第六章 平面向量及其应用 章末总结

章末总结

素养一 数学运算

例1 (1)如图所示,在△ABC 中,设AB ????? =a ,AC ????? =b ,AP 的中点为Q,BQ 的中点为R,CR 的中点为P,则AP

????? =( )

A.1

2a +1

2b

B.13a +2

3b

C.2

7a +4

7b D.4

7a +2

7b

(2)已知c =m a +n b ,c =(-2√3,2),a ⊥c ,b 与c 的夹角为2

3π,b ·c =-4,|a |=2√2,求实数m,n 的值及a 与b 的夹角θ.

答案 (1)C

解析 (1)连接BP,则AP ????? =AC ????? +CP ????? =b +PR ????? ,① AP ????? =AB ????? +BP ????? =a +RP ????? -RB ????? ,② 由①+②,得2AP ????? =a +b -RB ????? ,③ 又RB ????? =12QB ????? =12

(AB ????? -AQ ????? )

=12(a -1

2 AP

????? ),④ 将④代入③,得2AP

????? =a +b -12(a -12 AP ????? ), ∴AP

????? =2

7

a +4

7b . (2)因为c =(-2√3,2),所以|c |=4. 因为a ⊥c ,所以a ·c =0.

因为b ·c =|b ||c |cos 2

3π=|b |×4×(-1

2)=-4, 所以|b |=2.

因为c =m a +n b ,所以c 2=m a ·c +n b ·c , 所以16=n×(-4),所以n=-4.

在c =m a +n b 两边同乘a ,得0=8m-4a ·b ,① 在c =m a +n b 两边同乘b ,得m a ·b =12,② 由①②,得m=±√6,所以a ·b =±2√6, 所以cos θ=√62

√2×2

=±√3

2.

所以θ=π

6或θ=5

6π. 素养探究:

1.向量线性运算的注意点:

(1)向量的加、减、数乘结果仍是一个向量.

(2)向量加法运算,要注意向量的首尾相连,利用三角形法则进行运算;向量减法运算,要注意向量的起点相同,差向量应是两个向量终点的连线,指向被减向量.

(3)所求向量用已知向量表示时,通常把待求向量放在三角形或平行四边形中,结合三角形法则或平行四边形法则求解.

2.数量积的运算途径:

(1)垂直:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⊥b ?a ·b =0? x 1x 2+y 1y 2=0.

(2)夹角:①求|a |,|b |,a ·b .②求cos θ=a ·b

|a||b|(夹角公式).③结合θ的范围[0,π]确定θ的大小.

(3)模长:①若a =(x,y),则|a |2

=x 2

+y 2

或|a |=√x 2+y 2.

②平方法:|a |2=a 2=a ·a ,|a ±b |2=a 2±2a ·b +b 2. 3.向量的坐标运算:

(1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法的具体体现.

(2)通过坐标运算可以求向量的坐标、向量的模、夹角,判断共线、平行、垂直等问题.

1-1 (2020江苏南通高一期末)已知向量m =(2,1),n =(0,1),p =(3,4),若λ∈R ,(m +λn )∥p ,则λ=( )

A.3

5

B.-35

C.5

3

D.-5

3

答案 C ∵向量m =(2,1),n =(0,1),∴m +λn =(2,λ+1), 又∵p =(3,4),且(m +λn )∥p ,∴3(λ+1)=2×4,解得λ=5

3.

1-2 如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 交AF 于点H,记AB ????? ,BC ????? 分别为a ,b ,则AH

?????? = .

答案 2

5a +4

5b

解析 设AH ?????? =λAF ????? ,DH ?????? =μDE ????? . 因为F 为CD 的中点,所以AF ????? =12

(AC ????? +AD ????? ),

所以AH ?????? =λ2(AC ????? +AD ????? )=λ

2(AB ????? +2BC ????? )=λ2

AB ????? +λBC

????? , AH ?????? =AD ????? +DH ?????? =AD ????? +μDE ????? =AD ????? +μ(AE ????? -AD ????? )

=(1-μ)BC ????? +μ(AB ????? +12BC ????? )=μAB ????? +(1-μ2

)BC

????? , 所以λ2=μ,λ=1-μ2,解得μ=25,λ=4

5.

