直角三角形的性质及判定练习题(1)
直角三角形的性质及判定练习题（1）
◆◆知识点：
1、直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
（4）直角三角形中，如直角边等于斜边的一半，则这直角边所对的角等于30度 （5）勾股定理： 直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方．
2、直角三角形的判定：
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形
（3）三角形中一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形 （4）三角形中如两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形 一、性质题型精练：
1、在Rt ΔABC 中，∠A=30°则∠B=60°最直接的理由是 .
2、在Rt Δ中，斜边长为6cm ，则斜边上的中线为 cm.
3、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，AB=10cm ，则BC=_____cm 。
4、如图，AB//CD ，AE 交CD 于C ，∠A=34°，∠A=90°
∠DEC=90°，则∠D 的度数是
5、在直角三角形中，斜边和斜边上的中线和为30是
6、如图，直线L1，L2被直线L3所截，∠1=∠∠P=90°，则∠3= 度
7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，则∠B= 度8、在△
ABC 中，如果∠A+∠B=∠C,且AC=
2
1
AB ，则∠B= 度 9、等腰三角形的底角为
15°，腰长为12，则腰上的高为 10、如图，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠若AD=4厘米，则CD= 厘米
11、如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，求证△ABC 是直角三角形
12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8厘米，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC 、CD 和DE 的长
二、勾股定理题型精练
题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
D
B
L1
E C
完整版2018初三数学中考复习直角三角形的性质专项复习练习题含答案
2018 初三数学中考复习直角三角形的性质专项复习练习题 1. 如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( ) A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km ABCCFABFBEACEMBCEFBC，，为⊥＝于2．如图，在△中，的中点，⊥，于6EFM的周长是，则△( ) ＝15 A．21 B．18 C.15 D．13 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A．3.5 B．4.2 C.5.8 D．7
4．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，且∠BAD＝15°，AD＝8，则CD等于( ) A．4 B．3 C.2 D．5 5. 如图所示，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BD、DE的中点，则下列结论中错误的是( ) ＝60°DGE．∠DGE D平分∠GF．DE C⊥GF．GD B＝GE．A．6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为BC、AB的中点，且AC＝6cm，AB＝8cm，则△ADE的周长为( ) A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB 的长度是( ) A．2cm B．4cm C.8cm D．16cm 8. 如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为( )
A．10 B．11 C.12 D．13 9. △ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，CD⊥AB于D，则CD＝______. 10. △ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC边上的中线BD的长为________. 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，则BC＝ _____cm. 12. 已知直角三角形的两边为3cm和4cm，则它们的第三边长为 __________cm. 13. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD 的长为______. 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC 于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是_____.
直角三角形的性质与判定
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案
2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值.
【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可. 【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴ A (1，2)， 把A (1，2)代入 k y x = 得2k =， ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称， ∴()1 2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ， ∵ 90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=， ∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==.
直角三角形的性质、判定习题
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
直角三角形性质应用(习题)
直角三角形性质应用 1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积 分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=_______． S 4 l 3 21 S 3 S 2 S 1 2. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若 AD =DB =DE ，AE =1，则AC 的长为_______． 45° E D C B A P D B C A 第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =3，BD 平分 ∠ABC ，交AC 于点D ，P 是BD 的中点，则CP 的长为_______． 4. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若DE +DF =3，则△ABC 的周长为__________． F A C D E F E B C A 第4题图 第5题图 5. 如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点．若 EF =7，BC =10，则△EFM 的周长为__________． 6. 如图，直线l 1∥ l 2∥l 3，且l 1与l 3l 2与l 3之间的距离为1．若 点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC =BC ，AC 与直线l 2交于 点D ，则BD 的长为______．
D l 3 l 2l 1A B C 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ， 1 2 CBE ABE ∠=∠，F 是DE 的中点．若BC =1，AF =4，则AC 的长为 _______． F E D C B A 8. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =5，AD =则BD 的长为_______． D C B A O E D C B A 第8题图 第9题图 9. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且 正方形对角线交于点O ，连接OC ．若AC =2，BC =4，则OC =_________． 10. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 上一 点，连接DE ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，连接OF ，若DF =3， ，则AF =_________．
八年级数学下册 直角三角形的性质与判定教案
1．2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C 中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理
直角三角形的性质培优提高讲解与练习
