有序地质量最优分割法

第七章有序地质量最优分割法

第一节概述

地层划分与对比是煤田地质勘探的主要任务之一。在地质工作中，通常是寻找地层的不整合或假整合界线，或者利用古生物化石、岩石矿物等地质特征对地层进行划分与对比。这种划分方法比较直观，适用于较大地层单元的划分与对比。当地质特征间的差异性不显著时，运用上述直观、定性的方法来解决较小地层单元的进一步划分就有一定的困难。因此，近年来开始利用有序地质量，即运用数学方法，并借于电子计算机定量地划分地层，提出了“有序地质量最优分割法”。

地质数据中有相当多是有序的。这些按一定顺序排列的地质变量，叫做有序地质量。例如，沿地层露头剖面采集的岩石标本；钻孔取出的岩芯样品；与这些岩石、样品有关的岩性、物理化学和古生物数据；以及地球物理测井数据等。它们都是有序地质量。这类数据的特点是样品的前后次序不能变更。所以，一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法，对此不适用。有序地质量最优分割法，就是对一批有序数据（地质体）进行分段的统计方法。

设有n个按顺序排列的样品，每个样品测得p个变量，这批

数据可用数据矩阵的形式表示为

[]nxp

np n n p p il x x x x x x x x x x X ????

???

??==ΛM M M M ΛΛ212222111211 其中，il x 表示第i 个样品第l 个变量的取值。

若对以上n 个有序样品进行分割（分段），可能有

12

1

112211-=+++-----n n n n n c c c Λ

种划分方法，每一种分法称为一种分割。在所有这些分割中，存在这样一种分割，它使得各段（组）内部样品之间的差异性最小（即样品数据的组内离差平方和最小），而使段（组）之间的差异性最大（即样品数据的组间离差平方和最大）。这种对n 个样品分段并使组内离差平方和最小的分割方法，称为最优分割法。

样品变量总离差平方和的分解式为

B W T += （7—1）

式中，T 为总离差平方和；W 为组内离差平方和；B 为组间离差平方和。

由式（7—1）可知，如果n 个样品分为K 段，每段的样品个数为k n ，若每个样品只取一个变量，则

∑∑==-=K k n i k ik

k

x x W 11

2)(

（7—2）

∑∑∑===-=-=K

k k k K

k n i k

x x n x x B k

1

2

112

)()(

（7—3）

因此，寻求最优分割，就是用计算的分法找出使组内离差平方和（W ）最小的那些分割点。这与判别分析中费歇准则相似，所以有序地质量最优分割法，有人又称为“F -分割法”或“有序样品的聚类分析”。

第二节 单元有序数据的最优分割

若有n 个有序样品，每个样品只取一个变量，则有n 个有序数据序列，为

{}n x x x X ,,,21Λ=

现在试图将这n 个样品按顺序分割为K 段，使段（组）内离平差和尽可能小，而组间离差平方和尽可能大。为此，用

{}j i i

x x

x ,,,1

Λ+表示从第i 个样品数据开始至第j 个样品数据为止的

某段样品，其中

n j i ≤≤≤1

该段样品变量的离差平方和为

()[]2

),(,∑=-=j

i

j i j i x x d αα

（7-4）

式中 ()∑=+-=j

i

x i j j i x αα11

,

由于),(j i d 能够反映样品段{}j i i x x x ,,,1Λ+内样品间差异的情况，

),(j i d 愈小，表示段内各样品之间差异性愈小；反之，),(j i d 愈大，

表示段内各样品之间差异性愈大。因此，又把),(j i d 称为{}j i ,,Λ段的直径。

若

n

个样品分为

K

段：

{}1

11211

,,,n x x x

Λ

{}{}k

Kn K K n x x x x x x

,,,,,2222221

2ΛΛΛ，为最优K 段分割。其各段离差平方

和（段直径）分别为：),(1j i d ，),(),,(2j i d j i d K Λ。根据最优分割的原则，其组内离差平方和必须满足

()

[]

()()()min

,.,,2111

2

=+++=-=∑∑==j i d j i d j i d j i x x W k K k n i k ik k

Λ

（7-5）

或 ()[]

