错位排列和禁位排列

错位排列和禁位排列

1.问题提出

（1）某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？

（2）有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？

上述两个问题，实质上是同一种类型的问题，被著名数学家欧拉（LeonardEuler ，1707—1783）称为“组合数论”的一个妙题的“装错信封问题”的两个特例。“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰?伯努利（JohnBernoulli ，1667—1748）的儿子丹尼尔?伯努利（DanidBernoulli ，1700—1782）提出来的，大意如下：一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封。问全部装错了信封的装法有几种？

2.错位排列和禁位排列

1）错位排列：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ???，其中()1,2,,k i a k m =???不在第

()1,2,,k i k m =???个位置（一下简称其为k i a 的本位），而其他n m -个元素中的任何一个都在原来的位置（本

位）的排列。如果n 个元素都不在本位，称为全错位排列。

2）禁位排列（一个元素禁止排在一个位置）：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ???，其中

()1,2,,k i a k m =???不能排在第()1,2,,k j k m =???个位置的排列。

3）两者的区别在于：错位排列中除这m 个元素之外的其他n m -个元素都在本位，即这m 个元素只能在m 个位置12,,,m i i i ???中排列，且不出现()1,2,,k i a k m =???在k i 位的情况；而禁位排列中只限制m 个元素不在本位，因此()1,2,,k i a k m =???可以排在1,2,,n ???中除k i 之外的任何位置。

3.禁位排列与全错位排列的种数

1）禁位排列数：

求禁位排列数，只需从n 个元素的全排列中除去指定元素占本位的排列即可，其中有1个元素占本位的排列数是1

1

1n m n C P --，有两个元素占本位的排列数是2

1

1n m n C P --，……，n 个元素占本位的排列数是m

n m

m n m C P --. 记错位排列和禁位排列的排列数分别为,m

m

n n D E ，用n D 表示n 个元素全错位排列。则由容斥原理有：

【禁位排列公式】()()()()0

1

2

121m

m

m

n m m m m E C n C n C n C n m =--+--???+--！！！！

【证明】①当0m =时，等式左边为0n E ，表示n 个元素没有限制，所以有n

n P n =！，

等式右边本应该有1m +项，当0m =时，只有1项，就是0

0C n n =！！.等式成立；

②假设()0

1k

i

k

i n i n

k n i i E C P --==

-∑；

③那么当1m k =+时，设第1k +个元素为a ，则前k 个元素不占本位而a 占本位的排列数为：

11

k k k n

n n E

E E

+-=-()()1

10

11k

k

i

i

i n i i n i k

n i

k n i i i C P

C P ------===---∑∑， ()(

)()

()(

)

1

011220112

1

12121

111k

k k

n n n k n k n n k n k k n k k n k n k n k n k k n k n k n k k n k C P C P C P C P C P C P C P C P -----------------=-+-???+---+???+-+-()()()1

011

11

11k

i

k n

i i n i

k n k k n

k k n i k n k i C P C C P C P +-------==+-++-∑

()()1

01111111

11k

i k n

i n i

k n k k n

k n i k n k i C P C P C P +-+--++-+--==+-+-∑

()1

10

1k i

i n i k n i i C P +-+-==-∑

因此对于0m n ≤≤时，公式1均成立。

【例1】5个人站成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站法。 【解】由公式得：2

5

1

4

2

3

525242378E C P C P C P =-+=

【例2】6个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。 【解】由公式得：3

6

1

5

2

4

3

3

636353433426E C P C P C P C P =-+-=

【变式1】用0,1,2,3,4这5个数字，组成没有重复数字的5位数，百位上不排3，一共有多少种排法？ 【变式2】在由1,2,3,5,9组成的没有重复数字的五位数中，共有多少个小于60000的奇数？

2）全错为排列数：

全错为排列就是n 个元素，全不排在本位，实际上就是禁位排列中，当m n =的情况，因此：

【全错位排列公式】()()()0

1

2

1210n

n

n

n n n n n n D E C n C n C n C ==--+--???+-！！！！.

另一种写法：()()01111111123i

n

n

n i D n n n i =-??=-+-+???+-?=?????

∑！！！！！！！. 【例3】寝室四个人每人写一张贺卡，然后互相交换，每个人不拿到自己的卡片，一共有多少种可能？ 【解】由公式得：0

4

1

3

2

2

3

1

4

444434241409D C P C P C P C P C P =-+-+=；

用另外一个公式得：411114191234D ??

=-

+-+=????

！！！！！. 【例4】有来自,,,,A B C D E 五国的乒乓球裁判员各两名，执行某国际大赛的1,2,3,4,5号场地的乒乓球

裁判工作，每个场地由2个来自不同国家的裁判组成，不同的安排方案共有多少种？

【解】相当于把10个人分成两组，每组5人，但是这5个人必须是分别来自,,,,A B C D E 五国，由于是平

均分组，因此有

()

5

1222

C P

种（两组之间没有顺序）；然后这把一组先排列，有55P 种排法；再把另外一组排

列，要求同一个国家不能在一起，因此，是5个元素全错为排列的问题，有5D 种排列。

因此一共有

()

5

125552

284480C P D P ??=种。

【变式】有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？

3）部分错位排列：

将n 个元素12,,,n a a a ???排在n 个位置上，记其中有且仅有m 个元素的编号都在与其位置编号不一致的排法种数为：m

n D ，则：

【部分错位排列公式】m m

n n m D C D =?.

