最优分割法确定的加权马尔可夫链预测

最优分割法确定的加权马尔可夫链预测1

王艳1，毛明志2，赵东方3

1.军事经济学院基础部，武汉（430035）

2.中国地质大学数理学院，武汉（430074）

3.华中师范大学数学与统计学院，武汉（430079）

Email: shuxuewy@https://www.360docs.net/doc/a415135958.html,

摘 要：加权马尔可夫链预测首先是建立分级标准，然后采取以规范化的各阶自相关系数为权重，对降雨量趋势作加权预测，因此分级标准就对加权预测的效果有很大的影响。本文主要是用最优分割算法确定分级标准，并用武汉市1951年至2004年的年降雨量数据预测了2008年的降雨量情况。预测结果表明2008年是个偏枯年，预测年降雨量值在968mm 与1184mm 之间，为此武汉市应该做好防旱的准备。 关键词：最优分割法；加权马尔可夫链；降雨量 中图分类号：S165+.25

1. 最优分割法

最优分割法是有序样本聚类分析的一种方法，可用于对某一阶段气象要素资料进行分段以确定不同时段的气象特征。有序样本x 1,x 2,…,x n 由第i 个值到第j 个值(i ＝1,2,…,n-1；j>i)的变差计算公式为2

(,)(/(1))

j

j

l

l

l i

l i

v i j x x j i ===

??+∑∑，最优分割法的步骤如下：

步骤1：计算任意分割点i ，j 之间的变差，组成一变差矩阵V 。 步骤2：由V 阵中元素计算各部分数据的2分割的相应变差

(2|)(1,)(1,)m v i v i v i m =++ (i ＝1,2,…,m -1；m =2,3,…, n )

找出最小值，并记最小值为*

11

(2)min (2|)m m i m v v i ≤≤?= (m =2,3,…, n )

步骤3：完全类似步骤2，在

*

*

(|(1))(1)(1,)m i i v k v k v k v i m ?=?++(i =k -1,k ,…,m -1；m = k , k +1,…,n ) 中找出最小值，当m ＝n 时，就是n 个数据的最优k 分割所对应的总变差，由总变差的分割点确定n 个数据的k 分割。

步骤4：确定分类数。关于分类数k 的确定，可以通过做*

()m v k 与k 的关系的曲线图，曲线拐弯处的k 值即为最优分类数。当曲线拐弯很平缓时，可以选取的k 很多，这时还需要有其他的方法来确定，比如均方比和特征根法。

2. 最优分割法确定的加权马尔可夫链预测模型

加权马尔可夫链首先由冯耀龙，韩文秀在文献[1]中引入，其后也有人对它进行研究[2-5]。其理论基本思想是：一列相依的随机变量序列，各阶自相关系数刻画了各种步长序列的相依关系及其强弱。因而，可考虑分别依其前面若干时段的数据，依据相依关系，利用加权求和思想，充分利用已知信息，对未来序列的状态作合理预测。

对于加权预测来说，重点在于如何建立分级标准，分级标准确定的状态序列直接决定加

1

本课题得到湖北省自然科学基金（项目编号：2004ABA071）的资助。

权预测的好坏。本文主要是用最优分割法确定的加权马尔可夫链预测，其步骤如下：

(1)利用最优分割法确定状态序列。 (2)对状态序列进行马氏性检验。

检验一组数据是否具有马尔可夫性质是运用马尔可夫链模型分析的必要前提。对离散状态序列的马尔可夫链通常可用2

χ统计量进行检验。

设研究的序列包含m 个状态，用f ij 表示指标序列X 1, X 2,…, Xn 中从状态i 经过一步转移到达状态j 的频数，以所有f ij 为元素的矩阵就是转移频数矩阵，将转移频数矩阵各列之和

分别除以各行各列的总和就得到边缘频率，并把它作为边缘概率的估计，记为l j P

，即l 1

11

m

ij

i j m m

ij

i j f

P

f

====∑∑∑，根据概率论知识，统计量l l 2

11

2

|ln |m m

ij ij i j j

P

f P

χ===∑∑

服从自由度为2(1)m ?的

2χ分布，其中l ij P

表示m m ×转移概率矩阵。给定显著性水平α，查表可得分位点22(1)m αχ?值，通过计算得到统计量2χ值。若222(1)m αχχ>?，则可认为序列{Xn}符合