因此AH

?????? =25a +4

5

b . 1-3 已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a +b |和|a -b |;

(3)若AB ????? =a ,AC ????? =b ,作△ABC,求△ABC 的面积. 解析 (1)由(2a -3b )·(2a +b )=61, 得4|a |2-4a ·b -3|b |2=61.①

∵|a |=4,|b |=3,代入①式,得a ·b =-6, ∴cos θ=a ·b

|a||b|=-6

4×3=-1

2. 又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.

(2)由(1)知,a ·b =-6,则|a +b |2=(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2=42+2×(-6)+32=13, ∴|a +b |=√13.

同理,|a -b |=√a 2-2a ·b +b 2=√37. (3)由(1)知,∠BAC=θ=120°, |AB ????? |=|a |=4,|AC

????? |=|b |=3, ∴S △ABC =12×|AC ????? |×|AB ????? |×sin ∠BAC=12×3×4×sin 120°=3√3.

素养二 直观想象

例2 (1)(2020宁夏银川一中月考)已知正方形ABCD 的边长为2,M 为正方形ABCD 内一点(包含边界),则(MA ?????? +MB ?????? )·AC

????? 的最小值为( ) A.-11

B.-12

C.-13

D.-14

(2)如图所示,P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,四边形PECF 是矩形,求证:PA=EF.

答案 (1)B

解析 (1)如图,建立以A 为坐标原点的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).

设点M 的坐标为(x,y),则MA ?????? +MB ?????? =(2-2x,-2y), 又AC ????? =(2,2), 所以(MA ?????? +MB ?????? )·AC ????? =4-4x-4y=4-4(x+y).

因为M 为正方形ABCD 内一点(包含边界),则0≤x ≤2,0≤y ≤2, 即0≤x+y ≤4,所以(MA ?????? +MB ?????? )·AC ????? =4-4(x+y)≥-12, 故(MA ?????? +MB ?????? )·AC

????? 的最小值为-12. (2)证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|BP

????? |=λ,

则A(0,1),P (√2

2λ,

√22λ),E (1,√22λ),F (√2

2

λ,0), 所以PA

????? =(-√22λ,1-√22λ), EF ????? =(√22λ-1,-√22λ). 所以|PA

????? |2

=(-√2

2λ)

2

+(1-√22λ)

2

=λ2-√2λ+1,

|EF

????? |2=(√22λ-1)2

+(-√22λ)2

=λ2-√2λ+1,

所以|PA ????? |2=|EF

????? |2,即PA=EF.

素养探究:(1)有垂直特征的向量运算可以建立平面坐标系,转化为坐标运算. (2)利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.

2-1 如图所示,以△ABC 的两边AB,AC 为边分别向外作正方形ABGF,正方形ACDE,M 为BC 的中点,求证:AM ⊥EF.

证明 因为M 是BC 的中点,所以AM ?????? =1

2(AB ????? +AC

????? ), 又EF ????? =AF ????? -AE

????? , 所以AM ?????? ·EF ????? =1

2

(AB ????? +AC ????? )·(AF ????? -AE

????? ) =1

2(AB ????? ·AF ????? +AC ????? ·AF ????? -AB ????? ·AE ????? -AC ????? ·AE ????? ) =1

2(0+AC ????? ·AF ????? -AB ????? ·AE ????? -0) =1

2(AC ????? ·AF ????? -AB ????? ·AE

????? ) =1

2[|AC ????? ||AB ????? |cos(90°+∠BAC)-|AB ????? |·|AC ????? |cos(90°+∠BAC)]=0,所以AM ?????? ⊥EF

????? ,即AM ⊥EF. 素养三 数学建模

例3 在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距离A 为√3-1海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°方向,距离A 为2海里的C 处有一艘缉私艇奉命以10√3海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.

(1)C 船与B 船相距多少海里? C 船在B 船的什么方向?

(2)缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.

解析 (1)由题意可知AB=(√3-1)海里,AC=2海里,∠BAC=45°+75°=120°.

