专题1 第3讲

专题1 第3讲

1．(2017·青海西宁四校联考)在2016年短道速滑世锦赛中，我国选手韩天宇在男子超级3 000米赛事中以4分49秒450夺冠，并获得全能冠军．如图甲所示，比赛中，运动员通过弯道时如果不能很好地控制速度，将会发生侧滑而离开赛道．现把这一运动项目简化为如下物理模型：用圆弧虚线Ob 代表弯道，Oa 表示运动员在O 点的速度方向(如图乙所示)，下列说法正确的是( D )

A ．发生侧滑是因为运动员受到离心力的作用

B ．发生侧滑是因为运动员只受到重力和滑道弹力两个力作用，没有向心力

C ．只要速度小就不会发生侧滑

D ．若在O 点发生侧滑，则滑动方向在Oa 与Ob 之间

解析 在O 点发生侧滑时，若此时摩擦力消失，运动员沿Oa 方向滑动，而此时运动员还会受到一个大致沿半径方向的摩擦力，则滑动方向在Oa 与Ob 之间，选项D 正确．发生侧滑是因为运动员通过弯道时需要的向心力大于其受到的合力，选项A 、B 错误；向心力不变的情况下，速度小，则圆周运动半径也小，若运动员不控制身姿同样会发生侧滑，选项C 错误．

2．(2017·山东潍坊统考)

如图所示，在斜面顶端以速度v 1向右抛出小球时，小球落在斜面上的水平位移为x 1，在空中飞行时间为t 1；以速度v 2向右抛出小球时，小球落在斜面上的水平位移为x 2，在空中飞行时间为t 2.下列关系式正确的是( B )

A.x 1x 2＝v 12 B ．x 1x 2＝v 2

122

C.t 1t 2＝x 1x 2

D ．t 1t 2＝v 2

1v 22

解析 设斜面的倾角为α，小球由抛出到落到斜面上时，水平位移与竖直位移分别为x 、y .则tan α＝y x ，又竖直方向y ＝12gt 2

，水平方向x ＝v t ，整理可得t ＝2v tan αg ，t ∝v ，x ＝2v 2tan αg

，

x ∝v 2，选项A 、D 错误，选项B 正确；由以上分析可知t 2＝2x tan α

g

，即t 2∝x ，选项C 错误．

3．(2017·陕西西安八校联考)如图所示，小物块位于半径为R 的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v 0＝2gR ，则小物块( C )

A ．将沿半圆柱形物体表面滑下来

B ．落地时水平位移为2R

C ．落地速度大小为2gR

D ．落地时速度方向与水平地面成60°角

解析 设小物块在半圆柱形物体顶端做圆周运动的临界速度为v c ，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第二定律得mg ＝m v 2c

R ，解得v c ＝gR ，因为v 0>v c ，所以小物块将离开半圆柱

形物体做平抛运动，选项A 错误；小物块做平抛运动时竖直方向R ＝1

2gt 2，则水平位移为x

＝v 0t ，解得x ＝2R ，选项B 错误；小物块落地时竖直方向分速度大小为v y ＝gt ，解得v y ＝2gR ，则落地时速度的大小为v ＝2gR ，速度与水平地面成45°夹角，选项C 正确，D 错误．

4．(2017·内蒙古联考)如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M .有一质量为m 的小球以水平速度v 0从圆轨道最低点A 开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度大小为g ，则下列说法正确的是( B )

A ．地面受到的压力一定大于Mg

B ．小球到达B 点时与铁块间可能无作用力

C ．经过最低点A 时小球处于失重状态

D ．小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力方向可能向右

解析 若小球恰好通过C 点，重力提供其做圆周运动的向心力，则小球与铁块间无作用力，地面受到的压力为Mg ，选项A 错误；若小球恰好到达B 点时速度为零，则小球与铁块间无作用力，选项B 正确；小球经过最低点A 时具有竖直向上的加速度，则此时小球处于超重状态，选项C 错误；小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面可能不受摩擦力，也可能受到水平向左的摩擦力，故选项D 错误．

5．(2017·海南五校模拟)测量物体速度大小的方法很多，利用圆周运动测速度也是实验室中常用的重要方法之一．如图所示是一种测量物体弹射时的初速度的装置，右侧是半径为