直角三角形的性质 【知识点1】 直角三角形的性质 (1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°AB AD AC ?=2 (2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即2 22c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB ?CD=AC ?BC 【知识点2】直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……） 例1．（2010?黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ） 例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF G E F D C B A
例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥ BD 例4．如图，在矩形ABCD 中， ，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则 DM+CN 的值为( ) A. 1 B. C. D. 【练一练】 一、填空题 1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。 5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题
直角三角形的性质判定习题
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3) 35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′=30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32 C 、4 D 、1
八年级下册数学直角三角形的性质和判定教案
第1章直角三角形 1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时直角三角形的性质和判定 1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点) 2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点) 一、情境导入 在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质． 二、合作探究 探究点一：直角三角形两锐角互余 如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等 于() A．110°B．100°C．80°D．70° 解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A. 方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形 如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三 角形． 解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口， 本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12 (180°－∠BCD )，∠F ＝12 (180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12 (180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12 (∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12 ×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点． (1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分AD . 解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12 AB ，DF ＝AF ＝12 AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可． (1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12 ×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12 ×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18； (2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD . 方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
直角三角形的性质习题
列举直角三角形有哪些性质？ 1两个锐角：2含30度角3斜边上的中线4面积 测试题： 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三 角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4.已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 5.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上，且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 再练习： 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________ 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E, 求证AD=2BC.
M F E D C B A 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF C B A E F C B A G E F D C B A
最新八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1
直角三角形的判定和性质的习题
一．练习： 1）Rt△ABC中，∠C=90 °，∠B=28°，则∠A=__. 2）若∠C =∠A+∠B= 则△ABC是______三角形. 3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=3∠C求∠B，∠C的度数。 4) 已知Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB=_____. 二．做一做，感受性质定理 教师组织学生活动： 把学生分为三大组分别完成对应序号的要求： 1.任意撕张长方形的纸，沿着长方形对角对折得两个直角三角形，拿其中一个直角形对折斜边上的中线，比较斜边的一半中线的长短，你发现了什么？ 2.任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？ 3.已知：在Rt△ABC中， ACB=90°，CD是斜边AB上的 中线。 求证：CD= ?AB（提示：证明CC′=AB）证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC＇。 A C’ D C B
三．练习 1)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____ 2)、在△A B C中，∠A C B=90°，C E是A B边上的中线，那么与 C E相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=30°，那么∠E C B=_________。 3)如图，在△A B C中，∠B=∠C,D,E分别是B C,A C的中点， A B=6，求D E的长。 4），如图，在△A B C中，∠B=2∠C，点D在B C边上，且A D⊥A C.求证：C D=2A B 四．思考
如图，在△A B C 中，C D 是A B 边上的中线，且C D = ? A B ，△A B C 是直角三角形吗？ 五．综合练习 如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高， M 、N 分别是BC 、ED 的 中点，试说明：MN ⊥DE . N M D E B C A A D B
直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定 第1课时 直角三角形的性质和判定 学习目标 1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用. 2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法. 一、自主学习 认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识： 1、三角形的内角和是 . 2、在直角三角形中，两个锐角的和是 . 3、直角三角形的判定定理： . 4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC 斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？ AB= CD= 探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于 . 写出证明过程： B D C A 二．合作探究 1、如图，在三角形ABC 中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC 是一个直角三角形. 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若AB=6cm,求CD 的长；（2）若CD=6cm,求AB 的长. B D C A 3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形. B D C A 4、如图，AB//CD ,∠BAC 和∠ACD 的平分线相交于点H,E 为AC 的中点. A C B