∑==-=K

k k k x j i x n B 1

2

max ,

（7-6）

在实际应用时，往往事先不知道n 个有序样品客观上究竟能划分为几段。因此，必须从最优分成二段、三段、…、K 段进行

分析。

一、最优二段分割

若把n 个有序样品{}n x x x ,,,21Λ分为两段，则有如下1-n 种不同的分法，即

{}1x {}n x x x ,,,32Λ {}21,x x {}n x x x ,,,43Λ {}321,,x x x {}n x x x ,,,54Λ {}ΛΛΛΛΛ{}ΛΛΛΛΛ {}121,,,-n x x x Λ{}n x

在上述1-n 种分法中，究竟哪一种方法最优？只须计算出每一种分割的组内离差平方和，并从其中找出组内离差平方和()W 最小的那一种分割，就是所求的最优二段分割。

在n 个有序样品中，对任意一个()11-≤≤

n j j 都可以确定一个

二段分割，即{}j ,,1Λ{}n j ,,1Λ+。若把对n 个样品在第j 个样品处进行的二段分割的组内离差平方和记为

()()()n d d j W n ,21,1;2+= （7-7）

式中，n 表示被分割的样品数；2表示把n 个样品分为二段；

j 表示以第j 个样品为分割点。

上述1-n 种分割的组内离差平方和分别为 ()()()n d d W n ,21,11;2+= ()()()n d d W n ,32,12;2+=

…………………………… ()()()n n d n d n W n ,1,11;2+-=- 在{}j i ,,Λ中，当j i =时，则 ()()()0,2,21,1====n n d d d Λ