在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2

-2AB ·AC ·cos 120°=6, ∴BC=√6(负值舍去), 由正弦定理,得

AC

sin ∠ABC =

BC

sin ∠BAC

,

即2

sin ∠ABC =√6

√32

,解得sin ∠ABC=√2

2, ∴∠ABC=45°,

∴C 船在B 船的正西方向. (2)由(1)知BC=√6,∠DBC=120°. 设t 小时后缉私艇在D 处追上走私船, 则BD=10t,CD=10√3t,

在△BCD 中,由正弦定理,得10√3t

sin120°=10t

sin ∠BCD , 解得sin ∠BCD=1

2, ∴∠BCD=30°, ∴△BCD 是等腰三角形, ∴10t=√6,解得t=√610.

∴缉私艇沿东偏北30°方向行驶√6

10小时才能最快追上走私船.

素养探究:对于实际应用问题,能用正、余弦定理的,应画出示意图,标示已知元素,然后选择合适的定理求解.

3-1 已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上,A,B 相距10海里,小船甲从海岛B 以2海里/时的速度沿直线向海岛A 移动,同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°的方向以2海里/时的速度移动.

(1)经过1小时后,甲、乙两小船相距多少海里?

(2)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间;若不可能,请说明理由.

解析 (1)设经过1小时后,甲船到达M 点,乙船到达N 点, 则|AM|=10-2=8(海里),|AN|=2(海里),∠MAN=15°+45°=60°,

∴|MN|2=|AM|2+|AN|2-2|AM||AN|·cos 60°=64+4-2×8×2×1

2=52,∴|MN|=2√13(海里),故经过1小时后,甲、乙两小船相距2√13海里.

(2)设经过t(0

sin45°=|AE|

sin75°, 即2t

sin45°=10-2t

sin75°,解得t=5(3-√3)3

.

∴经过

5(3-√3)3

小时,小船甲处于小船乙的正东方向.

1.(2019课标全国Ⅱ,3,5分)已知AB ????? =(2,3),AC ????? =(3,t),|BC ????? |=1,则AB ????? ·BC ????? =( ) A.-3 B.-2 C.2

D.3

答案 C ∵BC ????? =AC ????? -AB ????? =(1,t-3), ∴|BC

????? |=√12+(t -3)2=1,∴t=3, ∴AB ????? ·BC

????? =(2,3)·(1,0)=2. 2.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为

a 2+

b 2-

c 2

4,则C=( )

A.π

2 B.π

3 C.π

4

D.π

6

答案 C 根据余弦定理得a 2

+b 2

-c 2

=2abcos C,因为S △ABC =a 2+b 2-c 2

4

,

所以S △ABC =

2abcosC

4

,

又S △ABC =1

2absin C,

所以tan C=1,因为C ∈(0,π), 所以C=π

4.故选C.

3.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ????? ·AB ????? 的取值范围是( ) A.(-2,6)

B.(-6,2)

C.(-2,4)

D.(-4,6)

答案 A 解法一:如图,过点P 作PP 1⊥直线AB 于P 1,过点C 作CC 1⊥直线AB 于C 1,过点F 作FF 1⊥直线AB 于F 1,AP ????? ·AB ????? =|AP ????? |·|AB ????? |·cos ∠PAB,当∠PAB 为锐角时,|AP ????? |·cos ∠PAB=|AP 1??????? |,当∠PAB 为钝角时,|AP ????? |·cos ∠PAB=-|AP 1??????? |,所以当点P 与C 重合时,AP ????? ·AB ????? 最大,此时AP ????? ·AB ????? =|AC 1??????? |·|AB ????? |=6,当点P 与F 重合时,AP ????? ·AB ????? 最小,此时AP ????? ·AB ????? =-|AF 1??????? ||AB ????? |=-2,又因为点P 是正六边形ABCDEF 内的一点,所以-2

解法二:连接AE,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设P(x 0,y 0),则-1

????? =2x 0∈(-2,6),故选A. 4.(2018课标全国Ⅲ理,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 1

2

解析 由已知得2a +b =(4,2).又c =(1,λ),c ∥(2a +b ), 所以4λ-2=0,解得λ=1

2.

