关于江苏高考数学专题复习及答案
江苏高考数学专题复习
专题一函数与导数1
第1课时函数的图象与性质1
第2课时导数及其应用5
第3课时函数与方程8
第4课时函数与导数的综合应用10
专题二三角函数与平面向量14
第1课时三角函数的图象与性质14
第2课时平面向量、解三角形17
第3课时三角函数与向量的综合问题21
专题三不等式25
第1课时基本不等式及其应用25
第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31
第1课时等差、等比数列31
第2课时数列的求和34
第3课时数列的综合应用38
专题五立体几何42
第1课时平行与垂直42
第2课时面积与体积47
专题六平面解析几何52
第1课时直线与圆52
第2课时圆锥曲线56
第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60
第4课时圆锥曲线的范围问题64
专题七应用题67
专题八理科选修72
第1课时空间向量72
第2课时离散型随机变量的概率分布76
第3课时二项式定理80
第4课时数学归纳法84
专题九思想方法88
第1课时函数与方程思想88
第2课时数形结合思想92
第3课时分类讨论思想95
第4课时等价转化思想98
专题一函数与导数
考情分析
函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高.
第1课时函数的图象与性质
考点展示
1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.
2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x <0⎪⎪⎪⎪
⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________.
第3题图
4.(17无锡一调)已知f ()x ＝⎩⎨⎧2x －3，x >0g ()x ，x <0
是奇函数，则f ()g ()－2＝________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m []m ，n 为函数f ()x 的一个“等值映射区间”.下列函数：①y ＝x 2－1，②y ＝2＋log 2x ，③y ＝2x －1，④y ＝ 1x －1 ，其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个. 6.(17镇江一调)不等式log a x －ln 2x <4()a >0，且a ≠1对任意x ∈()1，100恒成立，则实数a 的取值范围为________. 热点题型 题型1__函数的图象与性质 【例1】 (1)已知函数y ＝f ()x 是奇函数，当x <0时，f ()x ＝x 2＋ax ()a ∈R ，且f ()2＝6，则a ＝______. (2)已知函数f ()x 是定义在R 上且周期为4的偶函数.当x ∈[]2，4时，f ()x ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为__________. 【变式训练】 (1)已知f ()x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f ()x ＝x 2－4x ，则不等式f ()x >x 的解集为________. (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5()a >1. ①若f (x )的定义域和值域均是[]1，a ，求实数a 的值； ②若f (x )在区间()－∞，2上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[]1，a ＋1，总有||f （x 1）－f （x 2）≤4，求实数a 的取值范围. 题型2__函数图象的识别与应用 【例2】 已知函数y ＝2x ＋12x ＋1 与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k ()k ∈N *个公共点：A 1()x 1，y 1，A 2()x 2，y 2，…，A k ()x k ，y k ，则1()k i i i x y =+∑＝________. 【变式训练】 已知函数f (x )()x ∈R 满足f ()－x ＝2－f ()x ，若函数y ＝ x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x m ，y m ，则1 ()m i i i x y =+∑＝________. 题型3__利用函数图象解决复合函数零点个数问题 【例3】 已知函数f ()x ＝||x 2－4x ＋3，若方程[]f ()x 2＋bf ()x ＋c ＝0恰有七个 不相同的实根，则实数b 的取值范围是________. 【变式训练】 已知函数f ()x ＝x 3－3x 2＋1，g ()x ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1，x >0－()x ＋32＋1，x ≤0，则方程g []f ()x －a ＝0(a 为正实数)的实数根最多有________. 题型4__函数的图象与性质的综合应用 【例4】 设函数f (x )＝a x －()k －1a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)求k 值； (2)若f (1)<0，试判断函数的单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围； (3)若f (1)＝32 ，且g ()x ＝a 2x ＋a －2x －2mf ()x ，在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值. 【变式训练】 已知函数f (x )满足f (x )＝2f (x ＋2)，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x ＋ax (a <－12 )，当x ∈(－4，－2)时，f (x )的最大值为－4. (1)求实数a 的值； (2)设b ≠0，函数g (x )＝13 bx 3－bx ，x ∈(1，2).若对任意x 1∈(1，2)，总存在x 2∈(1，2)，使f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围. 第2课时 导数及其应用 考点展示 1.(17南通三调)若直线y ＝2x ＋b 为曲线y ＝e x ＋x 的一条切线，则实数b 的值是________. 2.(2017·江苏)已知函数f ()x ＝x 3－2x ＋e x －1 e x ，其中e 是自然数对数的底数，若 f ()a －1＋f ()2a 2≤0，则实数a 的取值范围是________. 3.(17镇江一调)已知函数f ()x ＝x ln x ，g ()x ＝λ()x 2－1(λ为常数)，函数y ＝f ()x 与y ＝g ()x 在x ＝1处有相同的切线，则实数λ的值为________. 4.(17南通10套)设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________. 5.(17南京三调)若函数f ()x ＝e x ()－x 2＋2x ＋a 在区间[]a ，a ＋1上单调递增，则 实数a 的最大值为________. 6.若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x 与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的 最小值为________. 热点题型 题型1__导数的几何意义 【例1】设曲线y＝ax－a－ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2，则a ＝________. 【变式训练】(1)设函数f()x＝ax2＋x＋b ln x，曲线y＝f()x过点P() 1，0，且在点P处的切线斜率为2，则a＋b＝________. (2)已知曲线y＝2x－m x () x∈R，m≠－2在x＝1处切线为直线l，若直线l在两 坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为________. 题型2__利用导数研究函数的单调性 【例2】已知函数f(x)＝e x(2x－1)－x＋1(a∈R)，则函数f(x)的单调增区间为__________. 【变式训练】(1)已知函数f(x)＝x3＋x2＋bx，若f(x)在区间[1，2]上不是单调函数，则实数b的取值范围为________. (2)设函数f()x＝ln x＋m x(m∈R)，若对任意b＞a＞0， f()b－f()a b－a ＜1恒成立，则 m的取值范围是________. 