2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第38课__基本不等式及其简单应用(2) 含解析

____第38课__基本不等式及其简单应用(2)____

1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题．

2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.

1. 阅读：必修5第99～101页．

2. 解悟：①应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解；②解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；③解应用问题时，若等号取得的条件不足，应如何处理？

3. 践习：在教材上的空白处，完成必修5第102页习题第3、4题.

基础诊断

1. 在平面直角坐标系Oy 中，曲线4x 2＋9

y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为__5__．

解析：设曲线

4x 2＋9y 2

＝1上的点P(，y)．设P(，y)到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝

（x 2＋y 2）⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4x 2＋9y 2＝

13＋4y 2x 2＋9x 2

y

2≥

13＋2

4y 2x 2·9x 2y 2＝5，当且仅当4y 2x 2＝9x 2

y

2时，d 取最小值，所以曲线4x 2＋9

y

2＝1上的点到原点O 的最短距离为5.

2. 已知，y ，∈R ＋

，－2y ＋3＝0，则y 2

xz

的最小值是__3__．

解析：因为，y ，>0，－2y ＋3＝0，所以2y ＝＋3，所以4y 2＝2＋6＋92≥2x 2·9z 2＋6＝12，

当且仅当2

＝92

，即＝3时取等号，所以4y 2

≥12，y 2

xz

≥3.

3. 已知函数y ＝log a (＋3)－1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上(其中mn>0)，则1m ＋2

n

的最小值是__8__．

解析：由题意可得定点A(－2，－1)，又因为点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1，且mn>0，所以m>0，n>0.则1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8，当且仅当n m ＝4m

n 时

取等号，故1m ＋2

n

的最小值是8.

4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形，其中，BC ＝2，∠A ＝90°，

则这两个正方形面积之和的最小值为__1

2

__.

解析：设两个正方形的边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝BC 2＝1，且13≤a ，b ≤2

3，所以

两个正方形面积之和为S ＝a 2

＋b 2

≥2×⎝ ⎛⎭⎪

⎫a ＋b 22＝1

2

，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故两个正方形面积之和最小为1

2

.

范例导航

考向❶ 基本不等式与函数综合问题

例1 设，y 是正实数，且＋y ＝1，求x 2x ＋2＋y 2

y ＋1的最小值．

解析：设＋2＝m ，y ＋1＝n.

因为＋y ＝1，所以m ＋n ＝＋y ＋3＝4，

所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1＝（m －2）2m ＋（n －1）2n ＝m ＋n ＋4m ＋1n －6＝4m ＋1n －2.

因为m ＋n ＝4，所以1＝1

4

(m ＋n)，

所以4m ＋1n －2＝14(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫

4m ＋1n －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n －2≥14.

当且仅当m ＝2n 时，取等号， 由＋2＝2(y ＋1)得＝2y ，

即当＝23，y ＝13时，x 2x ＋2＋y 2y ＋1取得最小值14

.

已知实数，y 满足>y>0，且log 2＋log 2y ＝1，求x 2＋y 2

x －y

的最小值．

解析：因为log 2＋log 2y ＝1，所以log 2y ＝1，所以y ＝2，所以x 2＋y 2x －y ＝（x －y ）2＋2xy x －y ＝－y ＋

4

x －y ≥2×2＝4，当且仅当＝1＋3，y ＝3－1时取等号，故x 2＋y 2

x －y 的最小值为4.

考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用

例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离(m )的关系式为p ＝k

3x ＋5(0≤≤8)，若距离为1m 时，测算宿舍建造费用为100万元．为

了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为6万元．设 f()为建造宿舍与修路费用之和．

(1) 求f()的表达式；

(2) 宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f()最小？并求最小值．

解析：(1) 根据题意得100＝k 3×1＋5，所以＝800.故f()＝800

3x ＋5＋5＋6，∈[0，8]．

(2) f()＝800

3x ＋5＋2(3＋5)－5≥

2

800

3x ＋5

·2（3x ＋5）－5＝80－5＝75， 当且仅当800

3x ＋5＝2(3＋5)，即＝5时，取等号，此时f()的最小值是75，

所以宿舍应建在离工厂5m 处，可使总费用f()最小，最小值为75万元．

在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v

2(米/单位时间)，单位

时间用氧量为0.2，记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.

(1) 将y 表示为v 的函数．

(2) 设0

v ·cv 2＝30cv ，

水底作业时用氧量为5×0.4＝2， 返回水面用时60v ，用氧量60v ×0.2＝12

v ，

所以y ＝30cv ＋2＋12

v (v>0).

(2) y ＝30cv ＋2＋12

v

≥2＋2

30cv ·12

v

＝2＋1210c ，

当且仅当30cv ＝12

v ，即v ＝

2

5c

时取等号． 当

25c ≤5，即c ≥2

125

时，v ＝2

5c

时，y 取得最小 值为2＋1210c. 当

25c >5，即0

<0， 因此函数y ＝30cv ＋2＋12

v 在(0，5]上为减函数，

所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋22

5.

综上，当c ≥2

125

时，下潜速度为

2

5c

时，用氧量最小为2＋1210c ； 当0

5

.

自测反馈

1. 已知点(，y)在直线＋3y －2＝0上运动，则函数＝3＋27y ＋3的最小值是__9__．

解析：因为＋3y －2＝0，所以＋3y ＝2.又因为3>0，27y >0，所以＝3＋27y ＋3＝3＋33y ＋3≥23x ·33y ＋3＝232＋3＝9，当且仅当3＝33y ，即＝3y ＝1时取等号．

2. 过点(1，2)的直线l 与轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为__2＋y －4＝0__．

解析：由题意可设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，a>0，b>0.因为直线l 过点(1，2)，所以1a ＋2

b ＝1，

所以1＝1a ＋2

b

≥2

2ab ，所以ab ≥8，当且仅当1a ＝2b ＝1

2

，即a ＝2，b ＝4时取等号，此时△AOB 的面积取得最小值12ab ＝4，所以直线l 的方程为x 2＋y

4

＝1，即2＋y －4＝0.

3. 已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1

b ≤0恒成立，则实数m 的最大值为__16__．

解析：根据已知不等式，分离变量得m ≤(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ，a>0，b>0.由(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫

3a ＋1b ＝10＋3b a ＋3a

b

≥10＋23b a ·3a b ＝16，当且仅当3a b ＝3b

a

，即a ＝b 时取等号，故m 最大值为16. 4. 对于任意∈R ，不等式22－a x 2＋1＋3>0恒成立，则实数a 的取值范围为__(－∞，3)__．

解析：由题意得22－a x 2＋1＋3>0对于∈R 恒成立，即a <

2x 2＋3

x 2

＋1

对于∈R 恒成立．令x 2＋1

＝t (t ≥1)，则2

＝t 2

－1，所以y ＝2t 2＋1t ＝2t ＋1t .因为y ＝2t ＋1

t

在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1

时，y 有最小值3，所以a <3.

1. 最值问题的处理方法：①直接利用基本不等式放缩(几种配凑的技巧)；②消元转化为函数求最值．

2. 在运用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

3. 你还有哪些体悟，写下;：