3b c C
A a
-=
. （1）求角A 的值； （2）若角6
B π
=
，BC 边上的中线7AM =，求ABC ?的面积.
【点评】求三角形的面积一般利用公式11
sin 22
a S ah a
b C =
=解答，注意灵活选用公式. 【反馈检测2】在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
题型三 判断三角形的形状
使用情景
解三角形
解题步骤 一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.
【例3】在ABC △中，若2
2
tan tan b a B A =，则ABC △的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形
【点评】（1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.（2）in 2sin 2A B =得到22A B =或022180A B +=，不要漏了022180A B +=.
【反馈检测3】已知,,a b c 分别是ABC ? 中角,,A B C 的对边sin 4sin 4sin ac A C c A +=. （1）求a 的值；
（2）圆O 为ABC ?的外接圆（O 在ABC ?内部）, ABC ?3
4b c +=,判断ABC ?的形状, 并说明理由.
题型四 解三角形的应用 使用情景 解三角形的应用
解题步骤
先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.
【例4】已知甲船正在大海上航行，当它位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30?，相距10海里C 处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达.（供参考使用：2
3
41tan =
?）. (1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度). 【解析】依题意画出A B C 、、的方位图，如下
【点评】（1）解三角形的应用题，一般先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.（2）解三角形的一般规律：必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解.
【反馈检测4】在海岸A 处，发现北偏西75°的方向，与A 距离2海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏东45°方向，与A 距离(3－1)海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
题型五 取值范围或最值问题 使用情景 求变量的取值范围或最值.
解题步骤 一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质求函数的取值范围或最值.
【例5】在锐角ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边c b a ,,，已知2=c ，3
π
=C .
（1）若ABC ?的面积等于3，求b a ,； （2）求b a +的取值范围.
【点评】本题第2问，利用正弦定理建立三角函数模型后，要注意角A 的范围，不能简单地根据“锐 角ABC ?”，把角A 的范围定为02
A π
<<
,锐角三角形指的是每一个内角都是锐角，所以要考虑
,,(0,)2
A B C p
?,才能得到角A 的准确范围.
【反馈检测5】在ABC ?中，三个内角
A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos 3
cos 1
A b
B a == (1)求证：AB
C ?是直角三角形；
(2)设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧?AC 上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ?的
面积，并求PAC ?面积最大值.
参考答案
【反馈检测1答案】（1）3
π
A =
；（2）3b =，23c =.
【反馈检测2答案】（1）2a =，2b =; （2）3
3
S =
【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，22
4a b ab +-=，
又因为ABC △31
sin 32
ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ?+-=?=?
，
，解得2a =，2b =．
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin
cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， 当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=，433a =，233b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ?+-=?=?，，
解得23a =，43
b =．
所以ABC △的面积123
sin 2S ab C =
=． 【反馈检测3答案】（1）2a =；（2）等边三角形. 学科@网
【反馈检测4答案】缉私船沿北偏西60o 的方向能最快追上走私船
【反馈检测4详细解析】由已知条件得，2,31,120AB AC BAC ==∠=o
，
∴BC =22244232326AB AC AB AC cos BAC ??∠＋－＝＋－＋－＝.
在ABC ?中，
AB BC sin ACB sin BAC
∠∠＝
，解得2sin 2ACB ∠=，∴45ACB ∠=o
， ∴BC 为水平线，设经过时间t 小时后，缉私船追上走私船，则在BCD ?中，
10,3,120BD t CD t DBC ==∠=o ，
sin BCD ∠
=
3
10122103t BDsin CBD CD t
?
∠＝＝， ∴30BCD ∠=o ，∴缉私船沿北偏西60o 的方向能最快追上走私船．
【反馈检测5答案】（1）证明略；（2）3
π
θ=
时， PAC S ?最大值等于3
4.