题型3__利用导数研究函数的极值(最值)问题 【例3】已知λ∈R，函数f()x＝e x－e x－λ() x ln x－x＋1的导函数为g()x，若函数g()x存在极值，求λ的取值范围. 【变式训练】已知函数f(x)＝a ln x－bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e≈2.71828…. (1)当a<0，b＝－1时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最大值； (2)若关于x的方程f(x)＝0在区间(1，e]上有两个不同实数解，求a b的取值范围. 题型4__导数的实际应用 【例4】某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A、B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米 时(其中64 3x万元，桥面每1米长的平均 造价为(2＋x x 640)万元. (1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x)； (2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A、B除外)应建多少个桥墩？ 【变式训练】如图，半径为30cm的圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设OB与矩形材料的边OA 的夹角为θ，圆柱的体积为V cm3. (1)求V关于θ的函数关系式，并写出定义域； (2)求圆柱形罐子体积V的最大值. 第3课时函数与方程 考点展示 1.若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是________. 2.若方程lg x＋x－3＝0的近似解在区间(k，k＋1)上，k∈Z，则k＝________. 3.函数f()x＝x－ln x－1在定义域上有________个零点. 4.已知函数f()x对任意的x∈R满足f() －x＝f()x，且当x≥0时，f()x＝x2－ax ＋1；若f()x有4个零点，则实数a的取值范围是________. 5.若函数f ()x ＝4－x 2－x ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________. 6.(17苏锡常镇一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x <1ln x x 2，x ≥1 ，则函数y ＝||f （x ）－18的零点的个数为________. 热点题型 题型1__函数与方程的相互转化 【例1】 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是____________. 【变式训练】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，()x >03x ，() x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是__________. 题型2__利用零点存在性定理证明函数的零点或方程的根 【例2】 已知函数f ()x ＝x －a ln x ()a >e .求证：函数f ()x 有且只有两个零点. 【变式训练】 已知函数f ()x ＝ln x ＋10x －4.求证：函数f ()x 有且只有两个零点. 题型3__已知根的分布求参数的范围 【例3】 已知函数f ()x ＝13x 3＋1－a 2 x 2－ax －a ()a >0.若函数f ()x 在区间()－2，0内恰有两个零点，则a 的取值范围是____________. 【变式训练】 已知函数f ()x ＝()2－a x －2()1＋ln x ＋a .若函数f ()x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值. 题型4__函数与方程的综合应用 【例4】 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120 (1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【变式训练】 已知函数f ()x ＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c ()a ，b ，c ∈R ，若x ＝1和x ＝2是函数f ()x 的两个极值点.求：(1)a ，b 的值； (2)函数f ()x 在区间[]0，3上的零点个数. 第4课时 函数与导数的综合应用 考点展示 1.(17南通二调)函数f (x )＝lg ()5－x 2 的定义域是__________. 2.(17南通十套)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________. 3.(17南通十套)函数y ＝||log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，32的值域为________. 4.(17南通十套)设函数f ()x ＝⎩⎨⎧3x －1，x <12x 2，x ≥1 ，则满足f ()f ()a ＝2()f ()a 2的a 的取值范围为________. 5.(17南通三调)已知函数f (x )＝⎩ ⎨⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x 6.(17南通十套)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2(b ≠0)，不等式f (x )≥mxf ′(x )对?x ∈R 恒成立，则2m ＋a －b ＝________. 热点题型 题型1__函数性质的综合问题 【例1】 已知函数f ()x ＝4x －2x ，实数s ，t 满足f ()s ＋f ()t ＝0，设a ＝2s ＋2t ，b ＝2s ＋t . (1)当函数f ()x 的定义域为[]－1，1时，求f ()x 的值域； (2)求函数关系式b ＝g ()a ，并求函数g ()a 的定义域； (3)求8s ＋8t 的取值范围. 【变式训练】 已知函数f ()x ＝()ax 2＋x ＋2e x ()a >0，其中e 是自然对数的底 数. (1)当a ＝2时，求f ()x 的极值； (2)若f ()x 在[]－2，2上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 题型2__函数、导数性质的综合问题 【例2】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1()a >0，b ∈R 有极值，且导函数f ′()x 的极值点是f ()x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ； (3)若f ()x ，f ′()x 这两个函数的所有极值之和不小于－72 ，求a 的取值范围. 【变式训练】 已知函数f (x )＝e x (a ln x ＋2x ＋b )，其中a ，b ∈R .(e ＝2.71828是自然对数的底数) (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1).求实数a ，b 的值； (2)若a ＝－2时，函数y ＝f (x )既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围. 题型3__函数、导数在研究不等式问题中的应用 【例3】 已知函数f ()x ＝e x ＋e －x .(其中e 是自然对数的底数) (1)证明：f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf()x≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0) e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论. 【变式训练】已知函数f(x)＝a x＋b x(a>0，b>0，a≠1，b≠1). (1)设a＝2，b＝1 2； ①求方程f(x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0 题型4__实际问题 【例4】某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数).彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l. (1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)； (2)问当α为何值l最小，并求最小值. 