正弦定理、余弦定理及其应用

[考纲传真]1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

【知识通关】

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

内容

sin A＝

sin B＝

sin C＝2R.

a2＝b2＋c2－2bc cos_A；

b2＝c2＋a2－2ca cos_B；

c2＝a2＋b2－2ab cos_C.

变形

(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；

(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(3)

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝

sin A＝2R.

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab.

(1)S＝

2a·h a(h a表示边a上的高)；

(2)S＝

2ab sin C＝

2ac sin B＝

2bc sin A；

(3)S＝

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

3．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B 的方位角为α(如图2)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]

1．在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理

在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B . 3．内角和公式的变形 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C .

4．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形．

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( )

(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )

(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．(教材改编)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，

B ＝π

4，a ＝1，则b ＝( )

A ．2

B ．1

C . 3

D .2

3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解

C ．一解

D ．解的个数不确定

4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A .23 B .14 C ．－23

D ．－14

5．在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B ＝30°，则S △ABC ＝________；b ＝________. 3

1 【题型突破】

利用正、余弦定理解三角形

【例1】 (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已

知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；

(2)若c ＝7，△ABC 的面积为

，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得

2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.

(2)由已知得12ab sin C ＝33

又C ＝π

，所以ab ＝6.

由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，

故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5(负值舍去)．所以△ABC 的周长为5＋7.

[方法总结] 解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C

，可先求出角C 及b ，再求出c .

(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C .

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,(4)已知两边a，

b 及其中

一边的对角A，由正弦定理

sin A＝

sin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A

＋B)，可求出角C，再由

sin A＝

sin C可求出c，而通过

sin A＝

sin B求角B时，

可能有一解或两解或无解的情况.)

(1)(2018·重庆二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋3sin B)，则角A等于()

A.π

6B.

C.2π

3D.

5π

(2)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，A D＝3D B，

cos A＝4

5，cos∠ACB＝

13，BC＝13.

①求cos B的值；

②求C D的长．

(1)D

(2)[解]①在△ABC中，因为cos A＝4

5，A∈(0，π)，

所以sin A＝1－cos2A＝3 5.

同理可得sin∠ACB＝12 13.

所以cos B＝cos[π－(A＋∠A C B)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin A sin∠ACB－cos

A cos∠ACB＝3

5×

13－

5×

13＝

65.

②在△ABC中，由正弦定理得，AB＝

sin A sin∠ACB＝

13＝20.

又A D＝3D B，所以B D＝1

4AB＝5，又在△BC D中，由余弦定理得C D＝

B D2＋BC2－2B D·B

C cos B

＝52＋132－2×5×13×16

65＝92.

判断三角形的形状

【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a

，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形

D ．钝角三角形

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －

b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 (1)C (2)D

[方法总结] 判定三角形形状的方法

(1)化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系.

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.)

(1)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

cos A cos B

＝b

a ＝2，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形

D ．钝角三角形

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a

2c ，则△ABC

的形状一定是________． (1)A (2)直角三角形

与三角形有关的最值(范围)问题

【例3】 (2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2，a cos B ＝(2c －b )cos A . (1)求角A 的大小；

(2)求△ABC 的周长的最大值．

[解] (1)法一：由已知，得a cos B ＋b cos A ＝2c cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A . 因为sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，

所以sin C ＝2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝1

因为0＜A ＜π，所以A ＝π

法二：由已知及余弦定理，得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(2c －b )×b 2＋c 2－a 2

2bc ，即b 2＋c 2－

a 2＝bc ，

所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1

因为0＜A ＜π，所以A ＝π

(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＋4＝b 2＋c 2，即(b ＋c )2＝3bc ＋4.

因为bc ≤?

????b ＋c 22

，所以(b ＋c )2≤34(b ＋c )2＋4，即b ＋c ≤4(当且仅当b ＝c ＝2时等号成立)，所以a ＋b ＋c ≤6.

故△ABC 的周长的最大值为6. 法二：因为

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C ，且a ＝2，A ＝π

，所以b ＝433sin B ，c ＝43

sin C .

所以a ＋b ＋c ＝2＋433(sin B ＋sin C )＝2＋433sin B ＋sin ? ????

2π3－B ＝2＋

4sin ? ?

???B ＋π6. 因为0＜B ＜

2π3，所以当B ＝π

时，a ＋b ＋c 取得最大值6. 故△ABC 的周长的最大值为6.

[方法总结] 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.

且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为( )

A．28 B．36 C．48 D．56

(2)(2019·河北五校联考)在△ABC中，AB＝2，C＝π

6，则AC＋3BC的最大值为

()

A.7 B．27

C．37 D．47

(1)C(2)D

解三角形的实际应用

【例4】(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

(2)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东________．

(1)103(2)75°

[方法总结]利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.

路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度C D＝______m.

1006

【真题链接】

1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5

5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )

A ．42

B .30

C .29

D ．25

2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )

A .π2

B .π3

C .π4

D .π6 C

3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3BC ，则cos A ＝( )

A .310

B .