【注】部分错位的意思就是剩余部分就正常排列，剩余位置就只有一种排法。

【分析】有且仅有m 个元素的编号都与其位置编号不一致的可能性共有m

n C 种，所以：m m

n n m D C D =?. 【例5】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 【解】由公式，3

5320C D =，一共有20种可能。

【变式1】编号为1,2,3,4,5的五个小球，放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，并且每盒至少一个小球， 其中只有一个小球的编号与盒子编号一致，问：有多少种不同的方法？

【变式2】客运公司调整6辆客车的发车班次，要求变动其中的4辆客车的发车班次，其余2辆的不变，共有多少种不同的调整方案？

4）至少有其中的某m 个元素错位排列：

将n 个元素12,,,n a a a ???排在n 个位置上，记至少有其中的某m 个元素，12,,,m r r r a a a ???的编号都与其位置编号不一致的排法种数为m

n H ，则：

01111m n m m n n m m n m m n m n m n H C D C D C D C D ----+--=++???++.

【证明】问题中对另外n m -个元素的编号是否与其位置编号一致没有任何特别要求，当这n m -个元素中有且只有0,1,2,,1,n m n m ???---个元素的编号与其位置编号不一致时， 分别有：0

1

1

11,,,,n m m

n m m n m m n m n m n C D C D C D C D ----+--???种排法， 所以：0

1

1

11m

n m m

n n m m n m m n m n m n H C D C D C D C D ----+--=++???++. 【注】至少有其中的某m 个元素错位排列，就是禁位排列。

5）至少有m 个元素错位排列：

将n 个元素12,,,n a a a ???排在n 个位置上，记至少有其中有m 个元素的编号都与其位置编号不一致的排

法种数为m

n K ，则：

【至少有m 个元素错位排列】1

1

11m

m

m n n

n n m n m n n n n K C D C D C D C D +-+-=++???++.

【证明】有且只有,1,2,,m m m n ++???个元素的编号与其位置编号都不一致时，分别有：

1111,,,,m m n n n m n m n n n n C D C D C D C D +-+-???种排法，所以：1111m m m n n n n m n m n n n n K C D C D C D C D +-+-=++???++.

【例6】编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多两个号码一致的坐法有多少种？

【解】“至多两个号码一致”的意思就是“至少三个号码不一致”，由公式：

33455535455109K C D C D C D =++=.

【例7】高二年级共有6个班，配备有6名数学教师，每班1名，学校准备适当调整这6名教师在该年级组内的任课班级，在以下情况下，各有多少种调整方案？ （1）至少变动3名教师任课班级；

（2）一定变动甲、乙、丙3名教师的任课班级；

（3）变动甲、乙、丙3名教师的任课班级，其余3名教师的任课班级不变； （4）甲、乙、丙3名教师中至多变动1人的任课班级。

【解】（1）由题意，知求3

6K ，因为34562,9,44,265D D D D ====，所以：

33456663646566704K C D C D C D C D =+++=，

（2）属于禁位排列问题，306152433

636353433426E C P C P C P C P =-+-=种。

（3）属于部分错位排列问题，可以看成是3个元素的全错为排列问题，有32D =种。

（4）①甲、乙、丙3名教师的任课班级都不变时，另3名教师中至少有2个人的任课班级有变动，另3

名教师中至少有2人的任课班级有变动，其调整方案有23

3

2335C D C D +=；②甲、乙、丙3名教师中至少有1人的任课班级有变动，其调整方案有()

1123

3

32333454C C D C D C D ++=种。 故甲、乙、丙3名教师中至多变动1人的任课班级的调整方案共有55459+=.

4.全错为排列的另一种证法

当1n =时，位置只有一个，而该元素不能排在该位置，所以，这种排法为0种，即10D =.

当2n =时，1a 不能排在第一个位置，2a 不能排在第二个位置的排法只有1种〈即1a 排在第二个位置，

2a 排在第一个位置），即21D =.

当3n ≥时，设()1,2,3,,i a i n =???不排在第()1,2,3,,i i n =???位，分别填人下面的n 个方框中。

第一步：考虑第1个位置，因为1a 不能排在第一个位置，所以第1个位置的排法共有()1n -种，下面假定()2i a i n ≤≤排在第1个位置。

第二步：考虑第i 个位置，根据第i 个位置是否排1a 可分成两种情形：

（1）当1a 排在第i 个位置（此时i a 已排在第1个位置），则还剩下()2n -个元素及与之对应的()2n -个位置，则问题变为()2n -个元素的错位排列问题，因此不同的排法有2n D -种。

（2）当1a 不排在第i 个位置（此时i a 仍排在第1个位置），因为1a 和i a 均不能排在第i 个位置，所以，当i a 排在第1个位置后，剩下的()1n -个人：12311,,,,,,,i i n a a a a a a -+??????和()1n -个位置：2,3,,n ???其中

()2,3,,1,1,,k a k i i n =???-+???不排在第k 位，

1a 不排在第i 位。故此时也相当于()1n -个元素的错位排列，则不同的排法是1n D -种.由乘法和加法原理知：()()121n n n D n D D --=-+（*），其中120,1D D ==. 下面用递归迭代法得出n D 的计算公式。由（*）得：

()()()()()()()()1221

12111111=111212n n n n n n n n D n D n D D D D D n n n n n n n n n n n n n ----------??+=?+=-?+? ?-?-?---??！！！！！！！

所以

()()()11

21112n n n n D D D D n n n n n ---??-=-- ? ?---??