【变式训练】如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE＝16∶9.线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2). (1)用x的代数式表示AM； (2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； (3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？ 专题二 三角函数与平面向量 考情分析 三角函数与平面向量在高考中通常有三个小题和一个大题，三角函数主要考点有：一是三角函数的图象与性质；二是两角和与差的三角函数公式；三是解三角形。平面向量主要考点有：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.三角函数与平面向量从难度上属容易题，但对考生计算的准确性、书写规范等方面的要求较高. 第1课时 三角函数的图象与性质 考点展示 1.(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 2.(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________. 3.(17苏北三市三调)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π2 )的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调减区间是________. 4.(17盐城二调)将函数f ()x ＝sin x 的图象向右平移 π3 个单位后得到函数y ＝g ()x 的图象，则函数y ＝f ()x ＋g ()x 的最大值为________. 5.(17南通十套)函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[]0，2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 6.(17镇江一调)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的函数f ()x ＝8sin x －tan x 的最大值为________. 热点题型 题型1__三角函数的求值与化简 【例1】 已知x ∈(－π2，0)，且cos x ＝45 ，则tan2x ＝__________. 【变式训练】 已知α为第三象限的角，且cos α＝－55 ，则tan α＝__________. 【例2】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2，π. 求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2α－π4的值. 【变式训练】 已知tan α＝2，cos β＝－ 7210 ，且α，β∈()0，π. (1)求cos2α的值； (2)求2α－β的值. 【例3】 如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象 限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫35，45，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α 的值； (2)求||BC 2的值. 【变式训练】 如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上， ∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S . (1)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0 ； (2)设点B 的坐标为(－35，45 )，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0). 题型2__三角函数的图象与性质 【例4】 已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋π4 )＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间[0，π2 ]上的最大值和最小值. 【变式训练】 已函数f (x )＝3(cos 2x －sin 2x )＋2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)设x ∈[－π3，π3 ]，求f (x )的值域和单调递减区间. 第2课时 平面向量、解三角形 考点展示 1.(17无锡一调)已知向量a ＝()2，1，b ＝()1，－1，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________. 2.(17南京三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________. 3.(17南京三调)在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且⎝⎛⎭⎫AB →＋DC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋AD →＝5， AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 的面积为________. 4.(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三 等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________. 第4题图 第5题图 5.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2， OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →()m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________. 6.(17南通十套)在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，则sin C 的最大值 为________. 热点题型 题型1__平面向量的数量积 【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________. 【变式训练】 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λ DC →，则AE →·AF →的最小值为________. 题型2__平面向量与三角函数综合 【例2】 已知向量a ＝()cos x ，sin x ，b ＝()3，－3，x ∈[]0，π. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f ()x ＝a ·b ，求f ()x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【变式训练】 已知向量m ＝(3，sin θ)，n ＝(1，cos θ)，θ∈(0，π2 )，m 与n 共线. (1)求θ的值； (2)求函数f (x )＝sin x ＋sin(x －θ)在区间上[0，5π6 ]的最大值和最小值. 题型3__正弦定理、余弦定理的应用 【例3】 如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45 ，cos ∠ACB ＝513 ，BC ＝13. (1)求cos B 的值； (2)求CD 的长. 【变式训练】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若a cos B ＝3， b cos A ＝1，且A －B ＝π6 . (1)求边c 的长； (2)求角B 的大小. 题型4__平面向量与解三形的综合 【例4】 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55 ，求A 的值. 【变式训练】 已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝(2cos 2B 2 －1，cos2B )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，A ＝5π12 ，求边长c . 