5.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π

3,则△ABC 的面积为 . 答案 6√3

解析 由b 2=a 2+c 2-2accos B 及已知得62=(2c)2+c 2

-2×2c×c×1

2, ∴c=2√3(c=-2√3舍去).∴a=2c=4√3,

∴△ABC 的面积S=1

2ac ·sin B=1

2×4√3×2√3×√3

2=6√3.

6.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 答案 3

4π

解析 在△ABC 中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, ∵sin A ≠0,∴sin B+cos B=0, 即tan B=-1,又B ∈(0,π),∴B=3

4π.

7.(2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C. (1)求A;

(2)若√2a+b=2c,求sin C.

解析 (1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C, 由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理的推论,得cos A=

b 2+

c 2-a 22bc =12.

因为0°

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即√62+√3

2cos C+1

2sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√2

2. 由于0°

2,

故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)·cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=

√6+√2

4

. 8.(2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C 2

=bsin

A. (1)求B;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 解析 (1)由题设及正弦定理得sin A ·sin A+C 2

=sin Bsin A.

因为sin A ≠0,所以sin

A+C 2

=sin B.

由A+B+C=180°,可得sin A+C

2

=cos B

2,

故cos B

2=2sin B

2cos B

2.

因为cos B 2≠0,故sin B 2=1

2,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S=√3

4a. 由正弦定理,得a=csinA sinC =

sin(120°-C)

sinC

=√32tanC +1

2.

由于△ABC 为锐角三角形,故0°

由(1)知A+C=120°,所以30°

2

8

2. 因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,

√3

2

).

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB ????? 平行且方向相反的向量a 可能是( ) A.a =(1,-2) B.a =(9,3)

C.a =(-1,2)

D.a =(-4,-8)

答案 D ∵AB ????? =(1,2),∴a =(-4,-8)=-4(1,2) =-4AB ????? ,∴D 正确.

2.△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,设向量p =(a+c,b),q =(b-a,c-a).若p ∥q ,则角C 的大小为( ) A.π

6

B.π

3

C.π

2

D.2π

3

答案 B p ∥q ?(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,

即c 2-a 2-b 2

+ab=0?cos C=a 2+b 2-c 22ab

=12,

∵0

3.

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC 的面积为3

2,那么b 等于( ) A.

1+√32

B.1+√3

C.

2+√22

D.2√3

答案 B ∵S △ABC =1

2acsin B,∴ac=6.

又∵b 2

=a 2

+c 2

-2accos B=(a+c)2

-2ac-2ac ·cos 30°=4b 2

-12-6√3, ∴b 2=4+2√3,∴b=1+√3(负值舍去).

4.已知i =(1,0),j =(0,1),则与2i +3j 垂直的向量是( ) A.3i +2j

B.-2i +3j

C.-3i +2j

D.2i -3j

答案 C 2i +3j =(2,3),选项C 中,-3i +2j =(-3,2).因为2×(-3)+3×2=0, 所以2i +3j 与-3i +2j 垂直.

5.在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若(b-c)sin B=2csin C 且a=√10,cos A=5

8,则△ABC 的面积等于( ) A.

√39

2 B.√39 C.3√1

3 D.3

答案 A 由正弦定理,得(b-c)·b=2c 2,则b 2-bc-2c 2=0,得b=2c 或b=-c(舍去). 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得c=2(负值舍去),则b=4. 由cos A=5

8,知sin A=

√39

8

, 所以S △ABC =12bcsin A=1

2×4×2×

√398=√39

2. 6.已知非零向量AB ????? 与AC ????? 满足(AB ?????

|AB ????? |+AC ?????

|AC ????? |)·BC ????? =0,且AB ?????

|AB ????? |·AC ?????

|AC ????? |=12,则△ABC 是( ) A.三边均不相等的三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.以上均有可能

答案 C ∵(AB ????? |AB ????? |+AC

?????

