江苏高考应用题专题附详细答案

第t 天

4 10 16 22 Q （万股） 36 30 24 18 考点一：函数、导数、不等式模型

例1、（江苏金湖第二中学20XX 届）（本小题满分16分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对（t ，P ），点（t ，P ）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．

（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与 时间t （天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的 一次函数关系式；

（3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，

写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？

解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=.,3020,810

1.,200,25

1**

N N t t t t t t P

…………4分

（2）设)30,10()36,4(),,(与将为常数b a b at Q +=的坐标代入，得.40,1.3010,

364=-=⎩

⎨

⎧=+=+b a b a b a 解得

日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为.,300,40*

N ∈≤<-=t t t Q …………9分

（3）由（1）（2）可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-⨯+-≤<-⨯+=.3020),40()8101(.200),40()25

1

(t t t t t t y

即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<++-=.,3020,3201210

1.,200,8065

1*2*

2N N t t t t t t t t y

当125,15,200max ==≤

当(]30,203201210

1,30202

在时+-=

≤

cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均

速度为

2

v

(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;

(2)设0

例3、(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y＝

；(2)y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

解析:（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立. （3分）

（Ⅱ）（1）对于函数模型：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则

.所以f(x)≤9恒成立.因为函数在[10，1000]上是减函数，所以. 从而，即不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.

（2）对于函数模型f(x)＝4lg x－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则

. 所以f(x)≤9恒成立.设g(x)＝4lg x－3－，则

.当x≥10时，，所以g(x)在[10，1000]

上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lg x－3－＜0，即4lg x－3＜，所以恒成

立.故该函数模型符合公司要求. （13分）

例4、因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄露到一鱼塘中。为治理污染，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，

其中。若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和。根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效的治污的作用。

（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达几天？

（Ⅱ）若因材料紧张，第一次只能投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值（精确到0．1，参考数据：取1．4）。

解：1）因为，所以，

①当时，由，解得，所以此时。

②当时，由，解得，所以此时。

综合得，，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天。

（2）当时，

，由题意知，

对于恒成立。

因为

，而

，所以，故当且仅当

时，

有最小值为

，令

，解得

，所以的最小值为

。又

，所以的最小值约为1．6。

例5、（连云港市20XX 届高三一轮复习模拟考试数学试题）（本小题15分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为

()[]212,0,2413x f x a a x x =

+-+∈+，其中a 与气象有关的参数，且30,4a ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a . (1)令[]2,0,241

x

t x x =∈+，求t 的取值范围； （2）求函数()M a ；

（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？ 解: （1）∵[]2,0,241

x

t x x =

∈+,0x =时，0t =. 024x <≤时，1,21x t x x

x x

=+≥+，∴102t <≤.∴10,2t ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦。……………………4分 （2）令()11

2,0,32g x t a a t ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦

.

当1134a -

<，即7012a ≤<时，()max

1552266g x g a a a ⎛⎫==-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； 当1134a -

≥，即73124a ≤<时，()()max

1102333

g x g a a a ==-+=-⎡⎤⎣⎦ 。 所以()57,0,6121733,.3124a a M a a a ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩

……………………10分 （3）当70,

12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()M a 是增函数，()77

21212

M a M ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭；

当73,124a ⎡⎤∈⎢

⎥⎣⎦时，()M a 是增函数，()3232412

M a M ⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭.

A

B

C

o

45θ图5

综上所述，市中心污染指数是

23

12

，没有超标. ……………………15分 例6、（本小题满分14分）一条小船在如图所示的Y 型河流中行驶，从A 逆流行驶到B ，再从B 顺流行驶到C ，AB 间航程和BC 间航程相等，水流的速度为3km/h ，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h ）的平方成正比.