【反馈检测5详细解析】(1)证明：由正弦定理得
cos sin cos sin A B
B A
=
，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝2π∵31b a =，∴A ＝B 舍去.由A ＋B ＝2π可知c ＝2
π
，
∴ΔABC 是直角三角形
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
解三角形常见题型
解三角形常见题型 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、 角 关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、 中线)及周长等基本问题．1. 在ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ( ) A ． 2 3B ． 3 2C ． 3 2D ． 2 3【答案】D 2．（1）在ABC 中，已知0 32.0A ，0 81.8B ，42.9a cm ，解三角形； （2）在ABC 中，已知20a cm ，28b cm ，0 40A ，解三角形（角度精确到0 1，边长精确到 1cm ）。 3．（1）在 ABC 中，已知23a ，62c ，0 60B ，求b 及A ； （2）在 ABC 中，已知134.6a cm ，87.8b cm ，161.7c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷 ) ABC 中，3 A ，BC ＝3，则 ABC 的周长为（ ） A ． 33 sin 34B B ．3 6 sin 34B C ．3 3 sin 6B D ．3 6 sin 6B 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷 ) 在ΔABC 中，已知6 6cos ,3 64B AB ，AC 边上的中线BD= 5，求 sinA 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sinA ．解：设E 为BC 的中点，连接 DE ，则DE//AB ，且3 622 1AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得： BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ， x x 6 63 622 3 852 ，解得1x ，3 7x （舍去） 故BC=2，从而3 28cos 22 2 2 B BC AB BC AB AC ，即3 212AC 又6 30sin B ， 故 221 23sin 306 A ， 14 70sin A
解三角形题型汇总.docx
《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 解三角形知识点、常见题型及解题方法 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2- C ．32 D ．23 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ?? +πB B ．36sin 34+??? ? ?+πB C ．33sin 6+??? ?? +πB D ．36sin 6+??? ? ?+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 22?-+=， x x 6 636223852??++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 解三角形的基本题型 睢县回族高级中学 杨少辉 解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。 一、与解三角形有关的公式、定理、结论： 1、正弦定理： 2,(R ABC )sin sin sin a b c R A B C ===?是的外接圆半径 ； 正弦定理的变形：::sinA:sinB:sinC a b c = ; （根据合比定理） 2,(R ABC )sin sin sinA sinB sin a b a b c R A B C ±±±==?±±±是的外接圆半径 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的变形：222sin sin sin 2sinBsinCcos A B C A =+- 222sin sin sin 2sin sinCcos B A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 3、三角形面积公式： （1）12 ABC S ?=?底高； （2）（两边及夹角）111sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ?===； （3）（两角及夹边） 2221sinB.sinC 1sin .sinC 1sin .sin 2sin(B C)2sin()2sin() ABC A A B S a b c A C A B ?= ==+++； （4）（两角及对边） ()()222sin .sinC sin .sinA 1sin(A B).sin 112sin 2sin 2sin ABC B C A C B S a b c A B C ?+++===； （5）（三边） 2ABC a b c S p ?++? ?= = ??? 其中； （6）（代入正弦定理）22sinAsinBsin 4ABC abc S R C R ?==； （7）()1.;(r )2 ABC S a b c r ?=++其中为内切圆半径； 4、三角形中的边角关系： （1）,A B C,2 2 2 A B C A B C πππ+++=+=-=-； （2）转化为三角函数： ()()sin sin ,cos cosC A B C A B +=+=-； sin cos ,cos sin 2 2 2 2 A B C A B C ++???? == ? ? ?? ?? ； （3）大边对大角： sinA sinB cosA cosB a b A B =?=?=?=； sinA sinB cosA cosB a b A B >?>?>?<； （4）锐角与钝角的判定： 角A 为锐角222sinA cosA 1a b c ?<+?+>； 角A 为直角222sinA cosA 1a b c ?=+?+=； 角A 为钝角222sinA cosA 1a b c ?>+?+<； （5）锐角三角形中的边角关系： sinA cosB 22 A B A B π π +>?> -?>； 二、解三角形的常见题型： 题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数； 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ， 1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= . 