R 的圆盘，并置于竖直平面内，装置发射口Q 和圆盘的最上端P 点等高，装置发射口与P 点的距离为L .当装置M 中的小物体以一定的初速度垂直圆盘面且对准P 点弹出的同时，圆盘绕圆心O 点所在的水平轴在竖直平面内匀速转动，小物体恰好在P 点到达圆盘最下端时击中P 点．忽略空气阻力，重力加速度为g .则( D )

A ．小物体击中P 点所需的时间为

2R g

B ．小物体从发射口弹出时的速度为L g R

C ．圆盘转动时角速度的最小值为

3π

2g R

D ．P 点的线速度可能为5π

2gR

解析 由2R ＝1

2

gt 2，得t ＝2

R g ，选项A 错误；小物体从发射口弹出时的速度v 0＝L t ＝L 2

g

R ，选项B 错误；根据(2n －1)π＝ωt ，得ω＝(2n －1)π2g

R

(n ＝1,2,3，……)，角速度的最小值为ωmin ＝π2

g

R ，选项C 错误；P 点的线速度v ＝ωR ＝(2n －1)π2

gR (n ＝1,2,3，……)，当n ＝3时，

v ＝5π2

gR ，选项D 正确．

6．(2017·宁夏银川模拟)如图所示，等长的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的P 、Q 两点，P 、Q 两点间的距离等于一根轻绳长度．重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以P 、Q 连接为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两轻绳的拉力恰好均为零，不计空气阻力，则( B )

第6题图

A ．每根轻绳的长度为v 2

g

B ．小球运动到最低点时每根轻绳的拉力大小为23mg

C ．小球运动到最低点时处于失重状态

D ．小球运动到最低点时的加速度大小为3g

解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球在最高点速率为v 时，两轻绳的拉力恰好均为零，由mg ＝m v 2r ，解得r ＝v 2

g .小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的

夹角为θ＝30°，则有r ＝L cos θ＝3

2L ，所以每根轻绳的长度为L ＝23v 23g ，选项A 错误．设

小球运动到最低点时速率为v ′，小球运动到最低点时每根轻绳的拉力大小为F ，小球从最高点运动到最低点，由机械能守恒定律，12m v 2＋mg ·2r ＝1

2m v ′2，在最低点，由牛顿第二定

律，2F cos θ－mg ＝m v ′2

r ，联立解得F ＝23mg ，选项B 正确．小球运动到最低点时的加速

度大小为a ＝v ′2

r

＝5g ，方向竖直向上，小球处于超重状态，选项C 、D 错误．

7．(2017·陕西宝鸡质检)(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直．一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A 轨道缓慢下降到B 轨道，则在此过程中( AB )

A ．小球运动的线速度逐渐减小

B ．小球运动的周期逐渐减小

C ．小球的向心加速度逐渐减小

D ．小球运动的角速度逐渐减小

解析 由于受到空气阻力，克服阻力做功，小球运动的线速度逐渐减小，选项A 正确；小球的运动轨迹由A 轨道缓慢下降到B 轨道，受力情况不变，由mg tan θ＝mrω2，可知轨迹半

径r 减小，小球运动的角速度ω增大，选项D 错误；由T ＝2π

ω，可知小球运动的周期T 减

小，选项B 正确；由mg

tan θ

＝ma ，可知小球运动的向心加速度a 不变，选项C 错误．

8．(2017·广西柳州模拟)(多选)如图所示，质量为M ＝0.2 kg 的圆环ABCD 处于竖直平面内，半径R ＝0.2 m ，圆环上四分之一圆孤CD 粗糙，其余部分光滑，圆环上端被轻杆固定．套在圆环上的质量为m ＝0.2 kg 的小球从A 点以水平初速度v 0＝2 m /s 沿圆环顺时针开始滑动，第一次回到A 点时速度为零．不考虑空气阻力，重力加速度大小为g ＝10 m/s 2.下列说法正确

的是( AB )