（1）当船在AB 段、BC 段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？

（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？

考点二：三角函数模型

例1、如图5，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距km 680的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成o

45角的方向直飞到达

B 处．已知13

5

sin =

θ．⑴在飞行路径ABC ∆中，求C tan ； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km ．（参考数据：414.12=，732.13=）

· C

A

·

B ·

例

解析：解：（1）由条件得

。

∴曲线段FBC 的解析式为

当x=0时，

CD ∥EF ，

。………………………………………6分

（2）由（1）可知

。

，“矩形草坪”的面积为

。………12分

例3、（江苏省扬州市2010-2011学年度第一学期期末调研测试）（本小题满分15分）

某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为m 2，通过金属杆

321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），321,,A A A 是圆环上的三等分点，圆环所在

的水平面距地面m 10，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ。（圆环及金属杆均不计粗细）（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆321,,,CA CA CA BC 的总长最短？

（2）为美观与安全，在圆环上设置()4,,,21≥n A A A n 个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆n CA CA CA BC ,,,,21 的总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点将会上移还是下移，请说明理由。

解：（Ⅰ）设O 为圆环的圆心，依题意，∠CA 1O=∠CA 2O=∠CA 3O=θ，CA 1=CA 2=CA 3=2

cos θ

，CO=2tan θ，

设金属杆总长为ym ，则

6102tan cos y θθ=

+-=2(3sin )10cos θθ-+，（02

πθ<<） 22(3sin 1)

'cos y θθ

-=，当1sin 3θ<时，'0y <；当1sin 3θ>时，'0y >，

∴当1

sin 3

θ=时，函数有极小值，也是最小值。 ……………………………………7分

（Ⅱ）依题意，2102tan cos n y θθ=+-=2(sin )10cos n θθ-+，2

2(sin 1)

'cos n y θθ

-=， 当1sin n θ<时，'0y <；当1

sin n θ>时，'0y >，

∴当1

sin n θ=时，函数有极小值，也是最小值。…………………………………………13分

当n ≥4时，11

3

n <，所以C 点应上移。 …………………………………………15分

考点三：数列模型

例1、祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务。某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设

表示前n 年的纯收入（

=前n 年的总收入－前n 前的总

2A B

C

3

A 1

A

支出－投资额）

（I）从第几年开始获取纯利润？

（II）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；

②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？

解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为

……… 3分（I）纯利润就是要求

解得知从第三年开始获利。……… 6分

（II）①年平均利润当且仅当n=6时取等号．

故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6，……… 9分

②当n=10时，．

故第②种方案共获利128+16=144（万美元），……… 12分

故比较两种方案，获利都是144万美元。

但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．…13分

例2、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．

（I）求第n年初M的价值的表达式；

（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．

解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．

当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以

因此，第年初，M的价值的表达式为

(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得

当时，

当时，

因为是递减数列，所以是递减数列，又

所以须在第9年初对M更新．

考点四：解析几何模型

考点五：综合型

例1、（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H 。设弧AD 的长为l ，3,(,)44

APH ππ

θθ∠=∈。

（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）定义比值OP

l

为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角θ满足：tan()4

π

θθ=-

时，招贴画最优美。

例2、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小．

（１）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米？

（２）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长最小为多少

米？ 解：（1）h BC AD )(2136+=，AD ＝BC+2×0tan 60h =BC+h 332，

h h BC )3322(2136+=，h h BC 3336-=

．设外周长为l ，则

h h h BC AB l 333660sin 22-+=+= 26363≥+=h h

A D B

C 60

h

当h

h 363=，即6=h 时等号成立．外周长的最小值为26米，此时堤高h 为6米． (2)),6(3363h h h h +=+

设32321≤<≤h h ，则=--+112266h h h h 0)61)((2112>--h h h h ,l 是h 的增函数，353

3633min =+⨯=∴l (米)．（当3=h 时取得最小值） 例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（1）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；

（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

解：（Ⅰ）由题意：当；当

再由已知得 故函数的表达式为

（2）依题意并由（1）可得

………………………………………8分

当0≤x ≤20时，f （x ）为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分

当20≤x ≤200时，f （x ）＝x （200－x ）≤2＝．……………10分

当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．

所以，当x ＝100时，f （x ）在区间[20,200]上取得最大值．……………11分

综上，当x ＝100时，f （x ）在区间[0,200]上取得最大值≈3333．

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．………12分