1010 C ．－1010

D ．－

310

10 C

4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4

5，

cos C ＝5

，a ＝1，则b ＝________. 2113

5.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .

(1)求sin B sin C ；

(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a

3sin A .

由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A

3sin A

故sin B sin C＝2 3.

(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－1 2，

即cos(B＋C)＝－1

2.所以B＋C＝

2π

3，故A＝

由题意得1

2bc sin A＝

3sin A，a＝3，所以bc＝8.

由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，

即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.

1.2.2正弦、余弦定理应用

1.2.2解斜三角形学习目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化； 3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力学习重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定课堂过程：一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例：应用二：测量高度例1 如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB 的方法分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直接测量建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ，并测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。解：选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上，由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α，β，CD=a. 测角仪器的高为h, 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： sin sin() a AC βαβ= - sin asin sin = sin(-) AB AE h AC h h ααβαβ=+=++ 例2 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD （精确到1m ）分析：根据已知条件，应该设法计算出AB 或AC 的长解：在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得： E D G H C A B A α β

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.

正弦定理、余弦定理在生活中的应用

正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考. 一、在不可到达物体高度测量中的应用例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得 BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为θ，求塔高A B ．分析：本题是一个高度测量问题，在?BCD 中，先求出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出塔高AB. 解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--．由正弦定理得 sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠．所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·．在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠= tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高. 二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距3km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750， ∠BCD=450 ， ∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ），试求隧道的长度. 分析：根据题意作出平面示意图，在四边形 ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在?ACD 和?BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在?ABC 中，由余弦定理求出AB. 解析：在?ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3. 在?BCD 中，∠CBD==600 由正弦定理可得，BC=003sin 75sin 60=26)2 +

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

正弦定理与余弦定理地综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，

正弦定理和余弦定理的应用

第二节应用举例题型一测量距离问题 A 、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离是55m, 51=∠BAC , 75=∠ACB .求A 、B 两点间的距离（精确到1.0m ）. 分析所求的边AB 的对角是已知的，又已知三角形的一边AC ，根据三角形内角和定理可计算出AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边AB . 解答根据正弦定理，得 ABC AC ACB AB ∠= ∠sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ∠∠= ∠∠=sin sin 55sin sin 76554 sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55?≈=--= (m) 点拨本题是测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决。本题型的解题关键在于明确：（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决。（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化 A B C

为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。衍生1★★ 如图所示，客轮以速度v 2由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度V 沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知BC AB ⊥，且50=-BC AB 海里。若两船同时启航出发，则两船相遇之处距C 点海里。（结果精确到小数点后1位）解析 AB DB 2< ∴两船相遇点在BC 上，可设为E ，设x CE =，则 V BE AB DE 22+= 故 V x x 45cos 2252)225(22??-+V x 2)50(50-+= 得 3 5000 2= x ，∴8.40≈x 答案 8.40 点拨本题考查了测量距离问题。衍生2★★★如图所示，B A ,两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量B A , 两点间距离的方法。分析可以先计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测 A B C D α β A γ δ

《正弦定理、余弦定理》单元测试题

高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题（1）班级姓名 1．在ABC ?中，?=∠?=∠=15,30,3B A a ，则=c ( ) A ．1 B. 2 C ．3 2 D. 3 2．在ABC ?中，若 B b sin 2=，则∠A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 3．在ABC ?中，?=∠==60,10,15A b a ，则B cos ＝( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 4．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 B A A 2cos cos sin +＝( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 5.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于（） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中，已知 45,1,2=== B c b ，则a 等于（） A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形，确定下列判断中正确的是（） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 8．在ABC ?中，?===30,3,1A b a ，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．无解 9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（） A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中， 60=A ,3=a ，则 =++++C B A c b a sin sin sin （） A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11．在ABC ?中，已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ，则AC ＝________；

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角,如南偏东３0°，北偏西45°,西偏北６0°等； (3）方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．(4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (２)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．（４)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形（1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时

需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．考点自测 1．(2０１2·江苏金陵中学)已知△ＡB Ｃ的一个内角为12０°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于__＿_____．解析记三角形三边长为ａ－4，a ，a ＋4,则(ａ+4)２＝（a －4)2+ａ2－2a (ａ-４） co ｓ 120°,解得a ＝1０，故S ＝12×1０×6×s ｉn 1２０°＝15错误!. 答案 1５错误! ２．若海上有A ，B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC ＝75°,则B ，Ｃ间的距离是_＿____＿_海里．解析由正弦定理,知 B Ｃsi ｎ 60° ＝错误!.解得BC =5错误!(海里)．答案 5错误! 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行,上午１0时到达一座灯塔P 的南偏西７5°距塔６8海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为_＿＿_____海里/时．解析由正弦定理,得MN =68si ｎ 120°si ｎ 45° =34＼r(6)（海里)，船的航行速度为错误!＝错误!(海里／时). 答案错误! 4.在△ABC 中,若2错误!ａｂs ｉn C =a ２＋b 2+c 2,则△ABC 的形状是_＿__＿＿＿_. 解析由2３ab sin C =ａ２＋b 2＋c 2,a 2+ｂ2－c 2＝2ａb cos C 相加,得a ２＋b ２=2ab sin 错误!.又ａ2＋b ２≥2ab ，所以ｓin 错误!≥1,从而s ｉn 错误!＝1,且a =ｂ，C =错误!时等号成立,所以△ＡBC 是等边三角形. 答案等边三角形５.（2０10·江苏卷)在锐角△A ＢＣ中，角Ａ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ｃ.