2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π 解三角形的基本题型 睢县回族高级中学 杨少辉 解三角形问题是咼考的一种基本问题，可以说是常考; F 面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正 -、与解三角形有关的公式、定理、结论： 1、正弦定理： a b c 2R,(R 是ABC 的外接圆半径)； sin A sin B sin C 正弦定理的变形: a: b: c sin A:si nB:si nC ； 3、三角形面积公式: (1) S ABC -底高 ； 2 (2) (两边及夹角)S AB C 丄 abs inC - bcsi nA 2 2 2 (根据合比定理) a b a b c sin A sin B sinA sinB sin C 2、余弦定理：a 2 b 2 c 2 b a c 2 2 . 2 cab 余弦定理的变形：sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2R,(R 是 ABC 的外接圆半径) 2bccosA 2accosB 2abcosC 2 2 sin B sin C 2sinBsinCcos A 2 2 sin A sin C 2sin AsinCcos B 2 2 sin A sin B 2sin AsinBcosC (3) (两角及夹边) 1 2 sinB.sinC 1,2 sin A.sinC a b - 2 sin (B C) 2 sin (A C) S ABC 1 2 sin A.sin B . —c 一 2 sin (A B) （4）（两角及对边） 1 2 sin(A B).sin B 1 2 si n B C .si nC 1 2 si nA C .sinA S ABC a b c - 2 sin A 2 sin B 2 sinC (三边) S ABC . p p a p b p c ;其中 p -_b_c ； 1 S ABC -abc .r;（其中r 为内切圆半径） ； 4、三角形中的边角关系： A B sin 2 C cos ,cos 2 (1) ABC ,A B C , (2) 转化为三角函 数: sin A B sin C,cos cosC ； (3) 大边对大 角: (4) (5) a b A B si nA si nB cosA cosB ； a b A B si nA si nB cosA cosB ； 锐角与钝角的判定: 角A 为锐角 2 a .2 2 b c sinA cosA 角A 为直角 2 a .2 2 b c sinA cosA 角A 为钝角 2 a .2 2 b c sinA cosA 锐角三角形中的边角关系: A B — A -B sinA cosB 1 ； 2 2 、解三角形的常见题型: (5) (6) (代入正弦定理) S ABC 2R 2 sinAsi nBsin abc 云； (7) sinC ； 2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° 解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； ②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ?≤c; a-b 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤ + 高中数学必修5 第一章 解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.推论： 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-= ??+-?=???+-=?? . 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin ()222 a S ah a b C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式) 【三角形中的常见结论】 解三角形的基本题型 睢县回族高级中学 少辉 解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。 一、与解三角形有关的公式、定理、结论： 1、正弦定理：2,(R ABC )sin sin sin a b c R A B C ===?是的外接圆半径 ； 正弦定理的变形：::sinA:sinB:sinC a b c = ; （根据合比定理） 2,(R ABC )sin sin sinA sinB sin a b a b c R A B C ±±±==?±±±是的外接圆半径 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的变形：222sin sin sin 2sinBsinCcos A B C A =+- 222sin sin sin 2sin sinCcos B A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 3、三角形面积公式： （1）12 ABC S ?=?底高； （2）（两边及夹角）111sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?===； （3）（两角及夹边） 2221sinB.sinC 1sin .sinC 1sin .sin 2sin(B C)2sin()2sin() ABC A A B S a b c A C A B ?===+++； （4）（两角及对边） ()()222sin .sinC sin .sinA 1sin(A B).sin 112sin 2sin 2sin ABC B C A C B S a b c A B C ?+++===； （5）（三边）2ABC a b c S p ?++??= = ???其中； （6）（代入正弦定理）22sinAsinBsin 4ABC abc S R C R ?==； （7）()1.;(r )2 ABC S a b c r ?=++其中为内切圆半径； 4、三角形中的边角关系： （1）,A B C,222 A B C A B C πππ+++=+=-=-； （2）转化为三角函数： ()()sin sin ,cos cosC A B C A B +=+=-； sin cos ,cos sin 2222A B C A B C ++????== ? ????? ； （3）大边对大角： sinA sinB cosA cosB a b A B =?=?=?=； sinA sinB cosA cosB a b A B >?>?>?<； （4）锐角与钝角的判定： 角A 为锐角222sinA cosA 1a b c ?<+?+>； 角A 为直角222sinA cosA 1a b c ?=+?+=； 角A 为钝角222sinA cosA 1a b c ?>+?+<； （5）锐角三角形中的边角关系： sinA cosB 22A B A B π π +>?>-?>； 二、解三角形的常见题型： 题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数；解三角形常见题型
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