马尔可夫性，否则可认为该序列不可作为马尔可夫链来处理。

(3) 计算各阶的权重

设(1,2,)t X t n ="是一序列，时间间隔21t t ?设为(0)τ>，计算序列的各阶自相关系数的公式为21

1

()()/()n k

n

k t

t k t t t r X

X X X X X ?+===

???∑∑，其中k r 表示第k 阶(滞时为k 年)自相

关系数，n 为序列长度。

归一化各阶自相关系数，即1

||/||m

k k k

k w r r

==∑，并将它们作为各阶步长的马而可夫链的

权重(m 为按预测需要计算的最大阶数)

(4) 构造状态转移概率矩阵

设数据序列从状态i E 经过m 步转移到达状态j E 的次数为()

m ij m ，则称以()

m ij m 为元素构成的矩阵为m 步状态转移频数矩阵， ()

m ij P 为由元素构成的矩阵为m 步状态转移概率矩阵其计

算公式为：()

()

/m m ij

ij i P m M =，其中i M 为状态i E 出现的总次数。

(5) 加权预测

第一步：以前面若干个时段各自的降雨量为初始状态，结合其相应的状态转移概率矩阵，即可预测出现在时段降雨量的状态概率()

k i

P 。(i 为状态，k 为步长)

第二步：将同一状态的各个预测概率加权，并作为降雨量处于该状态的预测概率，即

()1

m

k i k i k P w P ==∑，根据隶属度最大原则，取max{,}i P i I ∈所对应的状态i 为我们所预测的

状态。

3. 武汉市2008年降雨量预测

表1 武汉市地区1951－2004降雨量(单位mm)

1954195519561957195819591960 1961 年份1951 1952 1953

雨量1306 1056 1117 205812239941348143515781044 1065 等级 3 2 2 5 3 2 3 3 4 2 2 年份1962 1963 1964 1965196619671968196919701971 1972 雨量1649 1128 1378 929731118499317481239801 1080 等级 4 2 3 1 1 2 2 4 3 1 2 年份1973 1974 1975 1976197719781979198019811982 1983 雨量1232 968 1322 89511998161003162411571632 1895 等级 3 1 3 1 3 1 2 4 2 4 5 年份1984 1985 1986 1987198819891990199119921993 1994 雨量1208 1030 1051 1449133216561332179611181584 1047 等级 3 2 2 3 3 4 3 5 2 4 2 年份1995 1996 1997 1998199920002001200220032004

雨量1297 1327 947 173113801183909151612361072

等级 3 3 1 4 3 2 1 4 3 2

武汉市1951－2004年的降雨量数据来源于武汉市气象局，利用最优分割算法建立降雨数

v k与k的关系的曲线图，见图1，

据的分级标准，首先确定分类数，作出*()

m

图1 最优分割点

Fig. 1 the point of optimal partition

曲线在5时有个拐弯，因此选取分为5类，确定的标准见表2。

表2 降雨量分级标准

Tab.2 The classified standard of rainfall

状态分级标准(单位:mm) 级别

1 x<=968 枯水年

2 968

3 1184

4 1449

5 x>1748 丰水年

下面对武汉市1951－2004的年降雨量状态序列进行马氏性检验。我们算得统计量

2

11

2|ln

|11721/292 40.1404m m

ij ij i j j

P f P χ====≈∑∑，给定显著性水平0.05α=，查表可得分

位点2

(16)26.3α

χ

=，因此222(1)m αχχ>?，故武汉的年降雨量序列符合马尔可夫性，可

以用来作加权马尔可夫链预测。

我们先用1951-2004年的降雨量序列加权预测2005年的降雨量状态，取预测降雨区间的中间值作为2005年的降雨量；同理以1951－2005年的降雨量序列预测2006年的降雨量状态，取预测降雨区间的中间值作为2006年的降雨量；然后我们取1951－2004年的年降雨量平均值作为2007年的降雨量。在前面分析的基础上，最后我们用1951－2007年的降雨量序列加权预测2008年的降雨量状态，显然，2008年以后，我们就可以知道本文模型在应用于武汉市降雨量研究中的可靠度。