A ．小球经过D 点时速度大小为2 m/s

B ．小球经过

C 点时对圆环的压力大小为14 N C ．小球经过B 点时轻杆对圆环的作用力小于4 N

D ．若小球从A 点由静止释放沿圆环顺时针运动，则小球恰能到达D 点 解析

小球从D 点运动到A 点的过程中，由动能定理得，－mgR ＝0－m v 2D

2，v D ＝2gR ＝2 m/s ，

选项A 正确；小球从A 点运动到C 点的过程中，有2mgR ＝m v 2C 2－m v 202，F N －mg ＝m v 2C

R ，联

立得F N ＝14 N ，由牛顿第三定律知，选项B 正确；小球从A 点运动到B 点的过程中，有mgR ＝12m v 2B －12m v 20，在B 点时有，F ′N ＝m v 2B

R ，对圆环受力分析，如图所示，其中F ′′N

＝F ′N ，轻杆对圆环的作用力F ＝M 2g 2＋F ′′2N ＝217 N>4 N ，选项C 错误；小球从A 点以水平速度v 0沿圆环顺时针运动一周的过程中克服摩擦力做功为m v 20

2＝0.4 J ，由于摩擦力

F f ＝μF N ，小球从A 点由静止释放时，在C 、D 间克服摩擦力做的功要小于0.4 J ，故会上升到D 点上方某一位置，选项D 错误．

9．(2017·江西五校模拟)(多选)两小球A 、B 离地面高度均为h ，水平相距l ，如图所示虚线为此时小球A 、B 连线的中垂线．若同时将小球A 、B 分别以速度v 1、v 2(v 1＞v 2)水平抛出，方向如图所示．假设两小球A 、B 与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( AD )

A ．若l

v 1＋v 2

＜

2h

g

，则小球A 、B 一定能在第一次落地前相碰 B ．若小球A 、B 在第一次落地前不相碰，则此后就不会相碰 C ．小球A 、B 不可能运动到最高处相碰

D ．小球A 、B 一定能相碰，且相碰的位置一定在虚线的右侧

解析 由题意知小球A 、B 均做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球A 、B 竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t 1相同，且t 1＝2h g ，若第一次落地前相碰，只要满足碰撞前小球A 、B 运动的时间t ＝l v 1＋v 2

＝2h

g

，可见选项A 正确；因为小球A 、B 在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且小球A 、B 与地面相碰后水平速度不变，所以小球A 一定会与小球B 相碰，由于v 1>v 2，小球A 的水平位移比小球B 的水平位移大，故相碰位置一定在虚线的右侧，选项D 正确；由于l 、h 大小未知，只要设置合适的l 、h 值，两小球可能运动到最高处相碰，选项C 错误．

10．(2017·四川重点中学模拟)(多选)如图所示为一半径为R 的水平转盘，两可视为质点、质量分别为m 和2m 的滑块P 、Q 用一质量不计的原长为1.5R 的橡皮筋相连，当滑块P 、Q 随水平转盘以恒定的角速度ω转动时，滑块P 、Q 到转盘圆心的距离分别为1.5R 和R .已知两滑块与转盘之间的动摩擦因数均为μ，且橡皮筋满足胡克定律，劲度系数为k ，重力加速度大小为g ，假设两滑块与转盘之间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，kR ≤μmg .则( BD )

第10题图

A ．当ω＝k

3m

时，滑块P 与水平转盘之间的摩擦力为零 B ．当ω＝k

2m

时，滑块Q 与水平转盘之间的摩擦力为零 C ．当ω＝k 2m ＋μg

R

时，滑块Q 将要发生滑动，而滑块P 仍相对水平转盘静止 D ．当ω＝

2k 3m ＋2μg 3R

时，滑块P 将要发生滑动，而滑块Q 仍相对水平转盘静止 解析 当两滑块随水平转盘以角速度ω匀速转动时，橡皮筋处于伸长状态，此时橡皮筋的拉力大小为F 0＝kR ，且μmg ≥kR .当滑块Q 与水平转盘之间的摩擦力刚好为零时，则有kR ＝2mω2Q R ，解得ωQ ＝

k

2m

，此时，对于滑块P ，mω2Q ·1.5R ＝0.75kR ，滑块P 未滑动，选项B 正确；当滑块P 与水平转盘之间的摩擦力刚好为零时，则有kR ＝mω2P ·1.5R ，解得ωP ＝2k 3m >ωQ ，则此时对于滑块Q,2mω2P R ＝4