假设当1a j =时，()j W n ;2达到最小，即 ()(){}j W a W n n j n ;2min ;21

11-≤≤=

则最优二段分割为{}1

,,,21a x x x Λ{}n a x x ,,1Λ+，其中i

a x 为最优二段

分割点。

二、最优三段分割

若把n 个有序样品{}n x x x ,,,21Λ分为三段，其中必有两个分割点。假设第()j a 1和第j 个样品为分割点，则三段分割为

{}1

,,1a x x Λ{}j a x x ,,11

Λ+{}n j x x ,,1Λ+

若把三段分割的组内离差平方和记为：()j a W n ,;31，其中j a ,1为

两个分割点()12;111-≤≤-≤

≤n j j a ，则

()()()()n j d j a d a d j a W n ,1,1,1,;3111++++= ()()n j d a W j ,1,21++=

显然，如果有()j a W n ,;31为最优三段分割，则()1;2a W j 必为最优二段分割，否则必存在另一个最优二段分割()1;2a W j '，使

()()j a W j a W n n ,;3,;311'>

这与()j a W n ,;31为最优三段分割相矛盾。因此，如果对n 个有序数据进行最优三段分割，必须对任意一个()12-≤≤n j j ，即前j

个数据先求出其最优二段分割，为

()[]()[]()j a d j a d j a W j ,1,1;2111++= 若

()()()[]{}j a W a W j

j j a j 1111;2min

;21

-≤≤= 则前j 个样品的最优二段分割与{}n j x x ,,1Λ+构成一个三段分割。最后，找出一个适当的j ，如2a j =，使得

()()(){

}n j d a W a a W j n ,1;2min ,;3121++= ()[]{}j j a W n n j ,;3min 11

2-≤≤= 则{}j

a

x x ,,1Λ{}2

,,1

a a x x

j Λ+{}n

a x x

,,1

2Λ+为n 个样品的最优三段分割，

其中1a 和2a 为最优三段分割点。

三、最优K 段分割

若对n 个有序样品数据{}n x x x ,,,21Λ进行最优K 段分割，可先找出()11-≤≤

-n j K j 个样品的最优1-K 段最优分割，即

()221,,;1--k j a a a K W Λ

从而得{}2

1

,,1a

a x x Λ+{}j

a x x

k ,,1

2ΛΛ+-与{}n j x x

,,1

Λ+构成K 段分割，但

不一定是最优K 段分割。可选择一个适当的()11-≤≤

-n j K j ，如

1-=K a j 时，使得

()()()[]{}j a j a j a K W a a a a K W K n n j K K K j ,,,;min ,,,;12211

11221--≤≤---=-ΛΛ

可得最优K 段分割为{}1

,,1a x x Λ{}2

1

,,1a

a x x Λ+{}n

a x x

K ,,1

1ΛΛ+-，其中

121,,,-K a a a x x x Λ为最优K 段分割点。

应当指出，分割的段数K 一直可做到所要 求的段数K 为止；或者可以预先给定一个小正 数δ，使K 段分割的组内离差平方和

()δ<-121,,,;k n a a a K W Λ后为止。这样得出的

K 就是最后的分割的段数。由图17-所示，组

内离差平方和是随分段段数K 的增加而单调地 减少。所以当n K =时，组内离差平方和

()0,,,;121=-n n a a a n W Λ。因此，可根据组内离

差平方和随段数增加而下降到比较稳定的时候（即 图中曲线平缓时）再确定分段段数。

第三节 多元有序数据的最优分割

为了分层，有时需要汇集样品更多的信息，采用多个变量指标。例如，采集n 个有序样品，每个样品测得p 个变量，原始数据可构成一个p n ?阶矩阵，为

p

n np n n p p x x x x x x

x x x X ??????

?? ??=ΛM

M M M ΛΛ212222111211 在多变量情况下，人们自然会联想到是否能将单元有序数据最优分割原理引申到多元数据中来，以此对n 个有序样品进行分割，一般最简单有效的办法就是把一段样品多个变量合并为一个变量来处理，统一定义“段直径”。但是，为了使不同变量间具有共同的数据基础，事先要对各个变量进行数据规范化处理，如使数据作正规化变换。原始数据矩阵中元素记为：

()p l n i x il ,,2,1;,,2,1ΛΛ===，则正规化数据为

{}(){}{}()

il n i il n

i il n i il il x x x x z ≤≤≤≤≤≤--=111min max min

（7-8）

得正规化数据矩阵

p

n np n n p p z z z z z z z z z Z ?????

??? ??=ΛM M M M ΛΛ212222111211

根据正规化数据，将样品段{}j i ,,Λ的段直径定义为

()()[]2

1

,,∑∑==-=j

i p

j i z z j i d αββαβ

（7-9）

式中

()∑=+-=j

i

z i j j i z ααβ

β11

, ()p n j i ,,2,1,1Λ=≤≤≤β

（7-10）

若n 个有序样品分为K 段，每段内有k n 个样品，则多元有序数据最优分割的原理与单元有序数据最优分割一样，使组内离差平方和

()()()()j i d j i d j i d a a a K W K K n ,,,,,,;21121+++=-ΛΛ

()[]

2

11

,∑∑∑===-=K

k n i p

k k k

j i z z αββαβ

()()()[]{}j j a j a j a K w K n n j K ,,,,;min

2211

1--≤≤-=Λ (7-11)

应当指出，样品的段直径除了用式（7-9）定义外，还可用其他方法定义。如用样品数据绝对值距离来定义，即

()()∑∑==-=j i p

j i x x j i D αββαβ1

,,

( 7-12)

也可用其他度量空间的距离来定义。

第四节 最优分割法的计算步骤

1. 数据正规化

设原始数据阵为

p

n np n n p p x x x x x x x x x X ?????

??? ??=ΛM M M M ΛΛ212222111211

将X 中的元素il x 变换为

{}(

){}{}

[

)il n

i il n

i il n

i il il x x x x z ≤≤≤≤≤≤--=111min max min

()p l n i ,,2,1;,,2,1ΛΛ==

得正规化数据矩阵

p

n np n n p p z z z z z z z z z Z ?????

??? ??=ΛM M M M ΛΛ212222111211

2. 计算段直径矩阵D

()()2

11,,∑∑==≤≤≤???

??

?-=j i p

n j i a j i z z j i d αβββ 其中

()∑=+-=i

z i j j i z ααβ

β11

,

因为

()()

???=i j d j i d ,0

, ()()j i j i ≠=

故必须计算

()2

1-n n 个()j i d ,，得

()()()()()()n n n n d n d d n d d d D ?????

???

?

?=,,22,2,12,11,1M O

Λ

Λ

3. 计算全部分割的组内离差平方和（或段直径和）及

各种分段的最优分割

1）

最优二段分割 由D 矩阵对每一个2

,,1,Λ-=n n m 计算相应的组内离差平方和， 为

()()()m j d j i d j W m ,1,;2++= ()1,,2,1-=m j Λ 找出最小值，确定相应的最优二段分割点，即

()[](){}j W m a W m m j m ;2min ;21

11-≤≤= 分割点为()()()2,,1,111a n a n a Λ-。从而得到n 个样品()n m =的最优