第3课时 三角函数与向量的综合问题 考点展示 1.设向量a ＝()cos α，－1，b ＝()2，sin α.若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α－π4＝________. 2.设向量a ＝()cos α，sin α，b ＝()cos β，sin β，其中0<α<β<π，若||2a －b ＝||a ＋2b ，则β－α＝________. 3.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝ 4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273 ，则AC 的长为________. 4.在△ABC 中，B ＝45°，M ，N 分别为边AC ，AB 的中点，且BM →·AC →＝2CN →·AB →，则BA BC ＋BC BA 的值为________. 5.设向量a ＝()cos25° ，sin25°，b ＝()sin20°，cos20°，若t 是实数，且μ＝a ＋ t b ，则||μ的最小值为________. 6.如图，点O 为△ABC 的重心，且OA ⊥OB ，AB ＝6，则AC →·BC →的值为________. 第6题图 热点题型 题型1__向量数量积与三角函数的恒等变换 【例1】 设向量a ＝()4cos α，sin α，b ＝()sin β，4cos β，c ＝()cos β，－4sin β. (1)若a 与b －2c 垂直，求tan ()α＋β的值； (2)求||b ＋c 的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 【变式训练】 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m ＝()a ，cos A ，向量n ＝()cos C ，c ，且m ·n ＝3b cos B . (1)求cos B 的值； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值. 题型2__平面向量与解三角形的应用 【例2】 在△ABC 中，BC ＝6，||AB →·AC →＝2. (1)求证：△ABC 三边的平方和为定值； (2)当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值. 【变式训练】 1.已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝2S . (1)求sin A ； (2)若|| AB →＝3，⎪⎪⎪⎪AB →－AC →＝23，求sin B . 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1. (1)求角C 的大小； (2)若向量m ＝()3a ，b ，n ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ，－b 3，且m ⊥n ，()m ＋n ·()m －n ＝16，求a ，b ，c 的值. 题型3__平面向量与三角函数的图象和性质的应用 【例3】 已知向量a ＝()sin x ，cos x ，b ＝()sin x ，sin x ，c ＝()－1，0. (1)若x ＝π3 ，求向量a ，c 的夹角θ； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－3π8，π4，函数f ()x ＝λa ·b 的最大值为12，求实数λ的值. 【变式训练】 设函数f ()x ＝a ·b ，其中向量a ＝()2cos x ，1，b ＝()cos x ，3sin2x ＋m . (1)求函数f ()x 的最小正周期和在[]0，π上的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤0，π6时，f ()x 的最大值为4，求m 的值. 题型4__三角函数的实际应用 【例4】 如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该 光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6 . (1)若CE ＝13，求AE 的长； (2)设∠ACE ＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积. 【变式训练】 如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TS 上的点)，其余部分为平地.今有 开发商想在平地上建一个两边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR. (1)设∠P AB＝θ，试将矩形PQCR面积表示为θ的函数； (2)求停车场PQCR面积的最大值及最小值. 专题三不等式 考情分析 本专题知识常以填空题和解答题的形式进行考查，主要考查基本不等式、一元二次不等式(组)解法及应用以及线性规划的内容. 本专题的知识常与集合、函数、导数、数列等知识结合考查，偶尔也有单独考查.解题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性，不等式的应用大致应分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题. 第1课时基本不等式及其应用 考点展示 1.已知x，y为正实数，则 4x 4x＋y ＋ y x＋y 的最大值为________. 2.(苏北四市2017届高三上学期期末)若实数x，y满足xy＋3x＝3(0 3 x ＋1 y－3 的最小值为____________. 3.若x，y均为正实数，且x＋2y＝4，则 x2 x＋2 ＋ 2y2 y＋1 的最小值是__________. 4.设a＞b＞0，则a2＋1 ab＋ 1 a（a－b） 的最小值是________. 5.若x，y为实数，且x2＋2xy－y2＝7，则x2＋y2的最小值为______. 6.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，一质点从AB边上的点P0出发，沿 与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点P 1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD ，DA 和AB 上的P 2，P 3，P 4处.若P 4落在A ，P 0两点之间，且AP 0＝2.设tan θ＝t ，将五边形P 0P 1P 2P 3P 4的面积S 表示为t 的函数，则S 的最大值为________. 第6题图 热点题型 题型1__用基本不等式求最值 【例1】 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是______. 【变式训练】 (苏州市2017届高三上期末调研测试)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1 的最小值为______________. 【例2】 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为______________. 【变式训练】 已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线 ax －by －1＝0对称，则3a ＋2b ab 的最小值为________. 【例3】 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2x (x ＞0)， (1)指出f (x )的单调区间，并进行证明； (2)若x ＞0时，不等式f (x )≥12 x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【变式训练】 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )， 对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，求b 2 a 2＋c 2的最大值. 题型2__利用基本不等式解应用题 第2讲 函数的应用 1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin 2 ωx 2＋12sin ωx －1 2 (ω>0，x ∈R)．