3

kR

有摩擦，选项A 错误；当滑块Q 将要发生滑动时，由kR ＋2μmg ＝2mω′2

Q R ，解得ω′Q ＝

k 2m ＋μg

R

；当滑块P 将要发生滑动时，由kR ＋μmg ＝mω′2P ·1.5R ，解得ω′P ＝2k 3m ＋2μg

3R

，ω′Q >ω′P ，则滑块P 先发生滑动，选项C 错误，D 正确．

11．(2017·湖北襄阳调研)如图所示，半径可变的四分之一光滑圆弧轨道置于竖直平面内，轨道的末端B 处切线水平，现将一小物体从轨道顶端A 处由静止释放．小物体刚到B 点时的加速度为a ，对B 点的压力为F N ，小物体离开B 点后的水平位移为x ，落地时的速率为v .若保持圆心的位置不变，改变圆弧轨道的半径R (不超过圆心离地的高度)．不计空气阻力，下列图象正确的是( AD )

解析 设小物体释放位置距地面高为H ，小物体从A 点到B 点应用机械能守恒定律有，v B ＝2gR ，到地面时的速度v ＝2gH ，小物体的释放位置到地面间的距离始终不变，则选项D 正确；小物体在B 点的加速度a ＝v 2B

R ＝2g ，选项A 正确；在B 点对小物体应用向心力

公式，有F B －mg ＝m v 2B

R ；又由牛顿第三定律可知N ＝F B ＝3mg ，选项B 错误；小物体离开B

点后做平抛运动，竖直方向有H －R ＝1

2gt 2，水平方向有x ＝v B t ，联立可知x 2＝4(H －R )R ，

选项C 错误．

12．(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( AB )

A ．在绕过小圆弧弯道后加速

B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s

C ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2

D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s

解析 赛车在圆弧轨道上做圆周运动，径向摩擦力提供向心力，由向心力公式F ＝m v 2

r 可

知，由于径向最大静摩擦力一定，因此轨迹半径越大，赛车可以做圆周运动的线速度越大，因此赛车手可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A 正确；在大圆弧弯道上，有2.25mg ＝m v 21

R ，

解得v 1＝45 m/s ，选项B 正确；在小圆弧弯道上，有2.25mg ＝m v 22

r ，解得v 2＝30 m/s ，因此

在直道上的加速度大小为a ＝v 2

1－v 22

21002－(90－40)2＝15

4 3 m /s 2≈6. 50 m/s 2，选项C 错误；通过小圆弧弯道的时间t ＝1

3×2πr v 2

2＝2×3.14×40

3×30

s ≈2.79 s ，选项D 错误． 13．(2017·四川南充模拟)如图所示，半径为R ＝1 m 内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m ＝1 kg 的小球，在水平恒力F ＝250

17 N 的作用下由静止

沿光滑水平面从A 点运动到B 点，A 、B 两点间的距离x ＝17

5 m ，当小球运动到B 点时撤去

外力F ，小球经半圆管道运动到最高点C ，此时球对外轨的压力F N ＝2.6mg ，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上D 处(取g ＝10 m/s 2)．求：

(1)

小球在B 点时的速度的大小； (2)小球在C 点时的速度的大小；

(3)小球由B 到C 的过程中克服摩擦力做的功； (4)D 点距离地面的高度．

解析 (1)小球从A 到B 过程，由动能定理得F x ＝1

2m v 2B

解得v B ＝10 m/s.

(2)在C 点，由牛顿第二定律得mg ＋F N ＝m v 2C

R ，

又据题有F N ＝2.6mg ，解得v C ＝6 m/s. (3)由B 到C 的过程，由动能定理得 －mg ·2R －W f ＝12m v 2C －12m v 2

B ， 解得克服摩擦力做的功W f ＝12 J.

(4)设小球从C 点做平抛运动垂直打在斜面上D 点经历的时间为t ，D 点距地面的高度为h ，则在竖直方向上有

2R －h ＝1

2

gt 2，

由小球垂直打在斜面上可知gt

v C ＝tan 45°，

联立解得h ＝0.2 m.