|AC

????? |)·BC ????? =0,∴∠A 的平分线与BC ????? 垂直,∴△ABC 为等腰三角形. 又AB ????? |AB ????? |·AC

????? |AC

????? |=12,∴cos A=12,∴∠A=π

3.故△ABC 为等边三角形. 7.在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,BA ????? ·BC

????? =3,S △ABC ∈[√32

,3√32

],则B 的取值范围是( ) A.[π4,π

3] B.[π6,π

4] C.[π6,π3]

D.[π3,π

2]

答案 C 由题意知ac ·cos B=3,所以ac=3

cosB , 所以S △ABC =1

2ac ·sin B=1

2×3

cosB ×sin B=3

2tan B. 因为S △ABC ∈[√32,

3√3

2],所以tan B ∈[√3

3,√3],

所以B ∈[π6,π

3].

8.如图所示,半圆的直径AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA ????? +PB ????? )·PC

????? 的最小值是( )

A.2

B.0

C.-1

D.-2

答案 D 由平行四边形法则,得PA ????? +PB ????? =2PO ????? , 则(PA ????? +PB ????? )·PC ????? =2PO ????? ·PC ????? , |PC ????? |=2-|PO ????? |,且PO ????? 、PC ????? 反向. 设|PO ????? |=t(0≤t ≤2),

则(PA ????? +PB ????? )·PC ????? =2PO ????? ·PC ????? =-2t(2-t)=2(t 2-2t)=2[(t-1)2-1]. ∵0≤t ≤2,

∴当t=1时,(PA ????? +PB ????? )·PC

????? 取最小值,为-2. 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.已知向量a =(1,-2),|b |=4|a |,a ∥b ,则b 可能是( ) A.(4,-8)

B.(8,4)

C.(-4,-8)

D.(-4,8)

答案 AD 当b =-4a 时,b =(-4,8); 当b =4a 时,b =(4,-8).故选AD.

10.已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C=k ∶(k+1)∶2k,则k 的取值可以是( ) A.-1

2 B.2

C.0

D.1

答案 BD 设a

sinA =b

sinB =c

sinC =m(m>0), 则a=mk,b=m(k+1),c=2mk, ∵{

a +

b >c,a +

c >b,即{m(2k +1)>2mk,3mk >m(k +1),

∴k>1

2.

11.设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )

A.若AM ?????? =12AB ????? +1

2AC

????? ,则点M 是边BC 的中点 B.若AM ?????? =2AB ????? -AC ????? ,则点M 在线段BC 的延长线上 C.若AM ?????? =-BM ?????? -CM ?????? ,则点M 是△ABC 的重心 D.若AM ?????? =x AB ????? +y AC

????? ,且x+y=1,则B,C,M 三点共线 答案 ACD A 项,可化为AB ????? +AC ????? =2AM ?????? ,由平行四边形法则知,A 正确;B 项,若延长AB 至D,使得BD=AB,则AM ?????? =CD ????? ,由平行四边形法则知,点M 在线段BC 的反向延长线上,故B 错误;C 项,可化为AM ?????? =MB ?????? +MC ?????? ,设P 是BC 的中点,则AM ?????? =2MP ?????? ,所以M 是△ABC 的重心,故C 正确;易知D 正确.

12.(2020烟台模拟)在△ABC 中,D 在线段AB 上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos ∠CDB=-√5

5,则正确的结论是( )

A.sin ∠CDB=3

10 B .△ABC 的面积为8 C.△ABC 的周长为8+4√5

D.△ABC 为钝角三角形

答案 BCD 由cos ∠CDB=-√5

5,可得sin ∠CDB=√1-15=2√5

5

.故A 错误;

设CD=x,则CB=2x,

在△CBD 中,由余弦定理可得-√55=9+x 2-4x 2

6x

, 整理得,5x 2-2√5x-15=0,

解得 x=√5(负值舍去),即CD=√5,CB=2√5, 所以S △ABC =S △BCD +S △ADC =1

2×3×√5×2√55+12×5×√5×2√5

5

=8,故B 正确;