求证：（1）△ACH 是Rt △;（2）AC=2EH. H E D B C A 四、巩固小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 五、当堂测评 1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是 . 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若DB=5cm,则CD= ； （2）若CD=12cm,则AB= ; （3）若∠A=40°，则∠BDC= ; (4)若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= . B D C A
直角三角形的性质与判定 优秀课教案
1．2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】 判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC 中，不是 直角三角形的是( ) A ．∠A ＋∠ B ＝∠ C B ．∠A －∠B ＝∠C C ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 D ．∠A ＝∠B ＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A 中∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，为直角三角形，同理，B ，C 中均为直角三角形，D 选项中∠A ＝∠B ＝ 3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC 中，AD ⊥BC 于 D ，C E ⊥AB 于E . (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A 是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE 都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D ＝∠E ＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理
直角三角形的性质习题
19.8 (1) 直角三角形的性质（一） 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等 腰三角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4. 已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度， E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上， 且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 19.8（2）直角三角形性质（二） E
1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 19.8（3）直角三角形的性质(三) D A C B A E F C B A
直角三角形的性质与判定1
第1章直角三角形 第1课时直角三角形的性质和判定(1) 班级：组名：姓名编号： 【学习目标】 1.知道直角三角形两个锐角互余的性质． 2. 会用判定定理“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形． 3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 【预习导学】 1.看书：教材P2~ P4的内容，认真领会例1后回答下列问题。 2.解答下列问题： ①直角三角形可用符号“______”来表示，直角三角形的两个锐角__________。 ②_____________________________的三角形是直角三角形。 ③直角三角形______ ___边上中线等于_________边的___________。 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，则 CD=_________=___________=______AB；∠ADC=___∠B，∠BDC=___ ∠A。 【自主探究】 1.若∠A=40°，∠B ＝50°，则，△ABC是一个________三角形. 2.若等腰三角形中，有一个底角是45°，则这是一个_____________三角形. 3.如图，CD是R t⊿ABC斜边上的高.则与∠A互余的角有 _____________与∠B互余的角有_____________，图中一共有 __________对互余的角。 4.上图中，∠A =∠___________ ，∠B =∠___________ 5.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线， ①若AB=8cm，则CD=_______，若∠A=35°，那么∠ACD=_________ ②若∠CDB=80°，则∠A=_____ ∠B=_____ 【合作探究】 1.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是三角形。如果三角形的 一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是三角形。 2.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是三角形。在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶8，则△ABC是三角形。 3.△ABC中,若CD是AB的中线，且CD=1 2 AB，则△ABC是三角形， ∠是直角。
直角三角形的性质与判定练习题
直角三角形的性质与判定练习题 一、填空题 1 在Rt△ ABC中，∠ C=90°， a=1, : ①∠ A=30° ,b= ＿＿ ,c= ＿＿ .②∠ A=45°,b=＿＿ ,c=＿＿。 21 世纪教育网 2.一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7 分米。如果梯子的顶端 沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动()21 世纪教育网 分米分米分米分米 3. 已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。 & 4.△ ABC中， AB＝15， AC＝ 13，高 AD＝ 12，则△ ABC的周长为（）21 世纪教育网 A．42B．32C．42 或 32D．37 或 33 5.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高 20m 的一棵大树的树 梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少秒才可能到达大树和伙伴在一起[来源 :21 教育网 ? 6．有一个角为 30 度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高 __________，三角形面积是 ________— 7．在△ ABC 中，若 a2=b 2－ c2，则△ ABC 是三角形，是直角； 8．一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。 2~ 9．在Rt△ ABC中，∠ C=90° ①若 a=3， c=5，则 b=___________；②若 a=5， b=12，则 c=___________； （ ③若 c=25，b=7，则 a=__________；④ a=8， b=15，则 c=。 10 已知一个Rt△的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长是 11．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形面积为、。 12．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为__________。 13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长 13m,宽 2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方 米 18 元，请你计算一下最少费用是多少21 世纪教育网 】 D 13m5m A@C B$ 14．已知△ ABC 的三边长分别为1，3， 2，则△ ABC 是三角形 . 15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为 6，则底边的长为 ，. 16 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则四边形 ABCD 的周长是. 17．在直角三角形中，两锐角之比为1: 2 ，则两锐角的度数分别为. ．18．如图，以Rt△ ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S14， S28，则 S3；以 RtABC 的三边向外）
直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C 45° 1130° 2 3 42 1 1 A B A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A B A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． A B C D F E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．