答案 (1)10 m /s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m

14．(2017·湖南十校联考)如图所示，BCD 为固定在竖直平面内的半径为r ＝10 m 的圆弧形光滑绝缘轨道，O 为圆心，OC 竖直，OD 水平，OB 与OC 间夹角为53°，整个空间分布着范围足够大的竖直向下的匀强电场．从A 点以初速度v 0＝9 m/s 沿AO 方向水平抛出质量m ＝0.1 kg 的小球(小球可视为质点)，小球带正电荷量q ＝0.01 C ，小球恰好从B 点沿垂直于OB 的方向进入圆弧轨道．不计空气阻力．求：

(1)A 、B 间的水平距离L ； (2)匀强电场的电场强度E ；

(3)小球过C 点时对轨道的压力的大小F N ； (4)小球从D 点离开轨道后上升的最大高度H .

解析 (1)设小球运动过程中的加速度为a ，则小球的等效重力为ma ；小球在B 点的速度为v B ，由小球恰好从B 点垂直OB 进入圆弧轨道得小球竖直方向的分速度为v By ＝v 0tan 53°，

对小球从A 到B 的运动过程，由平抛运动知识得v By ＝at ，

竖直方向位移y ＝r cos 53°，y ＝12at 2，联立各式并代人数据得t ＝1 s ，a ＝12 m/s 2，L ＝v 0t

＝9 m.

(2)小球从A 到B 的运动过程中，对小球运用牛顿第二定律得mg ＋qE ＝ma ，得E ＝20 N/C. (3)小球从A 到C 的运动过程中，设在C 点的速度为v C ，运用动能定理得mar ＝12m v 2C

－

12m v 20

， 在C 点对小球有F N －ma ＝m v 2C

r

，

得轨道对小球的支持力为F N ＝4.41 N ，

由牛顿第三定律，小球对轨道的压力为F ′N ＝4.41 N.

(4)对小球从A 点到离开D 点运动到最高点的全过程运用动能定理12m v 2

0＝maH ，得H ＝

3.375 m.

答案 (1)9 m (2)20 N/C (3)4.41 N (4)3.375 m

15．(2017·西安八校联考)如图甲所示为车站使用的水平传送带的模型，水平传送带的长度为L ＝8 m ，传送带的皮带轮的半径均为R ＝0.2 m ，传送带的上部距地面的高度为h ＝0.45 m ，现有一个旅行包(视为质点)以v 0＝10 m /s 的初速度水平地滑上水平传送带，已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.6，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力．

(1)若传送带静止，旅行包滑到B 端时，人没有及时取下，旅行包将从B 端滑落，求旅行包的落地点与B 端的水平距离；

(2)设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为8 m ，旅行包滑上传送带的初速度恒为10 m /s ，当皮带轮的角速终ω值在什么范围内，旅行包落地点与B 端的水平距离始终为(1)中所求的距离？若皮带轮的角速度ω1＝40 rad/s ，旅行包落地点与B 端的水平距离又是多少？

(3)设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，在图乙中画出旅行包落地点与B 端的水平距离s 随皮带轮的角速度ω变化的图象．

解析 (1)旅行包做匀减速运动的加速度为a ＝μg ＝6 m/s 旅行包到达B 端的速度为

v ＝v 20－2aL ＝v 20－2μgL ＝100－96 m /s ＝2 m/s

旅行包的落地点与B 端的水平距离为 s ＝v t ＝v

2h

g

＝0.6 m.

(2)要使旅行包落地点始终为(1)中所求的位置，旅行包在传送带上需做匀减速运动，则皮带轮的临界角速度为

ω＝v

R ＝10 rad /s ，ω值的范围是ω≤10 rad/s ，

当ω1＝40 rad /s 时，传送带速度为v 1＝ω1R ＝8 m/s ， 当旅行包速度也为v 1＝8 m/s 时，在传送带上运动的距离为

s ′＝v 20－v 2

1

2a

＝3 m<8 m ，

以后旅行包做匀速直线运动，所以旅行包到达B 端的速度也为v 1＝8 m/s ， 旅行包的落地点与B 端的水平距离为 s 1＝v 1t ＝v 1

2h

g

＝2.4 m. (3)如图所示．

答案 (1)0.6 m (2)ω≤10 rad/s 2.4 m (3)见解析