由余弦定理可知,cos B=BC 2+BD 2-CD 22BC ·BD

=

BC 2+AB 2-AC 2

2BC ·AB

,

即2×3×25=2

2×8×2

5

,解得AC=2√5(负值舍去),

故周长为AB+AC+BC=8+2√5+2√5=8+4√5,故C 正确; 由余弦定理可得,cos C=2×2

√5×2√

5=-3

5

<0, 则C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形,故D 正确. 故选BCD.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+b=√3,A=π

3,B=π

4,则a 的值为 . 答案 3√3-3√2

解析 由正弦定理,得b=asinB sinA =√6

3a.则a+b=a+√6

3a=√3,解得a=3√3-3√2. 14.已知a,b 为单位向量,且a ·b =0,若c =2a -√5b ,则cos= . 答案 2

3

解析 ∵|a|=|b|=1,a ·b =0,∴a ·c =a ·(2a -√5b )=2a 2-√5a ·b =2, |c |=|2a -√5b |=√(2a -√5b)2=√4a 2+5b 2-4√5a ·b =3, ∴cos=a ·c

|a||c|=2

3.

15.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=5

4sin C,且△ABC 的周长为9,△ABC 的面积为3sin C,则c= ,cos C= . 答案 4;-1

4

解析 由正弦定理,得a+b=5c

4,又△ABC 的周长为9, 所以c+5c

4=9,解得c=4. 因为△ABC 的面积为3sin C, 所以1

2absin C=3sin C,整理,得ab=6. 由于a+b=5c

4=5, 联立{

a +

b =5,ab =6,解得{a =2,b =3

或{a =3,

b =2,

所以cos C=

a 2+

b 2-

c 2

2ab =-1

4.

16.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,向量a ,b 满足AB ????? =2a ,AC ????? =2a +b ,则下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的序号).

①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a ⊥b ;④b ∥BC ????? ;⑤(4a +b )⊥BC ????? . 答案 ①④⑤

解析 ∵AB ????? =2a ,AC ????? =2a +b ,∴a =12 AB ????? ,b =BC ????? . 又△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴|a |=1,|b |=2,①正确,②③错误; 由b =BC

????? ,知b ∥BC ????? ,④正确; ∵4a +b =2AB ????? +BC ????? =AB ????? +AC

????? , ∴(4a +b )·BC ????? =(AB ????? +AC ????? )·BC ????? =-2+2=0, ∴(4a +b )⊥BC

????? ,⑤正确.故①④⑤正确. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设|a |=|b |=1,|3a -2b |=3,求|3a +b |的值. 解析 解法一:∵|3a -2b |=3,

∴9a 2-12a ·b +4b 2=9.又|a |=|b |=1,∴a ·b =1

3, ∴|3a +b |2=(3a +b )2=9a 2+6a ·b +b 2=9+6×1

3+1=12, ∴|3a +b |=2√3.

解法二:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).

∵|a |=|b |=1,∴x 12+y 12=x 22+y 22

=1.

∵3a -2b =(3x 1-2x 2,3y 1-2y 2),

∴|3a -2b |=√(3x 1-2x 2)2+(3y 1-2y 2)2=3. ∴x 1x 2+y 1y 2=1

3,

∴|3a +b |=√(3x 1+x 2)2+(3y 1+y 2)2=√9+1+6×1

3=2√3. 18.(12分)设a ,b 是不共线的两个非零向量.

(1)若OA

????? =2a -b ,OB ????? =3a +b ,OC ????? =a -3b ,求证:A,B,C 三点共线; (2)若8a +k b 与k a +2b 共线,求实数k 的值.

解析 (1)证明:因为AB ????? =OB ????? -OA ????? =a +2b ,AC ????? =OC ????? -OA ????? =-a -2b ,所以AC ????? =-AB ????? . 又因为A 为公共点, 所以A,B,C 三点共线.

(2)设8a +k b =λ(k a +2b ),λ∈R ,则{8=λk,k =2λ,解得{k =4,λ=2

或{k =-4,

λ=-2,

所以实数k 的值为±4.