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦ ⎤14，5 8 解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －1 2 ＝12(sin ωx －cos ωx )＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T 2>2π－π，所以π ω >π，所以0<ω<1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π 4∈⎝⎛⎭⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4 江苏新高考 本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查. ，主要考查组合计数；考复合函数求导和数学归纳法；考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力. 近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇考查. 第1课时计数原理与二项式定理(能力课) [常考题型突破] 计数原理的应用 [例1] {1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)． (1)求f(1)，f(2)的值； (2)求f(n)的表达式． [解](1)①当n＝1时，集合{1,2,3}中的一元好集有{3}，共1个；二元好集有{1,2}，共1个；三元好集有{1,2,3}，共1个，所以f(1)＝1＋1＋1＝3. ②当n＝2时，集合{1,2,3,4,5,6}中一元好集有{3}，{6}，共2个； 二元好集有{1,2}，{1,5}，{2,4}，{3,6}，{4,5}，共5个； 三元好集有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}，共8个； 四元好集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}，共5个； 五元好集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23. (2)首先考虑f(n＋1)与f(n)的关系． 集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3个元素3n＋1,3n ＋2,3n＋3.故f(n＋1)的组成有以下几部分： ①原来的f(n)个集合； 专题一集合与简易逻辑 A组 一、填空题 考向一集合的概念与运算 1.(2017·南京、盐城一模)已知集合A={-1,0,1},B=(-∞,0),则A∩B=. 2.(2018·南京、盐城一模)已知集合A={x|x(x-4)<0},B={0,1,5},则A∩B=. 3.(2018·南京期初)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q=. 4.(2017·无锡一模)设集合A={x|x>0},B={x|-1 11.(2018·镇江一模)已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,0,1,2},则A∩B=. 12.(2016·泰州期末)已知集合A={x|x2≤1},B={-2,-1,0,1,2},那么A∩B=. 13.(2016·苏北四市摸底)已知集合A={x|-1≤x≤1},则A∩Z=. 14.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0 6个解答题专项强化练(五) 函 数 1．已知函数f (x )＝x |2a －x |＋2x ，a ∈R. (1)若a ＝0，推断函数y ＝f (x )的奇偶性，并加以证明； (2)若函数f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； (3)若存在实数a ∈[－2,2]，使得关于x 的方程f (x )－tf (2a )＝0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )为奇函数． 证明如下： 当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋2x ， 所以f (－x )＝－x |x |－2x ＝－f (x )， 所以函数y ＝f (x )为奇函数． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ x 2＋(2－2a )x ，x ≥2a ，－x 2＋(2＋2a )x ，x <2a ， 当x ≥2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a －1； 当x ＜2a 时，y ＝f (x )的对称轴为x ＝a ＋1， 所以当a －1≤2a ≤a ＋1时，f (x )在R 上是增函数， 即－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数． (3)方程f (x )－tf (2a )＝0的解即为方程f (x )＝tf (2a )的解． ①当－1≤a ≤1时，函数f (x )在R 上是增函数， 所以关于x 的方程f (x )＝tf (2a )不行能有三个不相等的实数根． ②当a ＞1时，即2a ＞a ＋1＞a －1， 所以f (x )在(－∞，a ＋1)上单调递增，在(a ＋1,2a )上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增， 所以当f (2a )＜tf (2a )＜f (a ＋1)时，关于x 的方程f (x )＝tf (2a )有三个不相等的实数根， 即4a ＜t ·4a ＜(a ＋1)2， 由于a ＞1，所以1 江苏地区数学高考真题练习 一、单选题一、选择题：本题共8小题.每小题5分.共60分。在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位）.则z的共轭复数为（） A．1+i B．1﹣i C．√2 2−√2 2i D．√2 2+ √2 2i 2．设集合A={y|y=3x,x∈R}. B={x|y=√1−2x,x∈R}.则A∩B=（） A．{1 2}B．(0,1)C．(0,1 2)D．(0, 1 2] 3．工厂生产A.B.C.3种不同型号的产品.产量之比为3：2：7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本.若样本中B种型号的产品有12件.则样本容量n=（） A．72B．48C．24D．60 4．设f(x)= { 2e x−1，x<2， log 3 (x2−1)，x≥2， 则f(f(2))的值为() A．0B．1C．2D．3 5．设F1(−c,0),F2(c,0)是双曲线C:x2 a2 −y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点.点P是C右支上异 于顶点的任意一点. PQ是∠F1PF2的角平分线.过点F1作PQ的垂线.垂足为Q. O为坐标原点.则|OQ|的长为（） A．定值a B．定值b C．定值c D．不确定.随P点位置变化而变化 6．已知函数f(x)=a−x2(1e≤x≤e)与g(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点.则a的取值范围是（） A．[1，1 e2 +2]B．[1 e2 +2，e2] C．[1，e2−2]D．[e2−2，+∞] 7．在△ABC中.如果有acosA=bcosB.则△ABC的形状是（） A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形 8．已知直线y＝x＋b与圆C：(x−1)2+(y−2)2=1.则“b=3”是“圆C上的任意一点到该直线的最 专题一 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 设矩阵A ＝⎣⎡ ⎦ ⎤m 00 n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A . 【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ (θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长； 【题目1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12 ，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率； (2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为 【题目2】 在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D r n x r ＋…＋D 2n －1n x 2n － 1＋D 2n n x 2n 的展开式中，把D 0n ，D 1n ，D 2n ，…，D 2n n 叫做三项式系数. (1)当n ＝2时，写出三项式系数D 02，D 12，D 22，D 32，D 42的值； (2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m － 1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数 . 