！！！！ ()()()2

2

3111123n n D D n n n n --??=-???- ? ?---??

！！ =???

()

2

211111112321n D D n n n -??

=-????????- ?--??

！！ 因为120,1D D ==，所以

()()1111n

n n D D n n n --=-?-！！！

，利用累加法， 求得

()()111111*********n n

n D n n n =-+???+-?=-+-+???+-?！！！！！！！！

所以()()01111111123i

n

n n i D n n n i =-??=-+-+???+-?=?????

∑！！！！！！！ 即在n 个不同元素的全排列中，错排列数为：

()()121n n n D n D D --=-+，其中120,1D D ==

()()01111111123i

n

n

n i D n n n i =-??=-+-+???+-?=?????

∑！！！！！！！ 5.全错为排列的推广

上面我们讨论了n 个元素的全错位排列问题。如果我们换一个角度来看，把n 个元素看成n 组人，则为每一组只有1人的全错位排列。为此，我们自然会想到每组有2人、3人甚至n 个人时的情况又会如何呢？为此我们将此模型进一步推广：

【定理1】kn 个人，每组k 个人，共n 组，坐到n 行k 列共kn 个位置中，但若第()1,2,3,,i i k =???组不能坐到第()1,2,3,,i i k =???行中（组内成员可换位置）。不同的坐法有：

()()()()

121k k kn k k k n k n a P n a P a --=-+，其中()2

120,k k k k a a P ==，且()k

k

kn n k a D P =?（n D 为n 个元素的错位

排列数）。

证明：当1n =时，因为第一组成员不能坐在第一行中，所以10k a =.

当2n =时，因为第1组人做到第2组位置构成全排列，第二组人坐到第1组位置又构成全排列，所以

()2

2k k k a P =种。

当3n ≥时，首先考虑第1行的位置，可能坐此位置的人共有()1n -组，但无论哪一组人坐，不同的坐法有

()1k k n P -种。下面假定第1行被第i 组坐了。接着，再考虑第i 行，同样可分两种情况讨论：

（1）若第i 行被第1组人坐（此时第1行被第i 组人坐），还剩下()2n -组人和与之对应的()2n -组位置，则共有()2k

k k n P a -?种不同的坐法。

（2）若第i 行不被第1组人坐（此时第1行仍被第i 组人坐）.则剩下()1n -组人和()1n -组位置，则不同的坐法共有()1k n a -种。由乘法和加法原理知：()()()()121k

k kn k

k k n k a P n a P a --=-+，

事实上，此问题也可以这样考虑：第一步以组为单位，恰好为n 个元素的错排列，公有n D 种排列方法；第

二步，每一组k 个元素均进行全排列，共有()

k

k k

P 种排列方法。由乘法原理知：

()

k

k kn n k

a D P

=?

从上面这个通项公式，我们可以看出1k =时正好是错位排列的通解。

【定理2】kn 个人，每组k 个人，共n 组，坐到n 行k 列，共如个位置中，但若第()1,2,3,,i i k =???组不能坐到第()1,2,3,,i i k =???行中，组内成员可换位置，但每组内第j 人不能坐到第j 列。共有坐法为：

()()111111i i

n k kn n k i i E D D n k i i ==????--=?=??+?+????????????

∑∑！！！！

【证明】此问题可以这样考虑：第一步以组为单位，恰好为n 个元素的错排列，共有n D 种排列方法；第二步，每组内第j 人不能坐到第j 列，即每一组k 个元素均进行错排列，共有k D 种排列方法。由乘法原理知：

()()111111i i

n k kn n k i i E D D n k i i ==????--=?=??+?+????????????

∑∑！！！！ 【定理3】编号为111212,,,,,,,k n nk a a a a a ?????????的nk 个人（每组k 个人，共n 组），坐到编号为

111212,,,,,,,k n nk b b b b b ?????????的nk 个位置中（共n 行k 列），但编号为ij a 的人不能坐到编号为ij b 的位置中，

则不同的坐法为：

()()()()()111111111123i

nk nk

kn nk i F D nk nk nk i =????-==?-+-+???+-=+ ? ? ? ?????

∑！！！！！！！ 【分析】此问题可以这样考虑，编号为ij a 的人不能坐到编号为ij b 的位置中实际上就相当于所有元素的错排列。证明略（参照原数学模型的证明）。

从上面这个通项公式中，我们可以看出：当1n =或1k =时正好为错位排列的通解。