我们以1951－2004年的降雨量资料为基础，加权预测2005年降雨量状态，整个加权预测的过程我们可以用matlab 程序直接求出[7]，

预测的Pi 分别为0.2265, 0.2251, 0.2392, 0.2676, 0.0416, 从而知道当i ＝4时，Pi=0.2676为最大值，这说明2005年的降雨量状态是4（偏丰年），即降雨量区间是[1449mm ，1748mm]，所以，我们取预测降雨区间的中间值1598.5mm 作为2005年的降雨量。

同理，以1951－2005年的降雨量序列预测2006年的降雨量状态，预测的Pi 分别为0.1630, 0.2469, 0.3124, 0.1979, 0.0798,从而知道当i ＝3时，Pi=0.3124为最大值，这说明2006年的降雨量状态是3(平水年)，即降雨量区间是[1184mm ，1449mm]。所以，我们取预测降雨区间的中间值1316.5 mm 作为2006年的降雨量。

根据上面的分析，我们取1951－2004年雨量的平均值1259.8mm 作为2007年的降雨量，根据状态的划分标准，此时是属于状态3。

最后我们用1951－2007年的雨量加权预测2008年的雨量，预测结果见表3。

表3 武汉市2008年降雨量预测 Tab.3 Wuhan 2008 rainfall prediction

转移概率 初始年 状态滞时 (年)

权重 1 2 3 4 5

概率

来源 2007 3 1 0.11701/3 5/18 2/9 1/9 1/18 (1)P 2006 3 2 0.24773/17 6/17 4/17 4/17 0 (2)P 2005 4 3 0.22332/9 1/3 1/9 2/9 1/9 (3)P 2004 2 4 0.35413/16 3/8 1/4 1/8 1/16 (4)P 2003 3 5 0.0579

1/8 3/8 1/8 3/8 0 (5)P Pi(加权和)

0.2060

0.3489

0.2049

0.1869

0.0534

由表3可知，当i ＝2时，Pi=0.3489为最大值，这说明2008年的降雨量状态是2(偏枯年)，即降雨量预测区间是[968mm ，1184mm]。因此武汉市应该做好防旱的准备。

参考文献

[1] 冯耀龙,韩文秀.权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用[J].系统工程理论与实践,1999,

(10):89-98

[2] 孙才志,张戈,林学钰.加权马尔可夫模型在降水丰枯状况预测中的应用[J].系统理论与实践,2003,(4):100-105

[3] 夏乐天,彭志行,沈永梅.加权马尔可夫链在农作物年景预测中的应用[J].数学的实践与认识.2005, (12):30-35

[4] 夏乐天,朱元生,沈永梅.加权马尔可夫链在降雨预测中的应用[J].水利水电科技进展,2006(12):

20-27

[5] 刘德地,陈晓宏.一种北江流域年降雨量的权马尔可夫链预测模型[J].水文.2006(12):23-26

[6] 王艳,吴军玲,王恒亮.武汉近50年来降雨数据的统计分析[J].湖北工业大学学报,2006(6):98-100

[7] 王艳.最优分割算法的计算机程序实现与武汉市洪涝灾害预测[D].武汉:华中师范大学,2007.

[8] 赵东方.数学模型与计算[M].北京:科学出版社,2007.

The predication of weighed Markov chain under The

optimal partition method

Wang Yan1, Mao Mingzhi2, Zhao dongfang3

1．Foundation Department of Military Economy Academy, Wuhan (430035)

2. School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan (430074)

3．School of Mathematics and Statistics, Huazhong Normal University, Wuhan (430079)

Abstract

Firstly, the predication of weighed Markov chain is to set up the classified standard. Secondly, adopt all kinds of the standardized self-coefficient as weights. Finally, predict the trend of rainfall in virtue of those weights. So the classified standard deeply affects the result of weighed predication. For this reason,,the paper choose The optimal partition method to set up the classified standard, the paper sets the data of annual rainfall of the city of Wuhan from 1951 to 2004 as an example and has a good analysis of substantial evidence for weighed Markov chain predication. What’s more, the paper predicts the rainfall of 2008. The result implies that it is semiarid year and the annual rainfall varies between 968mm and 1184mm. So the city of Wuhan should make a preparation for combating drought. Keywords: Weighed Markov chain, Optimal partition method, Rainfall.