专题二 请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦ ⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程. [A 级 基础练] 1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1 x ＋1 D ．f (x )＝－|x | 解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3 2时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫3 2，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－ 1 x ＋1 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝－x ＋1 x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A.3 2 B ．－83 C ．－2 D ．2 解析：选A.函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1 x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝3 2 . 3．(2020·无锡模拟)若函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(－1，2) C ．[1，2) D ．[－1，2) 解析：选D.因为函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3 x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数， 且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0.所以m 的取值范围是[－1，2)． 4．已知函数f (x )是R 上的增函数，对实数a ，b ，若a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b ) 第1讲 直线与圆 【自主学习】 第1讲 直线与圆 (本讲对应同学用书第43~46页) 自主学习 回归教材 1. (必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y =-2x +3 的斜率相等，则该直线的方程为 . 【答案】y =-2x +4 【解析】设直线方程为y =-2x +b ，代入点P(1，2)，得b =4，所以所求直线的方程为y =-2x +4. 2. (必修2 P111练习8改编)若方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0 表示圆，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-1，+∞) 【解析】由方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0，可得(x +2m )2+(y -1)2=m +1， 所以方程要表示圆，即有m +1>0，所以m >-1. 3. (必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1 的切线l ，则切线l 的方程为 . 【答案】y =4或3x +4y -13=0 【解析】当直线l 垂直于x 轴时，直线l ：x =-1与圆相离，不满足条件.当直线l 不垂直于x 轴时，设直 线l 的方程为y -4=k (x +1)，由于直线与圆相切，所以21 +k =1，解得k =0，k =-3 4，因此，所 求的方程为y =4或3x +4y -13=0. 4. (必修2 P117习题10改编)圆x 2+y 2=9与圆x 2+y 2-4x +2y -3=0的公共弦的长为 . 【答案】125 【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x -y -3=0，原点到公共弦的距离 d =5，所以公共弦长为2 2 39-5⎛⎫ ⎪⎝⎭=125. 5. (必修2 P117习题11改编)已知圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，若圆C 上存在一点M(x 0，y 0)，则经过点M(x 0，y 0)的切线方程为 . 【答案】x 0x +y 0y =r 2 【解析】当点M(x 0，y 0)不在坐标轴上时，过点M 的切线的斜率存在且不为0.由于圆的切线垂直于 过切点的半径，故所求切线的斜率为-00x y ，从而过点M 的切线方程为y -y 0=-0 0x y (x -x 0)，整理得 x 0x +y 0y =20x +20 y ，又由于点M(x 0，y 0)在圆上，所以所求的切线方程为x 0x +y 0y =r 2. 【要点导学】 要点导学 各个击破 直线、圆的方程 例1 如图，在R t △ABC中，∠A为直角，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，点T(-1，1)在 直线AC 上，斜边中点为M(2，0). 江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1 第1课时函数的图象与性质1 第2课时导数及其应用5 第3课时函数与方程8 第4课时函数与导数的综合应用10 专题二三角函数与平面向量14 第1课时三角函数的图象与性质14 第2课时平面向量、解三角形17 第3课时三角函数与向量的综合问题21 专题三不等式25 第1课时基本不等式及其应用25 第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31 第1课时等差、等比数列31 第2课时数列的求和34 第3课时数列的综合应用38 专题五立体几何42 第1课时平行与垂直42 第2课时面积与体积47 专题六平面解析几何52 第1课时直线与圆52 第2课时圆锥曲线56 第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60 第4课时圆锥曲线的范围问题64 专题七应用题67 专题八理科选修72 第1课时空间向量72 第2课时离散型随机变量的概率分布76 第3课时二项式定理80 第4课时数学归纳法84 专题九思想方法88 第1课时函数与方程思想88 第2课时数形结合思想92 第3课时分类讨论思想95 第4课时等价转化思想98 专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高. 第1课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0⎪⎪⎪ ⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫9 2，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________. 第3题图 4.(17无锡一调)已知f ()x ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0 g ()x ，x <0是奇函数，则f () g ()－2＝________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m [A 级 基础练] 1．函数f (x )＝x 2＋4 |x |的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选B.f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4 |x |≥24＝4， 当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B. 2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 解析：选C.