19.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos C=3

5. (1)若CB ????? ·CA

????? =92

,求△ABC 的面积; (2)设向量x =(2sin B

2,√3),y =(cosB,cos B

2),且x ∥y ,求sin(B-A)的值. 解析 (1)由CB ????? ·CA

????? =92,得abcos C=92, 因为cos C=3

5,所以ab=9

2cosC =15

2, 又C 为△ABC 的内角,所以sin C=4

5,

所以S △ABC =1

2absin C=3.

(2)因为x ∥y ,所以2sin B

2cos B

2=√3cos B, 即sin B=√3cos B,

因为cos B ≠0,所以tan B=√3.

因为B 为△ABC 的内角,所以B=π

3, 所以A+C=2π

3,所以A=2π

3-C,

所以sin(B-A)=sin (π

3-A)=sin (C -π

3) =1

2sin C-√3

2cos C=1

2×45-√3

2×35=

4-3√3

10

.

20.(12分)已知|a |=√10,|b |=√5,a ·b =-5,c =x a +(1-x)b . (1)当b ⊥c 时,求实数x 的值;

(2)当|c |取最小值时,求向量a 与c 的夹角的余弦值.

解析 (1)∵b ⊥c ,∴b ·c =b ·[x a +(1-x)b ]=x b ·a +(1-x)b 2=x×(-5)+(1-x)×5=0, 解得x=1

2.

(2)∵|c |2=|x a +(1-x)b |2 =x 2a 2+2x(1-x)a ·b +(1-x)2b 2 =10x 2-10x(1-x)+5(x-1)2 =25x 2-20x+5 =25(x -25)2+1.

∴当x=25时,|c |2取最小值,为1,即|c |有最小值1. 此时,c =2

5a +35b .

a ·c =a ·(2

5a +3

5b)=2

5a 2+3

5a ·b =2

5×10+3

5×(-5)=1, 设向量a ,c 的夹角为θ,

当|c |取最小值时,向量a 与c 的夹角的余弦值cos θ=a ·c

|a||c|=

√

10×1=√10

10

. 21.(12分)一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上,并且A,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.

解析 如图,设A 地在东西基线和南北基线的交点处.

则A(0,0),B(-1 000cos 30°,1 000sin 30°), C(-2 000cos 30°,-2 000sin 30°), 即B(-500√3,500),C(-1 000√3,-1 000), ∴BC

????? =(-500√3,-1 500), ∴|BC

????? |=√(-500√3)2+(-1 500)2=1 000√3(km). 设正南方向的单位向量j =(0,-1), 则BC ????? 与正南方向的夹角θ满足 cos θ=BC ????? ·j |BC ?????

||j|

=1 000√

3=√3

2,

∴θ=30°,由图形可知BC

????? 的方向是南偏西30°. 综上,飞机从B 地向南偏西30°方向飞行1 000√3 km 到达C 地.

22.(12分)如图,四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O,AO=OC,BO=OD,又以DC 边的中点P 为圆心,DP 长为半径作圆P. (1)证明:四边形ABCD 是平行四边形;

(2)若圆P 的一直径MN 两端可在圆周上滑动,问当直径MN 在什么位置时,AM ?????? ·BN

?????? 取最大值.

解析 (1)证明:由已知得AO ????? =OC ????? ,BO ????? =OD ?????? , 则AO ????? +OD ?????? =BO ????? +OC ????? ,即AD ????? =BC ????? , 所以AD ∥BC,AD=BC,

所以四边形ABCD 是平行四边形. (2)如图所示,连接AP 、BP,

则AM ?????? ·BN ?????? =(PM ?????? -PA ????? )·(PN ?????? -PB ????? )=(PM ?????? -PA ????? )·(-PM ?????? -PB ????? )=-PM ?????? 2+PA ????? ·PB ????? +PM ?????? ·BA ????? . 设∠APB=α,MP 的延长线与AB 的延长线交于E,设∠MEA=β, 则有AM ?????? ·BN ?????? =-|DP ????? |2+|PA ????? |·|PB ????? |cos α+|DP ????? |·|AB ????? |cos β . 因为DP ????? ,PA ????? ,PB

????? 的长都是定值, 所以当cos β=1,即β=0时,也就是当直径MN 与DC 边重合时,AM ?????? ·BN ?????? 取最大值.