(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案

课时作业3应用举例时间：45分钟满分：100分课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ，由ABC △为锐角三角形得π6B = ．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<，所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ，所以60C =o ．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

正弦定理、余弦定理单元测试及答案

正弦定理、余弦定理一、选择题 1．在△ABC 中，已知,30,10,25?===A c a 则B= （）（A ）105° （B ）60° （C ）15° （D ）105°或15° 2．在△ABC 中，已知a=6，b=4，Ｃ=120°，则sinB 的值是（）（A ） 7 21 （B ） 19 57 （C ） 383 （D ）19 57- 3．在△ABC 中，有a=2b ，且Ｃ=30°，则这个三角形一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）锐角三角形（D ）以上都有可能 4．△ABC 中，已知b=30，c=15，C=26°，则此三角形的解的情况是（）（A ）一解（B ）二解（C ）无解（D ）无法确定 5．在△ABC 中，中，若2 cos sin sin 2 A C B =，则△ABC 是（）（A ）等边三角形（B ）等腰三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形 6．在△ABC 中，已知13 5 cos ,53sin == B A ，则 C cos 等于（）（A ） 6556 （B ） 65 16 （C ） 6516或65 56 （D ） 65 33 7．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值是（）

（A ）2 （B ）1 （C ） 2 2 （D ）12- 8．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f （x ）的图象是（）（A ）在x 轴的上方（B ）在x 轴的下方（C ）与x 轴相切（D ）与x 轴交于两点二、填空题 9．在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ． 10．三角形中有∠A=60°，b ∶c=8∶5，这个三角形内切圆的面积为12π，则这个三角形面积为． 11．平行四边形ABCD 中，∠B=120°，AB=6，BC=4，则两条对角线的长分别是． 12．在60°角内有一点P ，到两边的距离分别为1cm 和2cm ，则P 到角顶点的距离为．三、解答题 13．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＜B ＜C ，B=60°，且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求：（1）A 、B 、C 的大小；（2）c b a 2+的值．

浅谈正弦、余弦定理在中考中的应用.doc

浅谈正弦、余弦定理在中考中的应用 (1)余弦定理：c2=a2+b2-2ab*cosC 文字表述：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 (2)正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(r 为Z\ABC 外接圆的半径) 文字表述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 F面我们来证明: 证明：(1)作BC上的高AD=h,设CD二x,则BD=a-x 贝ij b2=h2+x2=c2- (a~x) 2+x2=c2-a2+2ax-x2+ x2 又x二b*cosC 所以c2=a2+b2-2ab*cosC (2)因为sinB=h/c, sinC=h/b 所以h二b*sinC二c*sinB 所以b/sinB=c/sinC 同理可得：a/si nA二b/s i nB二c/sinC 下面我们来看如何运用正弦、余弦定理解题：例1: 25-右「/XABC 中，AC-BC. ZACB^90: , D、E 是用线AB 上两点.ZDCE^45c (1)当CE丄AB时，点D与点A晅合?能然DE‘=AD ‘十BE’(不必证明) (2)如图，当点D不与点A直合时，求证：DE2=AD-4-BE2 (3 )当点D衽BA的延L3上时.(2 )中的结论是否成立?训山图形.说明理由? (2)证明：令ZACD二Zl, ZBCE=Z2,则Z1 + Z2=ZACB~ZDCE=45° 因为AD/sinZl=CD/sinZA, BE/sinZ2=CE/sinZB, sinZA= sinZB= sin45° C 所以AD2+ BE2 = (CD:f:sinZl/sinZA) 2+ (CE* sinZ2/sinZB) 2 =(CD2* sin2Z 1+ CE2* sin2Z2)/ sin245°又 CD/sin(45°+Z2)= CE/sin(45°+ Z1 )=DE/sin45°所以AD2+ BE2={[ DE* sin(45°+ Z2) *sinZl/sin450]2 + A [DE* sin(45°+Zl) *sinZ2 /sin450]2}/ sin245°因为sin(45°+Z2) *sinZl = sin(45°+Z2) *sin (Z45°-Z2) =cos2Z2/2, sin(45°+Zl) *sinZ2= sin(45°+Zl) *sin (Z45°-Z1) =cos2Zl/2, 2 (Z1+Z2) =90° 所以AD2+ BE2 =DE2 cos22Z2+ DE2COS22Z1= DE2(cos22Z2+sin22Z2)= DE2 即DE2=

正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题 1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.4 3 B ．8－4 3 C ．1 D.2 3 2．(文)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( ) A ．0