因为x >0，y >0， 所以x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号． 故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件．故选C. 3．若实数a ，b 满足1a ＋2 b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：选C.因为1a ＋2 b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2 b ≥2 1a ×2b ＝22ab ， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 4．(多选)(2021·山东临沂蒙阴实验中学期末)给出下面四个推断，其中正确的为( ) A ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则b a ＋a b ≥2 B ．若x ，y ∈(0，＋∞)，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C ．若a ∈R ，a ≠0，则4 a ＋a ≥4 D ．若x ，y ∈R ，xy <0，则x y ＋y x ≤－2 解析：选AD.对于A 项，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时取等号，故A 项正确；对于B 项，当x ，y ∈(0，1)时，lg x ，lg y ∈(－∞，0)，此时lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y 显然不成立，故B 项错误；对于C 项，当a <0时，4 a ＋a ≥4显 然不成立，故C 项错误；对于D 项，若x ，y ∈R ，xy <0，则－y x >0，－x y >0，所以x y ＋y x ＝－ ⎣⎡⎦ ⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－x y ·⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2，当且仅当－x y ＝－y x ，即x ＝－y 时取等号，故D 项正确．故选AD. 5．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥1 2 B ．2a － b >12 C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D ．a ＋b ≤ 2 解析：选ABD.对于选项A ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ＝1，所以a 2＋b 2≥1 2 ，正确；对于选项B ，易知02－1＝ 12，正确；对于选项C ，令a ＝14，b ＝34，则log 214＋log 234＝－2＋log 23 4 <－2，错误；对于选项D ，因为2＝ 2（a ＋b ），所以[ 2（a ＋b ）]2－(a ＋b )2＝a ＋b －2ab ＝(a － b )2≥0，所以a ＋b ≤2，正确．故选ABD. 6．(2021·江苏南京联合调研)已知a >0，b >0，2a ＋b ＝4，则3ab 的最小值为________． 解析：因为2a ＋b ＝4，a >0，b >0，所以3ab ＝62ab ≥6⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2a ＋b 22＝64＝3 2 ，当且仅当2a ＝b ＝2， 即a ＝1，b ＝2时取“＝”，所以3ab 的最小值为3 2 . 答案：3 2 7．函数y ＝x 2＋2 x －1(x >1)的最小值为________． 解析：因为x >1，所以x －1>0， 所以y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3 x －1 ＝（x －1）2＋2（x －1）＋3 x －1 （江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模 型及应用 随堂检测（含解析） 1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． ()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式； ()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时 解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ， 再由已知得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 200a ＋b ＝0， 20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1 3，b ＝200 3. 故函数v ()x 的表达式为 v ()x ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 60， 0≤x ≤20，1 3 ()200－x ， 20 专题三 解析几何 [江苏卷5年考情分析] 小题考情分析 大题考情分析 常考点 1.直线与圆、圆与圆的位置关系 (5年4考) 2.圆锥曲线的方程及几何性质(5 年5考) 主要考查直线与椭圆(如2014年、2015 年、2017年、2018年)的位置关系、弦长问 题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如 2016年)，常与向量结合在一起命题. 偶考点 直线的方程、圆的方程 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 考点(一) 直线、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算. [题组练透] 1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1 k PQ ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)， 所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 2．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________． 解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧ b －3a ·33＝－1， a －22 ＋()b －32 ＝a 2 ＋ b －3 2 ， 解得a ＝1，b ＝0，r ＝2. 即所求圆的方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中， 若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧ x ≤3， x －3y ＋3≥0 x ＋3y ＋3≥0 ，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为____________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3 ＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2 ＋y 2＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 [方法技巧] 1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法 先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题. [典例感悟] [典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2 ＋y 2 ＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． (2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2 ＋y 2 ＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为 立体几何复习（1）空间几何体的表面积与体积 教学目标：1.掌握锥、台、柱、球体的表面积公式及表面积的求法； 2.掌握锥、台、柱、球体的体积公式及体积的求法. 教学重点：掌握锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积的计算方法，能计算简单组合体的表面 积与体积，以便从量的角度认识空间几何体. 教学难点：锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积公式的应用. 【知识清单】 1.空间几何体的表面积 球的表面积2 =4S R π球，其中R 为球的半径. 2.空间几何体的体积 球的体积34=3 V R π球，R 为球的半径. 【例题精讲】 类型1：空间几何体的表面积与侧面积 例1：1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 . 【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l ，在根据圆锥 的侧面积公式S rl π=. 2.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3 ，则该圆柱的侧面积为 cm 2 . 【答案】18 【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 2327a a a πππ⨯==，3a =，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==. 3.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为， ，则1 2 S S 的值是 . 【解析】设球的直径为2R ， 由题意可知，2211)S R R R πππ=+=，224S R π=， 所以 12S S =1S 2S ) h 圆台 备选题1：正三棱锥中，， D、E分别是棱SA、SB上的点，为边 的中点，，则三角形CDE的面积为 . 【解析】根据题意在正三棱锥中，为边的中点， 故可得AB SCQ ⊥平面，则AB SQ ⊥， 又由，故// DE AB， 假设DE SQ F =， 又在SCQ ∆中，SC CQ SQ ===CF=， 故 1 1 2 CDE S ∆ =⨯=. 备选题2：圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为 1 2 L2，则圆锥底面半径与母线长的比 r L 的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得轴截面的顶角θ不小于 π 2 ，因为sin θ 2 ＝ r L ≥sin π 4 ＝ 2 2 ，所以 2 2 ≤ r L <1. 【思想方法归纳】 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. (1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系. (2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理. 类型2：空间几何体的体积 例2：1.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为2 15cm π，则此圆锥的体积为3 cm. S ABC -2 BC=SB=Q AB SQ CDE ⊥平面 S ABC -Q AB SQ CDE ⊥平面 第 3讲平面向量 1． (2016 课·标全国丙改编 →1 ， 3→31 ，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝ 22 ， BC＝， 2 2 答案30° 分析 →→ ∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1， → → 3 BA·BC ＝，∴∠ ABC ＝ 30°. cos∠ ABC＝→→2 |BA|·|BC| 1 2． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______． 答案－ 4 分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212 已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4. 43 3． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中 点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝ → → 2EF ，则 AF ·BC的值为 ________． 答案1 8 分析 →→→如下图， AF ＝AD ＋DF . 又 D， E 分别为 AB， BC 的中点， →1→ 且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB， →＝→＋→＝→＋1→ DF DE EF DE2DE 3→ 3→ ＝2DE ＝4AC， →1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ → 则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB) 24 1→ →1→ 2 3 →2 3 → → ＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244 专题二 二次函数、方程与不等式 一、单选题 1．（2019·江西新余�高二期末（文））正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞ C ．(],6-∞ D ．[)6,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式求得+a b 的最小值，把问题转化为()m f x ≥恒成立的类型，求解()f x 的最大值即可. 【详解】 9a b ab +=, 19 1a b ∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=， 当且仅当 9b a a b =，即4,12a b ==时，()16min a b +=， 若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立， 即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立， 2222(1)33x x x -++=--+， 3m ∴≥， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题. 2．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知不等式210ax bx --≥的解集是1 1[,]23 --,则不等式 20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32 D ．11(,)(,)32 -∞⋃+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出a b ，的值，然后再解不等式即可． 【详解】 ∵不等式210ax bx --≥的解集是1123 ⎡⎤ --⎢⎥⎣ ⎦ ，， ∴1123 x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根， ∴1152361111236b a a ⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩． ∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<， ∴不等式的解集为()23， ． 故选A ． 【点睛】 本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x 轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出a b ，的值． 3．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知平面内，•0AB AC =，•1AB AC =，且4AB AC AP AB AC =+ ， 则•PB PC 的最大值等于（ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A 【解析】 【分析】 令AB m =，AC n =，将PB ，PC 表示成PB AB AP =-，PC AC AP =-，即可将PB PC ⋅表示成【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题二第2讲函数的应用(含答案解析)
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